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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Mi 08.02.2012 | | Autor: | thadod |
Sehr geehrter matheraum.
Ich habe leider eine kleine frage zu folgender Aufgabe:
[mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] , (x,y) [mm] \to \bruch{xy^3}{x^2+y^2}, [/mm] falls (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) und 0, falls (x,y)=(0,0).
Es soll bewiesen werden, dass f in (0,0) stetig ist.
Ich wollte das nun mit dem Sandwich Lemma beweisen.
Es gilt: [mm] |f(x_k,y_k)|=|\bruch{x_k y_k^3}{x_k^2 + y_k^2}|=\bruch{y_k^2}{x_k^2 + y_k^2} \cdot |x_ky_k|
[/mm]
Nun ist mir klar, dass 0 [mm] \le \bruch{y_k^2}{x_k^2 + y_k^2} \le [/mm] 1
Aber wie kann ich das ganze nun weiter ,,abschätzen'' ?
MfG thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sehr geehrter matheraum.
ohje, darf ich stellvertretend für den ganzen MR sprechen? Nun gut: Erstmal ein herzliches Willkommen!!!
Aber: Wir sind hier nicht wirklich so förmlich (ich jedenfalls nicht)!
> Ich habe leider eine kleine frage zu folgender Aufgabe:
>
> [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] , (x,y) [mm]\to \bruch{xy^3}{x^2+y^3},[/mm] falls
> (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) und 0, falls (x,y)=(0,0).
>
> Es soll bewiesen werden, dass f in (0,0) stetig ist.
das folgt schnell wegen (Edit: Aufgabenstellung wurde falsch abgetippt: siehe hier (klick))
[mm] $$\left|\frac{xy^3}{x^2+y^2}\right| \le \frac{|xy^3|}{|y^2|} \le |xy|\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mi 08.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke.
Leider kann ich mit der Lösung nicht viel anfangen. Die herangehensweise scheint eine andere sein als meine. Deshalb zu ich mich grad schwer das nachzuvollziehen.
Könntest du mir eventuell die Idee dahinter erklären?
Wie erkennst du das so schnell (Respekt übrigens ;))
MfG thadod
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Hiho,
> Leider kann ich mit der Lösung nicht viel anfangen. Die
> herangehensweise scheint eine andere sein als meine.
> Deshalb zu ich mich grad schwer das nachzuvollziehen.
darum schreibt Marcel ja gerade noch eine Antwort 
> Könntest du mir eventuell die Idee dahinter erklären?
Die Idee ist ganz einfach. Verkleinern wir den Nenner, vergrössert sich der Gesamtausdruck.
Da ja gilt: [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^3 \ge y^3$
[/mm]
Nur leider hat Marcel die Beträge darum vergessen, so dass seine Aussage so nicht ganz korrekt ist 
edit: Da du ja nun meintest, dass im Nenner [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] stehen soll, klappt auch Marcels ansatz wieder.
Also: Verkleinern des Nenners vergrössert den Gesamtausdruck, es gilt nun:
[mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 \ge y^2$ [/mm] und daraus folgt:
[mm] $\left|\bruch{xy^3}{x^2 + y^2}\right| \le \bruch{|xy^3|}{y^2} [/mm] = |xy|$
MFG,
Gono.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:29 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Marcel,
es gilt zwar [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^3 \ge y^3$, [/mm] daraus folgt aber leider nicht [mm] $|x^2 [/mm] + [mm] y^3| \ge |y^3|$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Sehr geehrter matheraum.
>
> Ich habe leider
wieso eigentlich leider?
> eine kleine frage zu folgender Aufgabe:
>
> [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] , (x,y) [mm]\to \bruch{xy^3}{x^2+y^3},[/mm] falls
> (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) und 0, falls (x,y)=(0,0).
>
> Es soll bewiesen werden, dass f in (0,0) stetig ist.
>
> Ich wollte das nun mit dem Sandwich Lemma beweisen.
>
> Es gilt: [mm]|f(x_k,y_k)|=|\bruch{x_k y_k^3}{x_k^2 + y_k^2}|=\bruch{y_k^2}{x_k^2 + y_k^2} \cdot |x_ky_k|[/mm]
>
> Nun ist mir klar, dass 0 [mm]\le \bruch{y_k^2}{x_k^2 + y_k^2} \le[/mm]
> 1
>
> Aber wie kann ich das ganze nun weiter ,,abschätzen'' ?
Wenn dem so wäre (die Abschätzung mit dem [mm] $\le [/mm] 1$ ist schon richtig!), so wärst Du fertig:
Es würde [mm] $|f(x_k,y_k)| \le |x_k*y_k|$ [/mm] folgen, was schon ausreichend wäre.
Leider hast Du einen Fehler:
[mm]|f(x_k,y_k)|=|\bruch{x_k y_k^3}{x_k^2 + y_k^2}|=\bruch{y_k^2}{x_k^2 + y_k^2} \cdot |x_ky_k|[/mm]
stimmt nicht - im Nenner steht bei Deiner Ausgangsfunktion nämlich nicht [mm] $y^2\,,$ [/mm] sondern [mm] $y^3\,.$ [/mm] Und deswegen muss man auch aufpassen beim abschätzen - [mm] $y\,$ [/mm] kann ja auch negativ sein.
Wenn Du bei mir guckst, siehst Du, dass ich nur im Nenner denn (echt positiven) Wert [mm] $x^2\,$ [/mm] "weggelassen habe, wodurch sich der Bruch vergößert".
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Mi 08.02.2012 | | Autor: | thadod |
Das tut mir verdammt leid.
Im Nenner steht [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
MfG thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das tut mir verdammt leid.
>
> Im Nenner steht [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
>
> MfG thadod
das ist sehr gut, denn andernfalls müßte ich in meiner ersten Antwort mehr korrigieren und ggf. noch Fallunterscheidungen machen.
P.S.:
Dann kannst Du bei Dir auch mit
[mm] $$|f(x_k,y_k)| \le |x_ky_k|$$
[/mm]
argumentieren. Ist Dir das klar?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Mi 08.02.2012 | | Autor: | thadod |
Genau darin liegt mein Problem. Ich kann nicht so ganz nachvollziehen wieso [mm] |f(x_k,y_k)| \le |x_ky_k| [/mm] ist und wie ich letztlich argumentieren kann wieso dadurch f in (x,y)=(0,0) stetig wird
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Genau darin liegt mein Problem. Ich kann nicht so ganz
> nachvollziehen wieso [mm]|f(x_k,y_k)| \le |x_ky_k|[/mm] ist und wie
> ich letztlich argumentieren kann wieso dadurch f in
> (x,y)=(0,0) stetig wird
nun, zu zeigen ist, dass für jede Folge [mm] $(z_k)_k$ [/mm] mit [mm] $z_k \in \IR^2$ [/mm] und [mm] $z_k \to [/mm] (0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] auch [mm] $f(z_k) \to [/mm] f((0,0))=f(0,0)=0$ folgt.
Nun gilt:
[mm] $$z_k \to [/mm] (0,0) [mm] \gdw \|z_k-(0,0)\|_2 \to 0\,.$$
[/mm]
Schreibt man [mm] $z_k=(x_k,y_k)\,,$ [/mm] so kann man damit folgern, dass genau dann [mm] $z_k \to (\red{0},\blue{0})\,,$ [/mm] wenn [mm] $\red{x_k} \to \red{0}$ [/mm] und [mm] $\blue{y_k} \to \blue{0}\,.$
[/mm]
Das heißt, wir haben zu zeigen:
Sind [mm] $z_k=(x_k,y_k)$ [/mm] und gilt sowohl [mm] $x_k \to [/mm] 0$ als auch [mm] $y_k \to 0\,,$ [/mm] dann folgt auch schon [mm] $f(z_k)=f((x_k,y_k))=:f(x_k,y_k) \to \underbrace{f(0,0)}_{:=f((0,0))}\,.$
[/mm]
Nun ist aber [mm] $(f(z_k))_k$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Außerdem ist [mm] $f(0,0)=0\,,$ [/mm] letztstehendes ist die reelle [mm] $0\,.$ [/mm] Anstatt [mm] $f(z_k) \to [/mm] 0$ ($=f(0,0)$) zu beweisen, kann man in äquivalenter Weise auch einfach zeigen, dass
[mm] $$|f(z_k)| \to 0\,,$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$|f(x_k,y_k)| \to 0\,,$$
[/mm]
unter der Voraussetzung, dass sowohl [mm] $x_k \to [/mm] 0$ als auch [mm] $y_k \to 0\,.$
[/mm]
Wenn man das gezeigt hat, folgt die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle $(0,0)$ wegen [mm] $f(0,0)=0\,.$
[/mm]
Und dass das gelingt, zeigt eben die Abschätzung
[mm] $$|f(x_k,y_k)| \le |x_ky_k|\,,$$
[/mm]
denn
$$0 [mm] \le |f(x_k,y_k)| \le |x_ky_k| \to |0*0|=0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Do 09.02.2012 | | Autor: | thadod |
Okay... Da macht es ein wenig verständlicher.
Ich werde das mal ein wenig trainieren und hoffe, dass ich das dann irgendwann so gut drauf hab wie du.
MfG thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:09 Do 09.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Mit x=rcos(t) und y=r sin(t):
$|f(x,y)|= [mm] r^2|cos(t)*sin^3(t)| \le r^2=x^2+y^2$
[/mm]
FRED
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