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Stetigkeit: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:16 Mo 13.06.2005
Autor: Becks

Hallo zusammen. :)

Ich habe mal ne Frage wegen Stetigkeit. Das verwirrt mich noch etwas. Es heißt ja, dass eine Funktion in einem Punkt a stetig ist, wenn zu jeder Zahl  [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine Zahl  [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, so dass für alle x mit |x-a| < [mm] \delta [/mm] die Ungelichung |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon [/mm] gilt.
Soweit so gut, aber:

Ich habe ne Funktion f: D := [mm] \IR [/mm] \ {0, 3} [mm] \to \IR [/mm]



[mm] f(x)=\begin{cases} 2e^{1/x-1} & \mbox{für } x \in ] -\infty, 1[ \backslash {0} \\ \bruch{x² - 2x -3}{x-3} & \mbox{für } x \in [1,3[ \\ (x² - 9)log_{e} (x-3) + log_{e}(e(x-2)), & \mbox{für } x \in ]3, +\infty[ \end{cases} [/mm]



a) In welchem Punkt von D ist stetig?
b) In welchen Punkte von [mm] \IR \backslash [/mm] D ist f stetig fortsetzbar? Wie lautet ggf. die Fortsetzung?

Hmm ich kann doch nicht jeden Wert durchrechnen. Wie kann ich denn diese Punkte finden?

        
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Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 Mo 13.06.2005
Autor: subito

Hallo,

man soll ja nicht alle Punkte einzeln prüfen. Man geht wie folgt vor

ad a)
Die Funktion ist in 3 Abschnitte unterteilt. Für jeden dieser Abschnitte prüft man, ob die zu diesem Abschnitt gehörigen Funktionen stetig ist. Hierzu ist es i.d.R. hilfreich, wenn man einen passenden beliebig klein werdenen Ausdruck für [mm] \varepsilon [/mm] wählt, etwa  [mm] \varepsilon [/mm] =  [mm] \bruch{1}{n} [/mm] (mit natürlicher zahl n) und prüft ob man dazu ein (von n abhängiges) [mm] \delta [/mm] für diese Funktion finden kann.

Besonderes Augenmerk muss dann noch auf die Punkte geworfen werden, wo die Abschnitte zusammengesetzt sind.

Hinweis: Deine Funktion f ist bis auf ganz wenige Punkte auf D stetig.

ad b)
Hier sind ja nur zwei Punkte zu prüfen, nämlich 0 und 3

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:40 Di 14.06.2005
Autor: Becks

Also ist es egal, welchen Wert ich im Intervall nehme?
Ich glaube ich blicke da noch nicht so ganz durch. Da kann ich doch dann immer noch nichts über die Allgemeinheit sagen oder?
hmm :-/

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Di 14.06.2005
Autor: Becks

hallo,
kann mir denn keiner einen kleinen Ansatz geben, wie ich das in einem Intervall mache? Ich sitze davor und weiß nicht, wie ich es angehen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Bitte, ich verzweifel hier noch.

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Mi 15.06.2005
Autor: Julius

Hallo Becks!

Die Stetigkeit in den Intervallen selbst ist klar, dazu brauchst du nichts weiter zu schreiben.

Um die Stetigkeit in [mm] $x_0=1$ [/mm] zu überprüfen, musst du schauen, ob

[mm] $\lim\limits_{x \to 1} \left( 2e^{\frac{1}{x} -1} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to 1} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right)$ [/mm]

gilt.

Um zu schauen, ob die Funktion in $0$ und $1$ hinein stetig fortsetzbar ist, musst du schauen, ob

[mm] $\lim\limits_{x \to 0} \left(2e^{\frac{1}{x} -1} \right)$ [/mm]

existiert und ob

[mm] $\lim\limits_{x \to 3} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to 3} \left[ (x^2-9) \log_e(x-3) + \log_e(e(x-2))\right]$ [/mm]

gilt.

Viele Grüße
Julius

Bezug
                        
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Stetigkeit: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:29 Mi 15.06.2005
Autor: Becks

Vielen Dank für deine Antwort.

[mm] \lim\limits_{x \to 1} \left( 2e^{\frac{1}{x} -1} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to 1} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right) [/mm]

da habe kommt auf alle Seiten das Gleiche raus. (2 = 2)

[mm] \lim\limits_{x \to 0} \left(2e^{\frac{1}{x} -1} \right) [/mm]

wenn x gegen 0 geht, geht ja der Bruch gegen unendlich, somit der Exponent und der ganze Ausdruck auch.


[mm] \lim\limits_{x \to 3} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to 3} \left[ (x^2-9) \log_e(x-3) + \log_e(e(x-2))\right] [/mm]

[mm] \lim\limits_{x \to 3} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to 3} \left[ (x^2-9) \log_e(x-3) + \log_e(e(x-2))\right] [/mm]

Dort komme ich dann auf [mm] \bruch{0}{0}=1 [/mm] Also gilt es nicht.

Nun sage ich einfach bei der a)
Die Funktion f ist in allen Punkten von D stetig. Denn der einzige "kritische" Punkt war ja bei x=1 und das wurde ja gezeigt.

bei der b)
Dann ist die Funktion nur im Punkt x = 0 stetig fortsetzbar. Denn der Grenzwert würde gegen unendlich gehen. Und im Punkt x =3 gilt die Voraussetzung nicht und somit wäre die Funktion nicht stetig fortsetzbar.

Kann man das so sagen?
Du hast mir schon sehr geholfen, danke.

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit: Anmerkungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Mi 15.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Becks!


> [mm]\lim\limits_{x \to 1} \left( 2e^{\frac{1}{x} -1} \right)[/mm] =
> [mm]\lim\limits_{x \to 1} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right)[/mm]
>  
> da habe kommt auf alle Seiten das Gleiche raus. (2 = 2)

[ok] Richtig!

Das heißt ja nun, daß Deine "gestückelte Funktion" auch an der Stelle $x \ = \ 1$ stetig ist.


> [mm]\lim\limits_{x \to 0} \left(2e^{\frac{1}{x} -1} \right)[/mm]
>  
> wenn x gegen 0 geht, geht ja der Bruch gegen unendlich,
> somit der Exponent und der ganze Ausdruck auch.

[notok] Hier mußt Du mal zwei Betrachtungen durchführen: nämlich den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert.


> [mm]\lim\limits_{x \to 3} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right)[/mm] = [mm]\lim\limits_{x \to 3} \left[ (x^2-9) \log_e(x-3) + \log_e(e(x-2))\right][/mm]
>  
> [mm]\lim\limits_{x \to 3} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right)[/mm] = [mm]\lim\limits_{x \to 3} \left[ (x^2-9) \log_e(x-3) + \log_e(e(x-2))\right][/mm]
>  
> Dort komme ich dann auf [mm]\bruch{0}{0}=1[/mm] Also gilt es nicht.

[aufgemerkt] Bei einem unbestimmten Ausdruck wie [mm]\bruch{0}{0}[/mm] darfst Du nicht kürzen !!


Ein solcher unbestimmter Ausdruck schreit ja förmlich nach dem MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital !!

Alternativ kannst Du auch erstmal bei dem Bruch den Zähler faktorisieren und anschließend kürzen!


Für den Logarithmusausdruck gebe ich Dir mal folgenden Tipp:

[mm] $\left(x^2-9\right)*\log_e(x-3) [/mm] + [mm] \log_e[e*(x-2)]$ [/mm]

$= \ [mm] (x+3)*(x-3)*\log_e(x-3) [/mm] + [mm] \log_e(e) [/mm] + [mm] \log_e(x-2)$ [/mm]

$= \ [mm] (x+3)*\bruch{\log_e(x-3)}{\bruch{1}{x-3}} [/mm] + 1 + [mm] \log_e(x-2)$ [/mm]

Für die Grenzwertbetrachtung ist nunmehr ausschließlich der Doppelbruch kritisch und kann nun auch mit dem MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital "behandelt" werden.


> Nun sage ich einfach bei der a)
> Die Funktion f ist in allen Punkten von D stetig. Denn der
> einzige "kritische" Punkt war ja bei x=1 und das wurde ja gezeigt.

[notok] Da hast du aber noch zwei weitere Stellen übersehen: [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 3$ (siehe oben!).


> bei der b)
> Dann ist die Funktion nur im Punkt x = 0 stetig
> fortsetzbar. Denn der Grenzwert würde gegen unendlich
> gehen. Und im Punkt x =3 gilt die Voraussetzung nicht und
> somit wäre die Funktion nicht stetig fortsetzbar.
>  
> Kann man das so sagen?

Rechne die entsprechenden Stellen nochmals nach, und dann wirst Du wohl auf ein etwas anderes Ergebnis kommen ...


Gruß
Loddar


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