Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Sa 05.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten [mm] \vec{x} \in\IR^2 [/mm] \ {(0,0)} die Funktion g: [mm] \IR^2 [/mm] \ {(0,0)} [mm] \to (x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{xy} , & \mbox{für} xy \not= 0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] stetig ist.
b)Zeigen Sie: g lässt sich nicht stetig nach (0,0) fortsetzen. |
Hallo, mir fehlt noch die Letzte Aufgabe und da komm ich nich weiter:O Irgendwie haben wir eine Aufgabe wie a) noch nicht im Tutorium gerechnet :O Wie macht man die denn? Irgendwas mit partieller Stetigkeit?
Danke schon mal:)
Gruß David
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Hallo,
> a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten [mm]\vec{x} \in\IR^2[/mm] \
> {(0,0)} die Funktion g: [mm]\IR^2[/mm] \ {(0,0)} [mm]\to \red{\IR}, \red{g}(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{xy} , & \mbox{für} xy \not= 0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
> stetig ist.
Habe hier mal ein paar Ergänzungen gemacht. So war das doch gemeint?
> b)Zeigen Sie: g lässt sich nicht stetig nach (0,0)
[mm] \frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy} [/mm] für [mm] xy\neq0
[/mm]
zu b)
Eine Möglichkeit ist, über die Folgencharakterisierung von Stetigkeit zu gehen. Die Funktion ist stetig im Punkt (x,y), wenn für jede konvergente Folge [mm] p_n\to(x,y) [/mm] gilt, dass die Folge der Bilder [mm] f(p_n) [/mm] gegen f(x,y) läuft.
Die Unstetigkeitsstellen finden sich durch Angabe eines Gegenbeispiels. Man kann durch Angabe von zwei Folgen, deren Bildfolgen nicht den gleichen Grenzwert haben, zeigen, dass die Funktion nicht stetig fortsetzbar ist.
Beispiel für (0,0):
[mm] a_k=(\frac{1}{k},\frac{1}{k})\to(0,0) [/mm] sowie [mm] f(a_k)=\frac{(1/k+1/k)(1/k-1/k)}{1/k^2}=0\to0
[/mm]
[mm] b_k=(\frac{2}{k},\frac{1}{k})\to(0,0) [/mm] aber [mm] f(a_k)=\frac{(2/k+1/k)(2/k-1/k)}{1/k^2}=\frac{3/k^2}{1/k^2}\to3
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Sa 05.03.2011 | | Autor: | David90 |
Alles klar verstehe...und wie würde man bei a) vorgehen?
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:34 So 06.03.2011 | | Autor: | frozer |
> a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten [mm]\vec{x} \in\IR^2[/mm] \
> {(0,0)} die Funktion g: [mm]\IR^2[/mm] \ {(0,0)} [mm]\to (x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{xy} , & \mbox{für} xy \not= 0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
> stetig ist.
> b)Zeigen Sie: g lässt sich nicht stetig nach (0,0)
> fortsetzen.
> Hallo, mir fehlt noch die Letzte Aufgabe und da komm ich
> nich weiter:O Irgendwie haben wir eine Aufgabe wie a) noch
> nicht im Tutorium gerechnet :O Wie macht man die denn?
> Irgendwas mit partieller Stetigkeit?
> Danke schon mal:)
> Gruß David
Hi,
eigentlich ganz simpel.
du berechnest für die Funktion g für [mm](x,y) \in \IR^2\backslash\{(0,0)\}[/mm]
also genauer das hier [mm] \bruch{x^2-y^2}{xy} [/mm] mittels des Quotientienkriterium die partiellen Ableitungen.
also
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} [/mm] und
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}
[/mm]
Durch "scharfes Hinsehen" - so kann man wirklich in ana argumentieren - sind die partiellen Ableitungen als Komposition stetiger Funktionen stetig
auf [mm] \IR^2\backslash\{(0,0)\}.
[/mm]
Nun gibt es einen tollen Satz der sagt:
Existieren für f: [mm] \IR^n \supset [/mm] G [mm] \to \IR^m [/mm] alle partiellen Ableitungen und sind diese stetig so ist f differenzierbar. (wichtig ist das die partiellen ABleitungen stetig sind...)
Da du grade festgestellt hast, dass die partiellen Ableitungen stetig sind (oder auch nicht) folgt die totale differenzierbarkeit von f (oder auch nicht, wenn nicht stetig...)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:41 So 06.03.2011 | | Autor: | David90 |
Naja aber ich soll ja die Stetigkeit von f zeigen. Folgt aus totaler Diff'barkeit Stetigkeit?:O
Gruß David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 So 06.03.2011 | | Autor: | David90 |
Ok dumme Frage xD diff'bare Funktionen sind immer stetig xD Sorry:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 06.03.2011 | | Autor: | David90 |
Also ich hab das jetzt folgendermaßen gemacht: [mm] \bruch{ \partial f(x,y)}{\partial x}=\bruch{2x(xy)-((x^2-y^2)y)}{x^2y^2}=\bruch{2x^2y-x^2y+y^3}{x^2y^2}=\bruch{x^2y+y^3}{x^2y^2} [/mm] und [mm] \bruch{ \partial f(x,y)}{\partial y}=\bruch{2y(xy)-((x^2-y^2)x)}{x^2y^2}=\bruch{2xy^2-x^3+xy^2}{x^2y^2}=\bruch{3xy^2-x^3}{x^2y^2} [/mm] Beide sind als Komposition stetiger Funktionen stetig, d.h. die partiellen Ableitungen sind stetig auf [mm] \IR^2 [/mm] \ {(0,0)}, daraus folgt totale Diff'barkeit von f und daraus folgt f ist stetig:) Richtig?:)
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 So 06.03.2011 | | Autor: | frozer |
> Also ich hab das jetzt folgendermaßen gemacht: [mm]\bruch{ \partial f(x,y)}{\partial x}=\bruch{2x(xy)-((x^2-y^2)y)}{x^2y^2}=\bruch{2x^2y-x^2y+y^3}{x^2y^2}=\bruch{x^2y+y^3}{x^2y^2}[/mm]
das habe ich raus bekommen.....
[mm]\ldots = \bruch{x^2y}{x^2y^2}+\bruch{y^3}{x^2y^2} = \bruch{1}{y}+\bruch{y}{x^2}[/mm]
> und [mm]\bruch{ \partial f(x,y)}{\partial y}=\bruch{2y(xy)-((x^2-y^2)x)}{x^2y^2}=\bruch{2xy^2-x^3+xy^2}{x^2y^2}=\bruch{3xy^2-x^3}{x^2y^2}[/mm]
hier hab ich was anderes....
und zwar habe ich berechnet
[mm]\bruch{ \partial \left(\bruch{x^2-y^2}{xy}\right)}{\partial y}=
\bruch{ \partial \left(\bruch{x^2}{xy} - \bruch{y^2}{xy}\right)}{\partial y} = \bruch{ \partial \left(\bruch{x}{y} - \bruch{y}{x}\right)}{\partial y} = - \bruch{x}{y^2} - \bruch{1}{x}
[/mm]
> Beide sind als Komposition stetiger Funktionen stetig, d.h.
> die partiellen Ableitungen sind stetig auf [mm]\IR^2[/mm] \ {(0,0)},
> daraus folgt totale Diff'barkeit von f und daraus folgt f
> ist stetig:) Richtig?:)
> Gruß David
korrekt.
aus diffbar folgt stetig
aus nicht stetig folgt nicht diffbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 So 06.03.2011 | | Autor: | David90 |
hab jetz schon tausendmal gerechnet und weiß immer noch nich wie du auf dein ergebnis kommst:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 So 06.03.2011 | | Autor: | frozer |
okay dann nochmal langsam....:
ich glaube wir sind uns einig wenn ich sage, dass du die funktion
[mm]\bruch{x^2-y^2}{xy}[/mm] partiell ableiten musst.
Also auf gut deutsch du musst folgende berechnen...:
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{x^2-y^2}{xy}\right)[/mm]
bzw:
[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{x^2-y^2}{xy}\right)[/mm]
soweit so gut.
Jetzt kannst du deinen bruch den du oben hast ja umschreiben:
[mm]\bruch{x^2-y^2}{xy} = \bruch{x^2}{xy} - \bruch{y^2}{xy}[/mm]
sollte glaub ich auch noch klar sein und jetzt kannst du die x bzw y kürzen....
[mm]\bruch{x^2}{xy} - \bruch{y^2}{xy} =
\bruch{x}{y} - \bruch{y}{x}[/mm]
so jetzt kannst du die partiellen ableitungen von dem gekürzten berechnen, sollte ja das gleiche sein...
also berechne:
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{x}{y} - \bruch{y}{x}\right)=
\bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{x}{y}\right) - \bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{y}{x}\right)
[/mm]
bzw:
[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{x}{y} - \bruch{y}{x}\right) = \bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{x}{y}\right) - \bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
jetzt klarer? ansonsten musst du genauer sagen wo du nicht weiter kommst ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 So 06.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok das kürzen und um schreiben hatte ich ja verstanden^^ glaube ich hab ein grundlegendes verständnisproblem:O was heißt denn partiell ableiten? doch nur ganz normal ableiten, zuerst nach der einen variablen und dann nach der anderen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Mo 07.03.2011 | | Autor: | frozer |
ahhso^^ ok ok..
also partiell ableiten heißt du leitest deine funktion in alle "möglichen" richtungen nacheinander ab.
partiell ableiten= teilweises ableiten
heißt z.b. für f(x,y,z) du leitest einmal nach x, einmal nach y und einmal nach z ab.
für g(a,b,q) einmal nach a, einmal nach b, einmal nach q ableiten....usw
wenn du jetzt zum beispiel nach x-ableitest dann betrachtest du alle anderen variablen als konstante (du ersezt in deinem kopf alle anderen variablen wirklich mit konstanten, stehen diese ohne x fallen diese bekanntlicherweise weg, stehen die zusammen mit einem x werden diese einfach an die ableitung von x multipliziert)
in kurz:
(konstante)' = 0
(konstante*x)' = konstante*(x')
analog machst du das halt auch wenn du nach y ableitest oder anderen variablen.....
verständlich genug?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:03 Mo 07.03.2011 | | Autor: | David90 |
achso ok...in meinem beispiel muss man dann quotientenregel anwenden oder?^^
Gruß David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Mo 07.03.2011 | | Autor: | David90 |
achso^^ alles klar danke dir:)
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Quotientenregel