Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Sa 31.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | $ f(x) = [mm] \bruch{|x|}{x} [/mm] $
Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit. |
Umgeschrieben ergibt sich nach Definition:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \\ -1, & \mbox{für } x \mbox{ <0} \end{cases}
[/mm]
Der Definitionsbereich ist [mm] $\IR \backslash [/mm] {0}$
Die Definition von Stetigkeit besagt doch aber, dass jede Folge [mm] x_n [/mm] im Definitionsbereich mit Grenzwert a (in diesem Fall 0) gelten muss:
Die Folge [mm] f(x_n) [/mm] ist konvergent mit lim [mm] f(x_n)=f(a) [/mm] (also f(0)). f(0) ist doch aber nicht definiert, also kann es nicht gleich sein mit [mm] f(x_n). [/mm] Könnte man dies nicht auch schon als Begründung für Unsetigkeit anführen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Sa 31.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Diese Funktion ist - auch wenn es nicht so aussieht, auf ihrem kompletten Definitionsbereich stetig, die Null ist ja ausgeschlossen, also gibt es keine "kritische Stelle" mehr.
Für alle x im Definitionsbereich ist diese Funktion eine konstante Funktion, also stetig.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Sa 31.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Das will ich noch nicht ganz verstehen.
Kann ich also einfach anführen, dass sie für x<0 und x>0 mit der konstanten Funktion f(x)=c übereinstimmt und in x=0 nicht definiert ist.
Aus der Schule habe ich im Hinterkopf, dass die Funktion springt und daher nicht stetig ist. Sie endet doch kurz vor x=0 bei -1 von der linken Seite und auf der rechten Seite "beginnt" sie bei 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Sa 31.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Das will ich noch nicht ganz verstehen.
>
> Kann ich also einfach anführen, dass sie für x<0 und x>0
> mit der konstanten Funktion f(x)=c übereinstimmt und in
> x=0 nicht definiert ist.
Kannst du.
>
> Aus der Schule habe ich im Hinterkopf, dass die Funktion
> springt und daher nicht stetig ist. Sie endet doch kurz vor
> x=0 bei -1 von der linken Seite und auf der rechten Seite
> "beginnt" sie bei 1.
Das ist auch alles korrekt, aber bei x=0 ist die Funktion nicht definiert, also ist es nicht nötig, sie dort auf Stetigkeit zu untersuchen.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aus der Schule habe ich im Hinterkopf, dass die Funktion
> springt und daher nicht stetig ist. Sie endet doch kurz vor
> x=0 bei -1 von der linken Seite und auf der rechten Seite
> "beginnt" sie bei 1.
das bestätigt nur das, was ich noch vor kurzem noch genau hier geschrieben habe:
Zitat:
"Denn ein Beispiel: In der Schule wird oft gelehrt "Eine Funktion, die man zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen, heißt stetig."
Der Satz hat viele Probleme und ist eigentlich sogar an vielen Stellen falsch. Je nachdem, wie man den Begriff "Funktion" eingeführt hat (und in der Schule macht man das meist nicht über den Relationsbegriff), fragt man sich, wie man denn eine Funktion zeichnen können soll? (Zeichnen ist hier eh nur im Sinne von skizzieren gemeint, und meistens kann man auch nur "eine Einschränkung der Funktion" "zeichnen".) Meistens sollte der Lehrer da schon besser vom Graphen der Funktion sprechen - und sich die Zeit gönnen, den Begriff "Graph von einer Funktion $ f:M [mm] \to [/mm] N $" zu definieren.
Ein weiteres Problem dieser Definition ist, dass gar nicht auf den Definitionsbereich eingegangen wird. I.a. ist es gar nicht wahr, dass man den Graphen stetiger Funktionen zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. In der Schule sollte der Lehrer dann auch irgendwie erwähnen, dass er sich da auf Teile des Definitionsbereichs bezieht, die zusammenhängend sind (in der Schule betrachtet man ja eh meist nur Abbildungen, deren Definitionsbereiche Teilmengen von $ [mm] \IR [/mm] $ sind). Die nächste Frage ist eigentlich, wie der Lehrer das nun auf Funktionen übertragen will, die nur "gewisse" Stetigkeitsstellen haben. Ich meine:
Die Abbildung $ [mm] \IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto x\cdot{}1_{\IQ}(x) \in \IR [/mm] $ (letztstehendes ist die Indikatorfunktion von $ [mm] \IQ [/mm] $) ist einzig und allein stetig in $ [mm] x=0\,. [/mm] $ Wie erkennt man das "zeichnerich mit dem Stiftabsetzkriterium", wo doch $ [mm] \IQ [/mm] $ dicht in $ [mm] \IR [/mm] $ liegt und man ständig, wenn man auf die $ [mm] 0\, [/mm] $ zuläuft, demnach Funktionswerte $ [mm] x\, [/mm] $ und $ [mm] 0\, [/mm] $ hat?
Das für mich in der Schule verwirrendste war aber vor allem die Behauptung: Jede Folge ist eine stetige Funktion. Mit den obigen Definitionen ist das klar. Mit dem "Stiftabsetzkitzerium" gar nicht. Alleine, weil doch zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen alle Abstand $ [mm] 1\, [/mm] $ haben, muss ich doch "schon immer nach rechts springen, um die Funktionswerte zu markieren".
Soviel also mal zu dem "Stiftabsetzkriterium". Ein guter Lehrer sollte wirklich aufpassen, wie er dieses formuliert - und lieber ein wenig zuviel fordern als zuwenig, wenn er Stetigkeit mit "Graphen kann man zeichnen, ohne Stift abzusetzen" charakterisieren will. Um diese Formulierung derart verwenden zu können, muss man eigentlich einen Haufen extra an den Definitionsbereich fordern.
Aber:
Ich bin mir sicher, dass die Schüler den Begriff der "Folgenstetigkeit" mindestens genauso handlich finden würden, und er würde für weniger Verwirrung sorgen. Denn dass dieser (in metrischen Räumen) äquivalent zur Stetigkeit mit $ [mm] \epsilon-\delta [/mm] $ (an der Stelle $ [mm] x_0 [/mm] $) ist, ist ja bewiesen. Aber auch da muss der Lehrer aufpassen, dass er sagt:
"Eine Funktion $ f:M [mm] \to [/mm] N $ heißt stetig an der Stelle $ [mm] x_0\,, [/mm] $ wenn für jede Folge $ [mm] (x_n)_n [/mm] $ in $ [mm] M\, [/mm] $ (!!!) mit $ [mm] x_n \to x_0 [/mm] $ gilt..."
Meine persönliche Meinung ist: Entfernt das "Stiftabsetzkriterium", es sorgt meist mehr für Verwirrung denn Hilfe, und arbeitet lieber mit dem Begriff der Folgenstetigkeit in der Schule. Ich denke echt, dass die meistens Schüler damit besser klarkommen, und es sorgt weniger für Verwirrung (denn oben habe ich nur zwei kleine Beispiele gegeben, wo "das Stiftabsetzkriterium" entweder gar nicht passt, oder präziser formuliert werden muss, als es die meisten Lehrer tun!)
Meines Erachtens ist das ganze also durchaus eine Sache des Lehrers/Autors, die Dinge auch sauber und unmissverständlich zu definieren und zu notieren. Meinetwegen das ganze auch noch mit Beispielen oder Gegenbeispielen zu untermauern, was gemeint und was nicht gemeint ist. "
Zitat Ende!
Dieses Kriterium mit "zeichnen, ohne Stift abzusetzen" oder "die Funktion springt" ist oft vielzu ungenau. Da bedarf es gewisser Eigenschaften des Definitionsbereichs, um das so sagen zu können. Und selbst da habe ich mir noch nicht genau überlegt, was man minimal fordern muss. Ich denke dabei jedenfalls oft an den Begriff "zusammenhängend". Ob das ausreichend ist, weiß ich selbst nicht...
P.S.:
Das "Sprungstellen Unstetigkeitsstellen" sind, kann man dennoch sagen. Man muss nur GENAU lesen, wie der Begriff "Sprungstelle" präzise definiert ist, siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) Definition 12.13.
Das geht vielleicht auch anders, wenn man diese Bezeichnung etwa auch für jene [mm] $x\,$ [/mm] zuläßt, die in einem (von [mm] $x\,$ [/mm] abhängiggen) offenen Intervall liegen, das komplett im Definitionsbereich liegt. Vermutlich kann man sowas auch auf metrische Räume erweitern... durch Verwendung des Begriffes Häufungspunkt. Habe ich aber gerade nicht ganz im Kopf und auf die Schnelle auch nicht gefunden!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
zu dem Thema wurden ja schon ganze Bücher geschrieben.
Meiner Meinung nach ist es aber einfach nicht die komplette
Wahrheit betr. Stetigkeit einer Funktion, wenn man nur sagt,
sie sei stetig, dabei aber die wichtige Tatsache unterschlägt,
dass ihr Definitionsbereich nicht zusammenhängend ist.
Die anschauliche Beschreibung des Stetigkeitsbegriffs durch
das "Zeichnen des Graphs ohne Absetzen des Stifts" ist doch
wenigstens für die einzelnen Zusammenhangskomponenten
des Graphs einer stetigen Funktion auch richtig - und ich
würde auf diese Anschauung bestimmt nicht ohne sehr gute
Argumente verzichten wollen. Natürlich muss man bei der
genauen Formulierung vorsichtig sein, aber auch in der Mathe-
matik sollte man nicht das Kind (hier die Anschaulichkeit)
mit dem Bad ausschütten. Der Begriff der Stetigkeit kommt
aus der Anschauung, und diese Herkunft sollte nach meiner
Ansicht auch nicht durch Definitionen vernebelt werden.
LG Al-Chw.
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> Hallo
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> Diese Funktion ist - auch wenn es nicht so aussieht, auf
> ihrem kompletten Definitionsbereich stetig, die Null ist ja
> ausgeschlossen, also gibt es keine "kritische Stelle"
> mehr.
>
> Für alle x im Definitionsbereich ist diese Funktion eine
> konstante Funktion, also stetig.
Letzteres kann man aber doch so nicht sagen !
Man kann die Funktion zwar durch zwei konstante
Funktionen beschreiben, aber insgesamt ist sie
nicht "auf ihrem Definitionsbereich konstant".
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f(x) = \bruch{|x|}{x}[/mm]
>
> Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit.
> Umgeschrieben ergibt sich nach Definition:
>
> $ [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \\ -1, & \mbox{für } x \mbox{ <0} \end{cases}[/mm]
>
> Der Definitionsbereich ist [mm]\IR \backslash {0}[/mm]
>
> Die Definition von Stetigkeit besagt doch aber, dass jede
> Folge [mm]x_n[/mm] im Definitionsbereich mit Grenzwert a (in diesem
> Fall 0)
was soll das "in diesem Fall [mm] $0\,$"??? [/mm] Der Grenzwert [mm] $a\,$ [/mm] muss natürlich im Definitionsbereich liegen!
> gelten muss:
> Die Folge [mm]f(x_n)[/mm] ist konvergent mit lim [mm]f(x_n)=f(a)[/mm] (also
> f(0))
Nein. Die Stelle [mm] $x_0=0\,$ [/mm] kannst Du gar nicht betrachten, denn
> . f(0) ist doch aber nicht definiert,
Besser gesagt: [mm] $0\,$ [/mm] gehört nicht zum Definitionsbereich von [mm] $f\,.$
[/mm]
> also kann es
> nicht gleich sein mit [mm]f(x_n).[/mm] Könnte man dies nicht auch
> schon als Begründung für Unsetigkeit anführen?
Nein. Die ganze Problematik liegt einfach daran, dass Du die Definition entweder noch nicht durchdrungen hast, ihr sie falsch notiert habt oder es einfach Missverständnisse gibt:
Grob (grob, weil ich es mir hier erspare, von metrischen Räumen etc. explizit zu reden):
Eine Funktion $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] heißt (genau dann) stetig an der Stelle [mm] $x_0 \blue{\in M}\,,$ [/mm] wenn für jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $\blue{M}$ [/mm] (d.h. [mm] $x_n \in [/mm] M$ für alle [mm] $n\,$) [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] gilt, dass auch [mm] $\lim f(x_n)=f(\lim x_n)=f(x_0)\,.$ [/mm] Eine Funktion wie oben heißt (genau dann) stetig, wenn sie an allen Stellen (ihres Definitionsbereichs) stetig ist.
D.h., Du hast zu zeigen:
Ist [mm] $x_0 \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] beliebig, aber fest, und ist [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, und ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] (d.h. alle [mm] $x_n \not=0$ [/mm] sind reelle Zahlen) mit [mm] $x_n \to x_0\,,$ [/mm] so existiert ein [mm] $N=N_{x_0,\epsilon} \in \IN$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $$|f(x)-f(x_n)| \le \epsilon\,.$$
[/mm]
Das ist Deine Aufgabe ganz ausführlich gestellt, wenn Du schon weißt oder wüßtest, dass Deine obige Funktion stetig ist!
Um die obige Funktion auf Stetigkeit zu untersuchen, startest Du also so:
Sei [mm] $x_0 \in \IR \setminus \{0\}\,.$ [/mm] Dann gilt:
1. Fall:
Sei [mm] $x_0 [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
(Vorüberlegung: Wenn [mm] $x_0 [/mm] > 0$ ist, und wenn alle [mm] $x_n \not=0$ [/mm] reelle Zahlen sind mit [mm] $x_n \to x_0\,,$ [/mm] dann wird es zunächst sicher mal ein [mm] $N_1$ [/mm] geben, so dass [mm] $x_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \ge N_1\,.$ [/mm] (Denn sicher werden irgendwann mal alle Folgenglieder [mm] $x_n$ [/mm] in der [mm] $x_0/2$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] liegen).)
Sei nun [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann können wir o.E. [mm] $\epsilon \le x_0/2$ [/mm] annehmen...
2. Fall:
Sei [mm] $x_0 [/mm] < [mm] 0\,.$ [/mm] ...
Das geht dann analog. Entweder benutzt Du "eine Symmetrieeigenschaft" der obigen Funktion, oder Du beachtest beim Aufschreiben etwa: Ist [mm] $x_0 [/mm] < [mm] 0\,,$ [/mm] so kannst Du o.E. [mm] $\epsilon \le -x_0/2$ [/mm] annehmen...
Mach' Dir das mal meinetwegen erstmal mit einem konkreten [mm] $x_0$ [/mm] klar - etwa [mm] $x_0=1.5\,:$ [/mm]
Wenn alle [mm] $x_n \not=0$ [/mm] sind mit [mm] $x_n \to 1.5\,,$ [/mm] dann gilt: Ist o.E. $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 0.75$, so fallen fast alle Folgenglieder der Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in das Intervall [mm] $]1.5-\epsilon,\;1.5+\epsilon[ \subseteq ]0.75,\;2.25[\,,$ [/mm] es gibt also ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt [mm] $x_n \in ]1.5-\epsilon,\;1.5+\epsilon[\,.$ [/mm] Insbesondere sind dann alle diese [mm] $x_n [/mm] > [mm] 1.5.\epsilon \ge 0.75\,,$ [/mm] also [mm] $x_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Daher folgt...
Die Aufgabe hier ist daher wirklich sehr einfach. Machen wir mal eine, die minimal schwieriger ist:
Wie sieht's denn aus, wenn Du
[mm] $$g(x):=x/|x|^2$$
[/mm]
als Funktion [mm] $\IR \setminus \{0\} \to \IR$ [/mm] betrachtest?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Sa 31.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | $ [mm] f(x)=\begin{cases} {\bruch{|x|}{x}}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases} [/mm] $ |
Diese Funktion ist dann vermutlich nicht stetig.
Für x>0 und x<0 stimmt sie wieder mit der konstanten Funktion überein.
An der Stelle x=0 habe ich die Folge [mm] x_n=\bruch{1}{n} [/mm] betrachtet. Für diese ist $ lim [mm] x_n [/mm] = 0 . lim [mm] f(x_n) [/mm] = lim -1 = -1 [mm] \not= [/mm] 1 = f(0) $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Sa 31.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das Ergebnis ist korrekt, die Notation ist etwas verwirrend.
[mm] $\lim_{h\to0}f(0+h)=\frac{|0+h|}{0+h}=1$
[/mm]
und
[mm] $\lim_{h\to0}f(0-h)=\frac{|0-h|}{0-h}=-1 [/mm] $
mit
$f(0)=1$
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Sa 31.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Das ist doch die h-Methode. Diese haben wir in der Vorlesung aber nicht behandelt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Sa 31.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Das ist doch die h-Methode. Diese haben wir in der
> Vorlesung aber nicht behandelt.
Das ist nicht der Differentialquotient, auch wenn es bei dieser Funktion gewisse Ähnlichkeiten gibt.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Sa 31.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bitte stelle die Frage nicht einfach ohne Kommentar wieder auf Statuslos. Wenn du konkrete Rückfragen hast, stelle sie, dann können wir darauf reagieren.
Marius
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