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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stetigkeit
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Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Mo 09.04.2012
Autor: DM08

Hi, ich beschäftige mich gerade mit der Stetigkeit. Leider haben wir kein Besipiel mit Skript und deshalb nehme ich ein Beispiel aus einem Buch.

[mm] $f(x,y)=\bruch{xy}{\sqrt{|x|+y^2}}, [/mm] falls (x,y) !=(0,0)
0, falls (x,y)=(0,0)

Ich hoffe, dass man versteht was ich meine..

Nun will ich prüfen ob die Funktion f in (0,0) stetig ist. Ich kenne beide Definitionen. Die Epsilon-Delta und auch die mit der Folgen. Meine Frage : Wie geht es meistens schneller ? Solche Aufgaben werden meistens im Verständnisteil gefragt und sollen immer mit einem Satz beantwortet werden. Also, wie zeige ich das mit einem Satz ? Hoffe, dass ihr mir da helfen könnt.

Gruß

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Mo 09.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo DM08,


> Hi, ich beschäftige mich gerade mit der Stetigkeit. Leider
> haben wir kein Besipiel mit Skript und deshalb nehme ich
> ein Beispiel aus einem Buch.
>  
> [mm]$f(x,y)=\bruch{xy}{\sqrt{|x|+y^2}},[/mm] falls (x,y) !=(0,0)
>  0, falls (x,y)=(0,0)
>  
> Ich hoffe, dass man versteht was ich meine..
>  
> Nun will ich prüfen ob die Funktion f in (0,0) stetig ist.
> Ich kenne beide Definitionen. Die Epsilon-Delta und auch
> die mit der Folgen. Meine Frage : Wie geht es meistens
> schneller ?

Na, das hängt immer von der Aufgabe ab. Das Folgenkrit. eignet sich ja eigentlich eher dafür, Stetigkeit zu widerlegen ...

> Solche Aufgaben werden meistens im
> Verständnisteil gefragt und sollen immer mit einem Satz
> beantwortet werden. Also, wie zeige ich das mit einem Satz
> ? Hoffe, dass ihr mir da helfen könnt.

*Ich* schaue mir bei dieser Art Aufgaben die Sache meist in Polarkoordinaten an, um einen "Eindruck" zu gewinnen, was an der krit. Stelle passiert.

Mit [mm]x=r\cos(\varphi)[/mm] und [mm]y=r\sin(\varphi)[/mm] hast du

[mm]f(r,\varphi)=\frac{r^2\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{\sqrt{r|\cos(\varphi)|+r^2\sin^2(\varphi)}[/mm]

Für Stetigkeit müsste dieses Biest für [mm]r\to 0^+[/mm] gegen [mm]0[/mm] streben, und zwar unabhängig vom Winkel [mm]\varphi[/mm]

Analog zum Folgenkriterium bei Funktionen von [mm]\IR\to\IR[/mm] musst du Annäherungen an [mm](0,0)[/mm] aus belieber Richtung bzw. auf bel. "Schlingerkurs" (also unabh. vom Winkel) betrachten, und auf jedem "Weg" muss die Funktion sich  [mm]f(0,0)=0[/mm] nähern.

Du musst hier also nicht nur die Richtungen entlang der x-Achse, also rechts- und linksseitig betracheten, sondern vieeeeel mehr.

Wenn du oben [mm]f(r,\varphi)[/mm] mal vereinfachst und [mm]r\to 0^+[/mm] gehen lässt, so strebt das nicht unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] gegen [mm]f(0,0)=0[/mm]

Da liegt es nahe, nach einer Folge [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm] zu suchen, die gegen [mm](0,0)[/mm] strebt (für [mm]n\to\infty[/mm]), wo aber [mm]f(x_n,y_n)[/mm] nicht gegen [mm]f(0,0)=0[/mm] strebt.

Meist tun es sehr einfache Folgen ...

Da muss man immer etwas basteln ...


>  
> Gruß

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:32 Di 10.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

sorry DM08, aber gestern stand ich wohl unter zuviel Ostereierdioxineinfluss:

Es ist [mm]\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|+y^2}}\right| \ \le \ \left|\frac{xy}{\sqrt{y^2}}\right| \ = \ |\operatorname{sgn}(y)\cdot{}x|[/mm], also [mm]\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|+y^2}}\right| \ \le \ |x|[/mm]

Und das strebt für [mm]x\to 0[/mm] gegen 0, damit hast du doch Stetigkeit.

Tut mir leid, dass ich gestern diesen Mist verzapft habe ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:40 Di 10.04.2012
Autor: fred97


> Hallo nochmal,
>  
> sorry DM08, aber gestern stand ich wohl unter zuviel
> Ostereierdioxineinfluss:
>  
> Es ist [mm]\frac{xy}{\sqrt{|x|+y^2}} \ \le \ \frac{xy}{\sqrt{y^2}} \ = \ \operatorname{sgn}(y)\cdot{}x[/mm],


Hallo schachuzipus,

Das Dioxin ist wohl noch nicht ganz abgebaut ....

Da oben hast Du wohl Beträge vergessen

Nachösterliche Grüße

FRED


> also [mm]\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|+y^2}}\right| \ \le \ |x|[/mm]
>  
> Und das strebt für [mm]x\to 0[/mm] gegen 0, damit hast du doch
> Stetigkeit.
>  
> Tut mir leid, dass ich gestern diesen Mist verzapft habe
> ...
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:49 Di 10.04.2012
Autor: schachuzipus

Moin Fred,




> Das Dioxin ist wohl noch nicht ganz abgebaut ....


*gagagagaga* wie kommst du darauf? *lall*

>  
> Da oben hast Du wohl Beträge vergessen

[pfeif]

wo?

[peinlich]

Danke fürs Aufpassen!

>
> Nachösterliche Grüße

Die gebe ich gerne zurück!

>  
> FRED
>  
>
> > also [mm]\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|+y^2}}\right| \ \le \ |x|[/mm]

LG

schachuzipus



Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:21 Do 12.04.2012
Autor: DM08

Danke euch, mal wieder =)

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