Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Do 05.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass f(x) = [mm] x^3+ [/mm] 5/2 x -1 im Intervall [0; 1] stetig ist. |
Hallo ;))
Ich weiß nicht, mit welcher Methode ich das am besten zeige!
Ich weiß, man sollte einen Ansatz posten, trotzdem wäre ich dankbar für einen Tipp welche Methode (delta-,epsilon-kriterium,linksseitiger Grenzwert=rechtsseitiger Grenzwert) da am besten wäre.
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Hallo,
bei solchen Beweisen nur auf einem abgeschlossenen Intervall würde sich u.U. auch der Versuch lohnen, Lipschitz-Stetigkeit nachzuweisen (wenn diese schon behandelt wurde).
(Normalerweise würde man natürlich einfach auf die Stetigkeit der drei Summanden verweisen, aber dies ist natürlich hier nicht vorgesehen, sonst wäre die Aufgabe sinnlos.)
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Do 05.01.2012 | | Autor: | sissile |
Hei ;P
> bei solchen Beweisen nur auf einem abgeschlossenen
> Intervall würde sich u.U. auch der Versuch lohnen,
> Lipschitz-Stetigkeit nachzuweisen (wenn diese schon
> behandelt wurde).
Schon kurz behandelt, aber noch nicht verstanden ;)
> (Normalerweise würde man natürlich einfach auf die
> Stetigkeit der drei Summanden verweisen, aber dies ist
> natürlich hier nicht vorgesehen, sonst wäre die Aufgabe
> sinnlos.)
Ja, wahrscheinlich.
Geht das gar nicht mithilfe von Grenzwerten? Kann man, da nicht irgendwie die links- und rechts-seitigen Grenzwert bestimmen'?
(Bin da leider noch sehr unsicher, wie man das macht)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Do 05.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geht das gar nicht mithilfe von Grenzwerten? Kann man, da
> nicht irgendwie die links- und rechts-seitigen Grenzwert
> bestimmen'?
> (Bin da leider noch sehr unsicher, wie man das macht)
natürlich geht das.
Eine Funktion $f: M [mm] \subseteq \IR \to \IR$ [/mm] ist genau dann stetig in [mm] $x_0 \in M\,,$ [/mm] wenn für jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_0 \not=x_n \to x_0$ [/mm] gilt, dass auch
[mm] $$f(x_n) \to f(x_0)\,,$$
[/mm]
und [mm] $f\,$ [/mm] heißt stetig, wenn sie für alle [mm] $x_0 \in [/mm] M$ stetig ist. Man sagt zudem, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig auf $A [mm] \subseteq [/mm] M$ sei, wenn [mm] $f\,$ [/mm] für alle [mm] $x_0 \in [/mm] A$ stetig ist.
Bei Dir nun:
Sei nun [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1]$ beliebig, aber fest.
1.) Selbstverständlich gilt per Definition von [mm] $f\,$ [/mm] dann
[mm] $$f(x_0) [/mm] = [mm] x_0^3+ [/mm] (5/2) [mm] x_0 -1\,.$$
[/mm]
2.) Seien nun [mm] $x_n \not=x_0$ [/mm] alle in $[0,1]$ und es gelte [mm] $x_n \to x_0\,.$ [/mm] Wiederum klar ist, dass für jedes [mm] $n\,$ [/mm] gilt
[mm] $$f(x_n) [/mm] = [mm] x_n^3+ [/mm] (5/2) [mm] x_n -1\,.$$
[/mm]
Was Du machen mußt ist also:
Für [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1]$ und alleine mit dem Wissen
[mm] $$x_0 \not=\underbrace{x_n}_{\in [0,1]} \to x_0$$ [/mm]
ist zu zeigen, dass dann gilt, dass
[mm] $$x_n^3+ [/mm] (5/2) [mm] x_n [/mm] -1 [mm] \to x_0^3+ [/mm] (5/2) [mm] x_0 -1\,.$$
[/mm]
Dazu benutzt Du die bekannten Regeln für konvergente Folgen: Produkte konvergenter Folgen konvergieren gegen das Produkt der Grenzwerte, analoges gilt für Summen etc. pp.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 05.01.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo, schonmal danke für die ANtwort.
Ich hab dazu eine Frage:
> $ [mm] x_n^3+ [/mm] (5/2) [mm] x_n [/mm] -1 [mm] \to x_0^3+ [/mm] (5/2) [mm] x_0 -1\,. [/mm] $
Gilt, dass bei n-> [mm] \infty [/mm] oder wann konvergiert es?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Do 05.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo, schonmal danke für die ANtwort.
> Ich hab dazu eine Frage:
> > [mm]x_n^3+ (5/2) x_n -1 \to x_0^3+ (5/2) x_0 -1\,.[/mm]
> Gilt,
> dass bei n-> [mm]\infty[/mm] oder wann konvergiert es?
Ja genau. In der Antwort meines Vorredners ist überall
[mm] $x_n\to x_0$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
gemeint.
Gruß Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Do 05.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo, schonmal danke für die ANtwort.
> > Ich hab dazu eine Frage:
> > > [mm]x_n^3+ (5/2) x_n -1 \to x_0^3+ (5/2) x_0 -1\,.[/mm]
> >
> Gilt,
> > dass bei n-> [mm]\infty[/mm] oder wann konvergiert es?
>
> Ja genau. In der Antwort meines Vorredners ist überall
>
> [mm]x_n\to x_0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
richtig. Danke.
@Sissile
Ich erspare mir's mittlerweile eigentlich fast immer, bei konvergenten Folgen, etwa [mm] $(x_n)_{n \in \IN} \in M^{\IN}$, [/mm] die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergieren, in der Notation [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] explizit zu erwähnen, dass das bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt. Weil ich faul geworden bin und mir denke, dass eigentlich alle, die drüber nachdenken, zu dem Schluss kommen: "Was sollte er sonst meinen?"
Früher hatte ich das immer explizit hingeschrieben:
[mm] $$x_n \to x_0\;\;\;(n \to \infty)$$
[/mm]
oder
[mm] $$x_n \;\;\;\substack{\longrightarrow\\ n \to \infty} \;x_0$$
[/mm]
etc.
Auf dem Papier würde ich's in handgeschriebener Form auch immer noch (oder meistens) machen. Aber in Latex nervt mich dann die Tipperei. Deswegen definiere ich in manchen Texten auch einfach etwa ein Summensymbol wie
[mm] $$\sum:=\sum_{k=1}^n$$
[/mm]
oder
[mm] $$\sum:=\sum_{\substack{\ell=0\\\ell \text{ gerade }}}^n$$
[/mm]
(diese Definition des [mm] $\sum$ [/mm] gilt dann so natürlich nur für den Text, in welchem ich das [mm] $\sum$ [/mm] so definiert und verwendet habe)
und denke, dass die Leute dann [mm] $\sum [/mm] k$ berechnen können (natürlich beziehe ich mich dann auch nur auf eine etwa der beiden Definitionen oben - ich definiere es nicht ständig im Text um oder so ^^). Oder ich schreibe [mm] $\lim:=\lim_{n \to \infty}$ [/mm] und hätte dann oben kurz
[mm] $$x_0=\lim x_n$$
[/mm]
geschrieben...
Nur, falls Du weiteres von mir liest. Vielleicht erübrigt sich dann die ein oder andere Nachfrage. Wobei ich natürlich dennoch froh bin, wenn Du nachfragst, wenn etwas unklar ist. Zumal ich nicht will, dass Du lange über etwas nachdenkst, was nur an meinen Notationen liegt ^^
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Fr 06.01.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo ;)
Okay, danke für den Hinweis
aber wenn [mm] x_n [/mm] -> [mm] x_0 [/mm] dann doch auch [mm] x_n^3 ->x_0^3
[/mm]
Wenn ich dass aber so sage, dann kann ich das mit jeden Term einer Funktion machen und dann ist ja jede Funktion immer stetig!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Fr 06.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ;)
> Okay, danke für den Hinweis
>
> aber wenn [mm]x_n[/mm] -> [mm]x_0[/mm] dann doch auch [mm]x_n^3 ->x_0^3[/mm]
Ja
>
> Wenn ich dass aber so sage, dann kann ich das mit jeden
> Term einer Funktion machen und dann ist ja jede Funktion
> immer stetig!?
Unsinn. Bei Polynomen geht das so.
Aber nimm mal f(x):=sign(x) und [mm] x_0=0
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Fr 06.01.2012 | | Autor: | sissile |
Okay danke.
> $ [mm] x_n^3+ [/mm] (5/2) [mm] x_n [/mm] -1 [mm] \to x_0^3+ [/mm] (5/2) [mm] x_0 -1\,. [/mm] $
wenn $ [mm] x_n [/mm] $ -> $ [mm] x_0 [/mm] $ dann doch auch $ [mm] x_n^3 ->x_0^3 [/mm] $
(5/2) [mm] x_n [/mm] -> (5/2) [mm] x_0
[/mm]
-1 -> -1
Irgendwie hab ich das Gefühl, dass ich damit ja gar nichts zeige!?
die vorzeichenfunktion: sie ist überall stetig außer bei x = 0; dort ist der linksseitige grenzwert -1 und der rechtsseitige +1; also nicht stetig.
Aber wie kann man sich diese Grenzwerte ausrechnen? Ich weiß es schon, wenn ich mir den Graph anschaue aber sonst ist das nicht berechnenbar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Okay danke.
> > [mm]x_n^3+ (5/2) x_n -1 \to x_0^3+ (5/2) x_0 -1\,.[/mm]
> wenn [mm]x_n[/mm]
> -> [mm]x_0[/mm] dann doch auch [mm]x_n^3 ->x_0^3[/mm]
Ja genau. Ist Dir denn auch kalr warum das so ist? (Hinweis: Produkt konvergenter Folgen)
> (5/2) [mm]x_n[/mm] -> (5/2)
> [mm]x_0[/mm]
denn Konstanten lassen sich aus dem Limes ziehen.
> -1 -> -1
> Irgendwie hab ich das Gefühl, dass ich damit ja gar
> nichts zeige!?
Oh doch. Das wird Dir wahrscheinlich aber erst klar, wenn Du Beispiele hast bei denen es nicht funktioniert. Erinnerung: [mm] $I\subset\IR$, $f:I\rightarrow\IR$, $a\in [/mm] I$. $f$ ist im Punkt [mm] $a\in [/mm] I$ stetig, definitionsgemaess genau dann wenn
[mm] $\forall\,\left(x_n\right)_{n\in\IN}\subset [/mm] I$ mit [mm] $x_n\rightarrow [/mm] a$ (fuer [mm] $n\to\infty$) [/mm] : [mm] $f(x_n)\rightarrow [/mm] f(a)$ (fuer [mm] $n\to\infty$)
[/mm]
> die vorzeichenfunktion: sie ist überall stetig außer bei
> x = 0; dort ist der linksseitige grenzwert -1 und der
> rechtsseitige +1; also nicht stetig.
Genau. Du hast per Definition $sgn(0)=0$. Hier kannst Du z.B. die Folgen [mm] $x_n=\frac{1}{n}\rightarrow [/mm] 0$ und [mm] $y_n=-\frac{1}{n}\rightarrow [/mm] 0$ waehlen, dann hast Du
[mm] $sgn(x_n)=sgn(\frac{1}{n})=1\rightarrow 1\neq [/mm] 0 =sgn(0)$ fuer [mm] $n\to\infty$
[/mm]
[mm] $sgn(y_n)=sgn(-\frac{1}{n})=-1\rightarrow -1\neq [/mm] 0=sgn(0)$ fuer [mm] $n\to\infty$
[/mm]
>
> Aber wie kann man sich diese Grenzwerte ausrechnen?
welche Grenzwerte meinst Du genau?
> Ich
> weiß es schon, wenn ich mir den Graph anschaue aber sonst
> ist das nicht berechnenbar?
Bitte genauer erklaeren, was Du genau moechtest
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Fr 06.01.2012 | | Autor: | sissile |
Danke Denny, du hast mir mit deiner Antwort sehr weitergeholfen.
> Bitte genauer erklaeren, was Du genau moechtest
> Erinnerung: $ [mm] I\subset\IR [/mm] $, $ [mm] f:I\rightarrow\IR [/mm] $, $ [mm] a\in [/mm] I $. $ f $ ist im Punkt $ [mm] a\in [/mm] I $ stetig, definitionsgemaess genau dann wenn
> $ [mm] \forall\,\left(x_n\right)_{n\in\IN}\subset [/mm] I $ mit $ [mm] x_n\rightarrow [/mm] a $ (fuer $ [mm] n\to\infty [/mm] $) : $ [mm] f(x_n)\rightarrow [/mm] f(a) $ (fuer $ [mm] n\to\infty [/mm] $)
Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass es ist punkt a stetig ist, wenn der rechtsseitige mit den linksseitigen Grenzwert übereinstimmt. Sagt das auch die obige Definition aus?
Und wie bestimmt man den linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwert? Muss man dazu den Graphen der Funktion kennen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Danke Denny, du hast mir mit deiner Antwort sehr
> weitergeholfen.
> > Bitte genauer erklaeren, was Du genau moechtest
>
> > Erinnerung: [mm]I\subset\IR [/mm], [mm]f:I\rightarrow\IR [/mm], [mm]a\in I [/mm]. [mm]f[/mm]
> ist im Punkt [mm]a\in I[/mm] stetig, definitionsgemaess genau dann
> wenn
>
> > [mm]\forall\,\left(x_n\right)_{n\in\IN}\subset I[/mm] mit
> [mm]x_n\rightarrow a[/mm] (fuer [mm]n\to\infty [/mm]) : [mm]f(x_n)\rightarrow f(a)[/mm]
> (fuer [mm]n\to\infty [/mm])
> Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass es ist punkt a
> stetig ist, wenn der rechtsseitige mit den linksseitigen
> Grenzwert übereinstimmt. Sagt das auch die obige
> Definition aus?
Ja, das tut sie. Um dies einzusehen, solltest Du Dir die Definition (Folgenkriterium) der links- und rechtsseitigen Stetigkeit ansehen. Dort fordert man von der Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] zusaetzlich [mm] $x_n<0$ [/mm] bzw. [mm] $x_n>0$ [/mm] in der obigen Definition.
> Und wie bestimmt man den linksseitigen bzw. rechtsseitigen
> Grenzwert?
Haben wir doch am Beispiel der Signumfunktion durchgespielt. Waehle statt [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] eine beliebige folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n>0$ [/mm] fuer alle $n$ und [mm] $x_n\to [/mm] 0$. Dann ist [mm] $sgn(x_n)=1$.
[/mm]
> Muss man dazu den Graphen der Funktion kennen?
>
Nein.
> LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:40 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo sissilie,
Du wolltest wissen, wie man etwa den rechtsseitigen Grenzwert von $f: M [mm] \subseteq \IR \to \IR$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] berechnet.
Also allgemein muss das nicht immer wirklich einfach sein. Aber was müßte man erstmal machen:
Man zeigt erstmal, dass [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] einen rechtsseitigen Grenzwert besitzt. Das kann man folgendermaßen machen:
Man zeigt: Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] irgendeine Folge in [mm] $M\,$ [/mm] (der Definitionsbereich von [mm] $f\,$) [/mm] mit [mm] $x_0 \;\red{ < }\;x_n \to x_0$ [/mm] (die [mm] "$x_n$" [/mm] liegen alle im Definitionsbereich von [mm] $f\,,$ [/mm] liegen alle "rechts von [mm] $x_0$" [/mm] und "nähern sich unendlich nah an [mm] $x_0$ [/mm] an ohne dass irgendein [mm] $x_n$ [/mm] jemals [mm] $x_0$ [/mm] trifft"), so existiert [mm] $\lim_{n \to \infty}f(x_n)\,.$
[/mm]
(Insbesondere siehst Du hier, dass der Wert [mm] $f(x_0)\,$ [/mm] KEINE Rolle für den rechtsseitigen Grenzwert - im Falle seiner Existenz - spielen wird. Außerdem muss [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] noch nichtmal definiert sein - dort steht nirgends, dass [mm] $x_0 \in M\,.$ [/mm] Allerdings muss [mm] $x_0$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $M\,$ [/mm] sein, dem man sich "in [mm] $M\,$ [/mm] von rechts nähern kann": Genauer: Siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) Definition 10.4.)
Um dann, wenn Du diese Existenz des rechtsseitigen Grenzwert bewiesen bzw. begründet hast, den Grenzwert auszurechnen, nimmst Du natürlich eine spezielle Folge in [mm] $M\,$ [/mm] her, die von rechts gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert, so dass Du Aussagen drüber treffen kannst, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}f(x_n)$ [/mm] existiert und welchen Wert dieser Grenzwert dann hat.
Natürlich kannst Du auch hergehen, und zuerst mal den letztstehenden Schritt machen. Dann hast Du damit aber i.a. noch nicht die Existenz des rechtsseitigen Limes nachgewiesen, sondern dann weißt Du nur, wenn Deine Wahl der speziellen Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_0 [/mm] < [mm] x_n \to x_0$ [/mm] mit [mm] $x_n$ [/mm] aus [mm] $M\,$ [/mm] dann einen Wert für [mm] $\lim_{n \to \infty}f(x_n)=:G$ [/mm] liefert:
Wenn der rechtsseitige Limes existiert, dann kann er nur noch den Wert [mm] $G\,$ [/mm] haben. Und um dann dessen Existenz zu beweisen, musst Du nachweisen, dass dann eben bei einer jeden Wahl von [mm] $x_0 [/mm] < [mm] y_n \to x_0\,,$ [/mm] alle [mm] $y_n$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,,$ [/mm] dann auch [mm] $f(y_n) \to \lim_{n \to \infty}f(x_n)=G$ [/mm] gilt.
Beispiel:
Betrachte mal [mm] $f(x)=\sin(1/x)$ [/mm] und [mm] $g(x)=x*\sin(1/x)$ [/mm] (beide auf $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] definiert).
Bei beiden Funktionen kann man an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] überlegen, wie es da mit dem rechtsseitigen Grenzwert aussieht [mm] ($0\,$ [/mm] gehört zwar nicht zum Definitionsbereich von [mm] $f\,,$ [/mm] ist aber sicherlich ein Häufungspunkt von [mm] $\IR \setminus \{0\}\,,$ [/mm] dem man sich wie oben beschrieben nähern kann - beachte nochmals Definition 10.4.).
Der rechtsseitige Grenzwert von [mm] $g\,$ [/mm] an [mm] $0\,$ [/mm] (wir schreiben dafür kurz $g(0+)$) wird [mm] $0\,$ [/mm] sein. Wie oben beschrieben kann man das auf zwei Arten zeigen:
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Wir beginnen mit der zuletzt beschriebenen Art:
Die Wahl [mm] $x_n:=1/(n*\pi)$ [/mm] zeigt, dass, falls $g(0+)$ existiert, den Wert [mm] $0\,$ [/mm] haben muss. Falls nun $0 < [mm] y_n \to 0\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$|g(y_n)|=|y_n*\sin(1/y_n)| \le |y_n| \to [/mm] 0$$
wegen der Stetigkeit der Betragsfunktion an der Stelle [mm] $0\,.$ [/mm] Also existiert der rechtsseitige GW und hat in der Tat den Wert [mm] $0\,.$
[/mm]
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Bei der erstbeschriebenen Art könnte man etwa auch so argumentieren:
Aus $0 < [mm] y_n \to [/mm] 0$ folgt die Existenz von
[mm] $$g(0+)=\lim_{n \to \infty} (y_n [/mm] * [mm] \sin(1/y_n))\,,$$
[/mm]
weil das Produkt einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge wieder konvergiert (eigentlich weiß man auch, wogegen, aber ich tu' mal so, als wüßten wir es nicht - das Bsp. hier ist auch ein wenig schlecht gewählt...).
Die Wahl von etwa [mm] $x_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}$ [/mm] (auch hier wären die obigen [mm] $x_n$ [/mm] wie im Bsp. zuvor natürlich günstiger - aber nehmen wir mal an, wir sind heute ein wenig "blind") zeigt
[mm] $$g(x_n)=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi} \to 0\,.$$
[/mm]
--
So: Begründe mir aber jetzt mal bitte, warum oben [mm] $f(0+)\,$ [/mm] nicht existieren kann. (Tipp: Betrachte [mm] $x_n:=\frac{1}{n*\pi}$ [/mm] und [mm] $y_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\,.$)
[/mm]
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P.S.: Die Logik bei den Berechnungen des rechtsseitigen Limes ist folgende (sehr salopp ausgedrückt):
1. Bei der Art, wo man zunächst durch "Betrachtungen beliebiger Folgen" und dann mit einer speziellen Folge arbeitet:
Man zeigt/begründet zunächst die Existenz des rechtsseitigen Grenzwertes. Das bedeutet dann ja, dass für alle Folgen mit den erwähnten Eigenschaften die Bildfolgen gegen den rechtsseitigen Limes konvergieren. Dann kann ich auch eine spezielle Folge wählen. Wenn ich bei der sehen kann, wogegen diese konvergiert, dann sehe ich auch den Wert des rechtsseitigen Limes der Funktion an der Stelle.
2. Bei der Art, wo man zunächst mit einer speziellen Folge und dann "mit beliebigen Folgen" arbeitet:
Man betrachtet zunächst eine spezielle Folge mit den obigen Eigenschaften und kann damit (hoffentlich) sehen, wogegen die Folge der Bilder dieser Folge konvergiert. Gäbe es nun eine weitere andere Folge mit den erwähnten Eigenschaften, deren Bildwerte gar nicht oder gegen einen anderen Grenzwert konvergieren, so kann nicht mehr jede Folge mit den erwähnten Eigenschaften die Eigenschaft haben, dass deren Bilder gegen den gleichen Grenzwert konvergieren. Ergo könnte es dann keinen rechtsseitigen Grenzwert an der betrachteten Stelle geben.
(Bei der Betrachtung von [mm] $f(x)=\sin(1/x)\,$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] mit [mm] $x_n:=\frac{1}{n*\pi}$ [/mm] und [mm] $y_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\,$ [/mm] wirst Du sehen, dass die Folgen [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] und [mm] $(f(y_n))_n$ [/mm] unterschiedliche Grenzwerte haben. Man hätte dort aber auch etwa [mm] $y_n:=\frac{1}{n*\frac{\pi}{2}}$ [/mm] betrachten können...)
(P.P.S.: Falls Dir das zu salopp/umgangssprachlich/unklar formuliert erscheint: Frage nochmal nach. Dann werde ich das formal sauberer hinschreiben, was ich damit genau meine.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Sa 07.01.2012 | | Autor: | sissile |
Danke !!
Ich glaub um das ganz zu verstehe brauch ich noch eine geraume Weile ;)
f(x) = sin(1/x)
Graph-Vermutung:Je näher man der Stelle x=0 kommt, desto schneller pendeln
die Funktionswerte zwischen -1 und 1.
.
Der Funktionswert ist für x=0 ist nicht definiert, was aber wie du gesagt hat, keine Rolle spielt.
Falls $ f(0+) $ existiert,dann muss er den Wert $ [mm] 0\, [/mm] $ haben, denn:
$ [mm] x_n:=\frac{1}{n\cdot{}\pi} [/mm] $
[mm] |f(x_n)|=|\sin(1/x_n)|= [/mm] sin (n* [mm] \pi) [/mm] =0 für n [mm] \in \IN
[/mm]
während aber bei $ [mm] y_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\,. [/mm] $)
[mm] |f(y_n)|=|\sin(1/y_n)|=|\sin (\pi/2 [/mm] + [mm] 2n\pi)| [/mm] = 1
Aber wie ist jetzt die Existenz des rechtsseitigen Grenzwertes wiederlegt? Weil unterschiedliche Werte rauskommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke !!
> Ich glaub um das ganz zu verstehe brauch ich noch eine
> geraume Weile ;)
>
> f(x) = sin(1/x)
> Graph-Vermutung:Je näher man der Stelle x=0 kommt, desto
> schneller pendeln
> die Funktionswerte zwischen -1 und 1.
ob's Dir bewußt ist, weiß ich nicht - ich weiß, was Du meinst, aber mathematisch formuliert ist das nicht. Vor allem die Wörter "schneller, pendeln" sind das nicht (wirklich). Aber das, was Du "intuitiv richtig formulierst" ist mir klar. Das ist also "richtig".
> .
> Der Funktionswert ist für x=0 ist nicht definiert, was
> aber wie du gesagt hat, keine Rolle spielt.
Weil halt [mm] $0\,$ [/mm] ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs ist, dem man sich im Definitionsbereich auch "von rechts beliebig gut annähern kann (ohne ihn zu erreichen)."
> Falls [mm]f(0+)[/mm] existiert,dann muss er den Wert [mm]0\,[/mm] haben,
> denn:
> [mm]x_n:=\frac{1}{n\cdot{}\pi}[/mm]
> [mm]|f(x_n)|=|\sin(1/x_n)|=[/mm] sin (n* [mm]\pi)[/mm] =0 für n [mm]\in \IN[/mm]
Und damit auch [mm] $f(x_n) \to [/mm] 0$ folgt!!
> während aber bei [mm]y_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\,. [/mm])
> [mm]|f(y_n)|=|\sin(1/y_n)|=|\sin (\pi/2[/mm] + [mm]2n\pi)|[/mm] = 1
Da hättest Du keine Beträge gebraucht. Stimmt aber auch so! Wobei es hier ein kleines Defizit gibt: Wenn Du es genau aufschreibst, kann man [mm] $f(y_n)=1 \to [/mm] 1$ folgern. Das kann man bei Dir noch nicht. Aber bei Dir kannst Du [mm] $|f(y_n)| \to [/mm] 1$ folgern, was insbesondere beinhaltet: Es wird sicher [mm] $f(y_n) \not\to [/mm] 0$ gelten - und das reicht hier auch!
> Aber wie ist jetzt die Existenz des rechtsseitigen
> Grenzwertes wi[r]e[/r]derlegt? Weil unterschiedliche Werte
> rauskommen?
Ja. Also: Es gilt für alle [mm] $n\,:$
[/mm]
[mm] $$x_n [/mm] > 0 [mm] \wedge x_n \to 0\,,$$
[/mm]
sowie
[mm] $$y_n [/mm] > 0 [mm] \wedge y_n \to 0\,.$$
[/mm]
Wenn der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] existieren würde, im Zeichen [mm] $G:=f(0+)\,,$ [/mm] dann müßte doch für alle Folgen [mm] $(z_n)_n$ [/mm] mit
$$0 < [mm] z_n \to [/mm] 0$$
gelten, dass
[mm] $$f(z_n) \to G\,.$$
[/mm]
Sei nun [mm] $G\,$ [/mm] ein Kandidat für [mm] $f(0+)\,$ [/mm] - und zwar nicht erraten, sondern "mithilfe einer speziellen Wahl einer Folge erstellt". (Später werden wir solch einen durch die spezielle Wahl einer Folge, etwa [mm] $x_n=1/(n*\pi)\,,$ [/mm] konkret angeben!)
Wenn Du die obige Aussage nun negierst, heißt das, dass der rechtsseitige Grenzwert genau dann nicht existiert, wenn es eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit $0 < [mm] a_n \to [/mm] 0$
gibt, so dass
[mm] $$f(a_n) \not\to G\,.$$
[/mm]
(D.h. entweder divergiert die Bildfolge [mm] $(f(a_n))_n\,,$ [/mm] oder sie konvergiert gegen einen anderen Wert als [mm] $G\,.$)
[/mm]
Oben haben wir quasi gezeigt, dass es solch eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gibt.
Denn: Jede Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] im Definititonsbereich vom [mm] $f\,$ [/mm] mit $0 < [mm] z_n \to [/mm] 0$ müßte, falls $G=f(0+)$ existieren würde, liefern
[mm] $$f(z_n) \to G\,.$$ [/mm]
Die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n=1/(n*\pi)$ [/mm] ist eine Folge im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] mit $0 < [mm] x_n \to [/mm] 0$ und es gilt
[mm] $$f(x_n)=0 \to 0\,.$$
[/mm]
Daraus folgt, dass, falls [mm] $f(0+)\,$ [/mm] existiert, dann [mm] $f(0+)=0\,$ [/mm] sein müßte. [mm] ($G:=0\,$ [/mm] ist durch die Wahl einer "speziellen, die Voraussetzungen erfüllenden Folge im Definitionsbereich" als DER (nun einzig mögliche Kandidat) für [mm] $f(0+)\,$ [/mm] anzusehen!)
Die Folge [mm] $(y_n)_n$ [/mm] mit [mm] $y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}$ [/mm] ist aber auch eine Folge im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] mit $0 < [mm] y_n \to 0\,.$ [/mm]
Wenn [mm] $f(0+)=0\,$ [/mm] ist, dann muss aber auch [mm] $f(y_n) \to [/mm] 0$ gelten. Wenn wir nun sehen, dass die Bildfolge [mm] $(f(y_n))_n$ [/mm] gar nicht, oder aber nicht gegen [mm] $0\,,$ [/mm] konvergiert, dann kann [mm] $f(0+)\,$ [/mm] nicht existierten.
Und wie gesehen gilt
[mm] $$f(y_n)=1 \to 1\,.$$
[/mm]
Also [mm] $f(y_n) \not\to 0\,.$
[/mm]
Daher existiert [mm] $f(0+)\,$ [/mm] nicht.
P.S.:
Kennst Du eigentlich den Beweis, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn jede Teilfolge konvergiert und zwar gegen den gleichen Grenzwert? Beim Beweis der Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] stehen (in dem mir bekannten "Standardwiderspruchsbeweis" mit "Mischfolgen") Überlegungen drin, wo es hier deutliche Parallelen gibt!
Aber wenn Du obige Überlegungen erstmal verstehst bzw. verstanden hast, bringt Dich das sicher auch schon ein gutes Stück voran!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Sa 07.01.2012 | | Autor: | sissile |
Ich danke dir 1000000 mal ;)
> Graph-Vermutung:Je näher man der Stelle x=0 kommt, desto
> schneller pendeln
> die Funktionswerte zwischen -1 und 1.
> ob's Dir bewußt ist, weiß ich nicht - ich weiß, was Du meinst, aber mathematisch formuliert ist das nicht. Vor allem die Wörter "schneller, pendeln" sind das nicht (wirklich). Aber das, was Du "intuitiv richtig formulierst" ist mir klar. Das ist also "richtig"
Wie würdest du den Satzt den richtig formulieren? Die Funktion nähert sicht beliebig klein [mm] x_0=0 [/mm] an,indem es zwischen -1 und 1 oszilliert, erreicht [mm] x_0 [/mm] aber nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich danke dir 1000000 mal ;)
> > Graph-Vermutung:Je näher man der Stelle x=0 kommt,
> desto
> > schneller pendeln
> > die Funktionswerte zwischen -1 und 1.
>
> > ob's Dir bewußt ist, weiß ich nicht - ich weiß, was Du
> meinst, aber mathematisch formuliert ist das nicht. Vor
> allem die Wörter "schneller, pendeln" sind das nicht
> (wirklich). Aber das, was Du "intuitiv richtig formulierst"
> ist mir klar. Das ist also "richtig"
> Wie würdest du den Satzt den richtig formulieren? Die
> Funktion nähert sicht beliebig klein [mm]x_0=0[/mm] an,indem es
> zwischen -1 und 1 oszilliert, erreicht [mm]x_0[/mm] aber nicht.
da fand' ich die vorherige Version fast besser. Man kann das jetzt auch wirklich formal übertreiben von wegen [mm] $\forall \delta [/mm] > 0$ blablabla.
Das will ich jetzt nicht.
Was ich hier machen würde: Es gibt eine ganz tolle Definition, die nennt sich Oszillation (jedenfalls im Heuser) (du hast sowas oben quasi auch formuliert) - ich kannte dafür auch mal eine andere Bezeichnung, die mir gerade nicht einfällt.
Damit würde ich das formulieren.
Oder was Du auch machen könntest: Etwa [mm] $]0,1]=\bigcup_{k=1}^\infty I_k$ [/mm] schreiben, wobei die [mm] $I_k$ [/mm] Intervalle sind, die "von rechts nach links" laufen und jedes Intervall [mm] $I_k=[a_k,b_k]$ [/mm] so gewählt ist, dass die Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] auf dieses Intervall eine bijektive Abbildung [mm] $I_k \to [/mm] [-1,1]$ ist und darüber dann reden.
Aber hier ist auch wirklich die Frage: Wenn Du obige Formulierung nur als Beweisidee benutzen wolltest, wofür brauchst Du dann noch eine exakte mathematische Formulierung? Ich wollte Dich nicht dazu bringen oder zwingen, sowas zu überlegen - mir ging's eher darum, dass Du Dir Deiner Wortwahl "bewußt" bist. Gerade, wenn man Leuten Beweisideen erklärt, ist eine zu exakte oder zu formale Vorgehensweise dann doch oft weniger erfolgreich. Denn man redet nachher "mehr drumherum", anstatt das Wesentliche für die eigentliche Aufgabe hervorzuheben. Geht mir jedenfalls so. Also:
Sei Dir nur am besten immer bewußt, wen Du ansprechen willst, und welche Sprache dann geeignet ist. Auch ich habe nicht wirklich was dagegen, wenn Du etwa geschrieben hättest: "Wenn ich mit dem [mm] $x\,$ [/mm] von rechts gegen die Null laufe (vermutlich meinst Du das dann auch mit gleichbleibender Geschwindigkeit - auch, wenn man in so 'nem Graphen doch keine Geschwindigkeit hat), dann zeigt der Graph, dass die Funktion Werte zwischen [mm] $-1\,$ [/mm] und [mm] $1\,$ [/mm] "immer schneller durchläuft"."
(Deine Formulierung war auch nach wie vor okay!)
Ich finde, dass man sich das durchaus gut vorstellen kann und versteht, was Du meinst. Aber auch hier ist die Sprache nicht die beste: "Man läuft...", es gibt wohl auch die "Zeit", da man etwas "schneller" macht usw. usf... Aber die Vorstellung versteht man: Irgendwie erinnert es mich ein wenig an einen Lügendetektor - ich stelle mir dann halt vor, wie mit so einem Stift an einem mechanischen Apparat der Graph der obigen Funktion "von rechts an einer Stelle [mm] $x=x_0$ [/mm] beginnend am Punkte [mm] $(x_0,f(x_0))$ [/mm] ansetzt und dann damit startet, den Graphen zu zeichnen, indem der Apparat sich quasi gemäß $x [mm] \to [/mm] 0$ (von rechts) bewegt (wobei natürlich der sich dabei bewegende Stift den Graphen zeichnet)".
Aber mach' Dir nicht unnötig viele Gedanken bzgl. des Hinweises. Vielleicht hätte ich ihn mir sogar sparen sollen ^^
Übrigens: Könntest Du Dir vorstellen, wenn Du "die Länge dieser "Kurve"" berechnen würdest, wie lang sie wäre, auf jedem Intervall [mm] $]0,\delta[$ [/mm] mit [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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