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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Mi 08.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo Matheraum...
ich habe mal eine Frage zu folgender Aufgabe:
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2 cos(y)}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } (x,y) =(0,0) \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Wenn ich nun z.B. die Folgen
[mm] a_k=\bruch{1}{k} [/mm] und [mm] b_k=\bruch{1}{k} [/mm] betrachte, dann erhalte ich ja folgendes:
[mm] \bruch{\bruch{1}{k^2} cos(\bruch{1}{k})}{2 \bruch{1}{k^2}}
[/mm]
und für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{k^2}(cos(\bruch{1}{k}))}{\bruch{1}{k^2}(2)} [/mm] gilt ja [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \to \bruch{1}{2}, [/mm] da ich ja weiß, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} cos(\bruch{1}{k}) \to [/mm] 1
reicht sowas als Beweis ?
mfg thadod
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Hiho,
> reicht sowas als Beweis ?
nein. Die Definition für Stetigkeit ist ja, dass du es für ALLE Folgen zeigen müsstest, dass der Grenzwert existiert und gleich ist.
Du hast bisher EINE Folge betrachtet.
Es gibt nun also zwei Möglichkeiten:
1.) Du zeigst die Stetigkeit, in dem du es für alle anderen restlichen Folgen auch noch zeigst, dass als Grenzwert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] herauskommt.
2.) Du findest eine Folge, wo der Grenzwert nicht [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist, dann folgt daraus, dass die Funktion an (0,0) nicht stetig ist.
Mach dir beide Dinge mal klar.
Als Tipp: Betrachte mal die Folge [mm] $\left(0,\bruch{1}{k}\right)$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mi 08.02.2012 | | Autor: | thadod |
ABER...
Ich will doch beweisen, dass diese Funktion in (0,0) NICHT stetig ist.
Für den Punkt (0,0) wird doch vorausgesetzt, dass die Funktion zu 1 wird.
Mit meiner Folge habe ich doch aber bewiesen, dass es eine Folge gibt, für die der Grenzwert [mm] \not= [/mm] 1 sondern [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist...
Funktion [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2 cos(y)}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } (x,y) =(0,0) \mbox{} \end{cases} [/mm] nicht stetig, da z.B. gilt [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{k^2}(cos(\bruch{1}{k}))}{\bruch{1}{k^2}(2)} \to \bruch{1}{2}
[/mm]
für [mm] a_k=\bruch{1}{k} b_k=\bruch{1}{k}
[/mm]
Wieso sollte ich mir nun die Mühe machen und eine weitere Folge finden. Ich habs doch schon bewiesen...
mfg thadod
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Hiho,
> Für den Punkt (0,0) wird doch vorausgesetzt, dass die
> Funktion zu 1 wird.
ey, das hab ich doch glatt übersehen.
> Mit meiner Folge habe ich doch aber bewiesen, dass es eine
> Folge gibt, für die der Grenzwert [mm]\not=[/mm] 1 sondern
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist...
Jop.
> Wieso sollte ich mir nun die Mühe machen und eine weitere
> Folge finden. Ich habs doch schon bewiesen...
Brauchst du dann nicht. Tut mir leid 
(Wobei meine Folge einfacher ist  )
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Mi 08.02.2012 | | Autor: | thadod |
Kein Ding...
Bin einfach nur glücklich, dass ich doch was drauf hab... ;)
Ja deine Folge ist in der Tat einfacher, ich muss ja den cosinus nicht mehr gegen null laufen lassen, sondern kann gleich cos(0) betrachten...
Danke dir :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ja deine Folge ist in der Tat einfacher, ich muss ja den
> cosinus nicht mehr gegen null laufen lassen, sondern kann
> gleich cos(0) betrachten...
öhm nein. Das solltest du dir nochmal genauer angucken.
MFG,
Gono.
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