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| Aufgabe | Für welche Werte von t, t [mm] \in \IR, [/mm] ist die Funktion f mit
[mm] f(x)=\begin{cases} 4x + \bruch{11}{2}, & \mbox{für } x \le t\mbox{} \\ -2x^{2} + 4, & \mbox{für } x > t \mbox{} \end{cases}
[/mm]
stetig? |
Hallo,
mir fehlt bei obiger Aufgabe der Ansatz.
Die Funktion ist eine zusammengesetzte Funktion.
Die obere Funktion ist eine Gerade, hat ihre Nullstelle bei x = [mm] -\bruch{11}{8}.
[/mm]
Die untere Funktion ist eine Parabel mit ihren Nullstellen [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm\wurzel{2}. [/mm]
Kann diese Funktion überhaupt stetig sein?
Kann mir jemand weiterhelfen?!
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> Für welche Werte von t, t [mm]\in \IR,[/mm] ist die Funktion f mit
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 4x + \bruch{11}{2}, & \mbox{für } x \le t\mbox{} \\
-2x^{2} + 4, & \mbox{für } x > t \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> stetig?
> Hallo,
>
> mir fehlt bei obiger Aufgabe der Ansatz.
>
> Die Funktion ist eine zusammengesetzte Funktion.
>
> Die obere Funktion ist eine Gerade, hat ihre Nullstelle bei
> x = [mm]-\bruch{11}{8}.[/mm]
> Die untere Funktion ist eine Parabel mit ihren Nullstellen
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\pm\wurzel{2}.[/mm]
>
> Kann diese Funktion überhaupt stetig sein?
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?!
>
>
stetig heisst doch hier erstmal, dass der funktionswert beider funktionen gleich sein muss (sprich sie müssen sich dort schneiden). und wann ist dies der fall?
gruß tee
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Hallo fencheltee,
wenn ich das ganze graphisch darstelle, dann schneiden sich die beiden Funktionen irgendwo bei - 1,35...
Genau bestimmt wird das sicherlich über den Grenzwert, aber wie?
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Hallo "irgendwo bei" können wir aber in der Mathematik nicht gebrauchen, setze die Funktionen zunächst gleich
[mm] 4x+5,5=-2x^{2}+4
[/mm]
du bekommst zwei Schnittstellen, die dann weiter zu untersuchen sind
Steffi
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Hallo Steffi21,
O.K., beim zusammenfassen erhalte ich eine quadratische Funktion aus der ich 2 Nullstellen ausrechnen kann. Die eine [mm] x_{1} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und die andere [mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2}. [/mm] Laut Grafik kommt ist [mm] x_{2} [/mm] die interessante Stelle, da sich die beiden Ausgangsfunktionen dort schneiden.
Weitere Untersuchungen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Steffi21,
>
> O.K., beim zusammenfassen erhalte ich eine quadratische
> Funktion aus der ich 2 Nullstellen ausrechnen kann. Die
> eine [mm]x_{1}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und die andere [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]-\bruch{3}{2}.[/mm] Laut Grafik kommt ist [mm]x_{2}[/mm] die interessante
> Stelle, da sich die beiden Ausgangsfunktionen dort
> schneiden.
>
> Weitere Untersuchungen?
ich finde diesen Ansatz, der hier vorgeschlagen worden ist, nicht gut. Er suggeriert, dass man bei "zusammengesetzten Funktionen" sich die "einzelnen Funktionen auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] fortgesetzt denken muss und mit Schnittpunkten arbeiten muss" (wobei da schon die Frage ist, warum man nur mithilfe des definierenden Funktionsterms die Funktion (stetig, oder noch "glatter"?) fortsetzen sollte - eigentlich hat man ja eine Riesenauswahl an Möglichkeiten für eine stetige Fortsetzung:
Z.B. kann ich [mm] $p(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ durch $p(x):=1$ ($|x| > [mm] 1\,$) [/mm] stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] fortsetzen).
Du hast oben eine Funktion der Bauart
[mm] $$f(x)=\begin{cases} f_1(x), & \mbox{für } x \le t \\ f_2(x), & \mbox{für } x>t \end{cases}\,,$$
[/mm]
wobei Du Dir überlegen kannst, dass [mm] $f_1: (-\infty,t] \to \IR$ [/mm] und [mm] $f_2: (t,\infty) \to \IR$ [/mm] beide stetig sind.
Also ist nur noch zu prüfen, ob [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $x=t\,$ [/mm] stetig ist oder nicht. Und weil [mm] $f_1$ [/mm] stetig ist, gilt insbesondere [mm] $\lim_{\substack{x \to t\\x < t}}f(x)=f(t)\,.$
[/mm]
Also ist [mm] $f\,$ [/mm] nun genau dann stetig, wenn auch
[mm] $$\lim_{\substack{x \to t\\x > t}}f(x)=f(t)$$ [/mm]
gilt.
Und um [mm] $\lim_{\substack{x \to t\\x > t}}f(x)$ [/mm] zu berechnen braucht man keine komischen Ansätze über Schnittpunkte der Graphen...
P.S.:
Würde man [mm] $f\,$ [/mm] wie oben genauso definieren, nur, dass [mm] $f(x)=f_2(x)$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] t$) und [mm] $f_2: [t,\infty) \to \IR\,,$ [/mm] so hätte man erstmal zu prüfen, ob [mm] $f\,$ [/mm] überhaupt eine Funktion ist - d.h. dann müßte [mm] $f_1(t)=f_2(t)$ [/mm] gelten, da andernfalls [mm] $f\,$ [/mm] keine Funktion wäre (an der Stelle [mm] $t\,$ [/mm] hätte man "zwei verschiedene Werte [mm] $f(t)\,$").
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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Weitere Untersuchungen. Interessant [mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2}.
[/mm]
Wenn ich jetzt den Grenzwert für die beiden Ausgangsfunktionen bilde und jeweils [mm] x_{2} [/mm] einsetzte,
[mm] \limes_{x\rightarrow -\bruch{3}{2}} [/mm] = ...
erhalte ich bei beiden Funktionen den selben Grenzwert, hier [mm] -\bruch{1}{2}, [/mm] d.h. die Funktion ist an der Stelle x = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] stetig.
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Hallo
[mm] f(x)=\begin{cases} 4x + \bruch{11}{2}, & \mbox{für } x \le -1,5\mbox{} \\ -2x^{2} + 4, & \mbox{für } x > -1,5 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
f(-1,5)=-0,5 und
[mm] \limes_{x\rightarrow-1,5^{+}}f(x)=-0,5 [/mm] Grenzwert für x gegen -1,5 von rechts
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt untersuche die Stelle -0,5
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
entschuldigt die "Einmischerei", aber ich finde es besser, wenn man diese Aufgabe mal "weniger anschaulich", dafür aber genauso einfach mathematisch behandelt (Anschauung hat eh meist den Nachteil, dass man Überlegungen vergisst oder Fälle übersieht, die man eigentlich zu unterscheiden hat).
Bei Dir ist
[mm] $$f(x)=\begin{cases} 4x + \bruch{11}{2}, & \mbox{für } x \le t\mbox{} \\ -2x^{2} + 4, & \mbox{für } x > t \mbox{} \end{cases}$$
[/mm]
gewesen.
Offenbar ist [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $(-\infty,t] \cup (t,\infty)$ [/mm] stetig (siehe meine andere Antwort bzw. auch meine Mitteilung). Daher ist nur noch (das entnimmst Du auch dem von mir bereits geschriebenen) zu prüfen, für welche $t [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $$(f(t)=\;)\;\;\;\blue{4t+\frac{11}{2}=}\underbrace{\blue{-2t^2+4}}_{=\lim_{\substack{x \to t\\x > t}}f(x)}\,,$$
[/mm]
denn genau für diese $t [mm] \in \IR\,,$ [/mm] die die blaue Gleichung erfüllen, ist [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $t\,$ [/mm] (und damit auch schon auf [mm] $\IR$) [/mm] stetig.
Überlegungen mit den Graphen der jeweiligen "Teilfunktionen", d.h. "ob und wie man die evtl. an der Stelle [mm] $t\,$ [/mm] "zusammenkleben" kann", kann man zwar (der Anschaulichkeit wegen) mal machen. Aber zum einen muss man dann diese "geometrischen Dinge" auch richtig benennen, und zum anderen sollte man den klaren Zusammenhang zu den "rechts- und linksseitigen Funktionsgrenzwert und dem Funktionswert an der betrachteten Stelle sowohl benennen als auch am Graphen verdeutlichen". Und das geht übers Internet wahrlich schwerer als an der Tafel (was nicht heißen soll, dass es unmöglich ist). Zumal dann sehr schnell Missverständnisse und Fehlinterpretationen entstehen (können).
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:44 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> > Für welche Werte von t, t [mm]\in \IR,[/mm] ist die Funktion f mit
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} 4x + \bruch{11}{2}, & \mbox{für } x \le t\mbox{} \\
-2x^{2} + 4, & \mbox{für } x > t \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > stetig?
> > Hallo,
> >
> > mir fehlt bei obiger Aufgabe der Ansatz.
> >
> > Die Funktion ist eine zusammengesetzte Funktion.
> >
> > Die obere Funktion ist eine Gerade, hat ihre Nullstelle bei
> > x = [mm]-\bruch{11}{8}.[/mm]
> > Die untere Funktion ist eine Parabel mit ihren
> Nullstellen
> > [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\pm\wurzel{2}.[/mm]
> >
> > Kann diese Funktion überhaupt stetig sein?
> >
> > Kann mir jemand weiterhelfen?!
> >
> >
> stetig heisst doch hier erstmal, dass der funktionswert
> beider funktionen gleich sein muss (sprich sie müssen sich
> dort schneiden). und wann ist dies der fall?
>
> gruß tee
Du meinst sicher das richtige, aber das, was Du formulierst, ist ziemlich sinnfrei. Zum einen stehen dort nicht zwei Funktionen, sondern man kann höchstens sagen, dass die Funktion aus zwei Funktionen "zusammengesetzt" ist.
Die Definitionsbereiche der beiden Funktionen, die [mm] $f\,$ [/mm] zusammensetzen (d.h. [mm] $f_{|(-\infty,t]}$ [/mm] und [mm] $f_{|(t,\infty)}$) [/mm] haben Definitionsbereiche, die einen leeren Schnitt haben, da
[mm] $$(-\infty,t] \cap (t,\infty)=\emptyset$$
[/mm]
ist.
Du müßtest also genauer formulieren, was Du mit schneiden meinst. Wenn ich [mm] $g(x):=g_1(x):=-1$ [/mm] für $x [mm] \le [/mm] 1$ und [mm] $g(x):=g_2(x):=x+a$ [/mm] für $x > [mm] 1\,$ [/mm] setze, so wäre das, was Du meinst, dass man [mm] $g_2(x)$ [/mm] an [mm] $x=1\,$ [/mm] so stetig fortsetzen sollte, dass der Graph der stetigen Fortsetzung von [mm] $g_2$ [/mm] an der Stelle $x=1$ einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen von [mm] $g_1$ [/mm] hat. Dann wäre [mm] $g\,$ [/mm] stetig. Aber irgendwie formuliert man dann ständig mit Stetigkeit um, also besser so:
Oben ist es ganz einfach:
Offenbar sind [mm] $f_{|(-\infty,t]}$ [/mm] und [mm] $f_{|(t,\infty)}$ [/mm] stetig (Warum?). Also ist [mm] $f_{|(-\infty,t] \cup (t,\infty)}$ [/mm] stetig, und daher ist, um zu prüfen, ob [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist, nur noch zu testen, ob
[mm] $$\lim_{\substack{x \to t\\x > t}}f(x)=f(t)$$
[/mm]
gilt (genau dann, wenn das gilt, ist [mm] $f\,$ [/mm] (in [mm] $t\,$ [/mm] und mit den vorangegangenen Überlegungen damit auch überall) stetig - denn bekanntlich ist eine Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] genau dann stetig in [mm] $x=t\,,$ [/mm] wenn der rechtsseitige und der linksseitige Limes mit dem Funktionswert $f(t)$ zusammenfallen).
Beste Grüße,
Marcel
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