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| Aufgabe | a) Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig. Zeige, dass die Nullstellenmenge von f, d.h. die Menge { x [mm] \in \IR [/mm] , f(x)=0} eine abgeschlossene Menge ist.
b) Sei f: [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] stetig, zeige, dass f mind einen fixpunkt besitzt, d.h. es gibt ein x [mm] \in [/mm] [0,1] mit f(x) = x. |
huhu
also zu a)
dachte ich mir so:
das Komplement wäre ja x [mm] \in \IR [/mm] , f(x) = beliebig aber ungleich Null oder? Der Bereich des komplements wäre ja offen und dann wäre trivialerweise die Menge abgeschlossen.
b)
hab ich leider keine Idee. Sieht mir nach Zwischenwertsatz aus, aber wieß nicht wie ich das zeigen soll..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mi 28.12.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
betrachte die Funktion g(x)=f(x)-x und schätze g(0) und g(1) ab und wende dann den Zwischenwertsatz an.
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ah danke für die tolle Hilfsfunktion für b) ;)
ist mein ansatz in a denn richtig? dass das Komplement zur Menge (trivialerweise?) offen ist und das dazu äquivalent die menge abgeschlossen ist?
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Hallo,
> ah danke für die tolle Hilfsfunktion für b) ;)
>
> ist mein ansatz in a denn richtig? dass das Komplement zur
> Menge (trivialerweise?) offen ist
Das trivialerweise lässt sich hier auch begründen mit der Stetigkeit von f.
Sei [mm] A=\{x\in\IR:f(x)\neq0\} [/mm] und [mm] x\in [/mm] A mit [mm] f(x)=c\neq0. [/mm] Dann gibt es zu [mm] \varepsilon=|c|/2 [/mm] eine [mm] \delta>0, [/mm] sodass für [mm] y\in U_\delta(x) [/mm] gilt [mm] f(y)\neq0.
[/mm]
LG
> und das dazu äquivalent
> die menge abgeschlossen ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Do 29.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu a):
Sei A:= [mm] \{ x \in \IR: f(x)=0 \}
[/mm]
Nimm eine konvergente Folge aus A her und zeige: lim [mm] x_n \in [/mm] A.
FRED
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