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| Aufgabe | Was ist der maximale Definitionsbereich Df [mm] \subset [/mm] R der folgenden Funktionen? Untersuchen Sie diese auf Stetigkeit in Df . Die Benutzung des Satzes aus der VL über die “Rechenregeln” stetiger Funktionen ist nicht erlaubt.
a) f(x)= 2- [mm] \bruch{x}{|x|}
[/mm]
b) f(x) = [mm] \bruch{x^{3}-1}{x-1}
[/mm]
c) f(x) = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \in Q \\ x+x^{2}, & \mbox{für } x \in R \backslash Q \end{cases} [/mm] |
Hallo =),
ich stelle mich mal wieder extrem dumm an =(. Ich sitze seit über 5 Stunden an den Aufgaben und kann nicht eine lösen.
Ich habe mir zwar die ganzen Definitionen von stetigen Funktionen angeguckt, aber kann sie einfach nicht anwenden. Ich wüsste auch gar nicht, welches Kriterium ich auf welche der Funktionen anwenden kann.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Dankeschön =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Do 07.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Was hast Du denn bis jetzt herausgefunden? Ich denke, die maximalen Definitionsbereiche sollten schon ergründbar sein.
Und dann kannst Du ja mal die Graphen der Funktionen skizzieren und schauen, wo sie in den jeweiligen Definitionsbereichen keine Sprünge machen. Dort sind sie stetig.
Und das solltest Du dann mit der [mm] $\epsilon$-$\delta$ [/mm] Definition nachweisen.
Also, wenn Du zeigen willst, daß die Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, mußt Du zu einem beliebig vorgegebenen [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta$ [/mm] angegeben, so daß für alle
[mm] $\,x$ [/mm] im Definitionsbereich mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] die also "genügend nahe bei [mm] $x_0$" [/mm] liegen, auch die Funktionswerte [mm] $\,f(x)$ [/mm] "beliebig nahe bei [mm] $f(x_0)$" [/mm] liegen, d. h. [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] erfüllt ist.
Viel Erfolg,
Wolfgang
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Das mit dem Definitionsbereich ist leicht. Gezeichnet habe ich sie auch, aber mein Problem ist halt, dass die die Definition nicht anwenden kann. Das ist ja mein Problem. Und ich zeige ja auch nur, dass es in einem Punkt stetig ist, aber ich muss das ja für alle Punkte zeigen und das weiß ich auch nicht, wie man das machen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Gut, dann beantworte doch mal für
[mm] $f(x)=2-\frac [/mm] x {|x|}$
die folgenden Fragen, damit ich sehe, wo ich helfen kann:
Für welche $x$ ist $f(x)$ definiert, für welche $x$ ist $f(x)$ nicht definiert?
Wie kann man $f(x)$ einfacher darstellen? Der Betrag in der Formel führt zu einer Fallunterscheidung. Was ist z. B. $f(1)$ und $f(-1)$ oder $f(1000)$ und $f(-1000)$?
Und jetzt versuche mal, die Definition der Stetigkeit inhaltlich zu verstehen. Nimm irgendein [mm] $x_0$ [/mm] aus dem Definitionsbereich. Wie weit darf ein $x$ aus dem Definitionsbereich von [mm] $x_0$ [/mm] entfernt sein, so daß [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für ein beliebiges [mm] $\epsilon [/mm] > 0$?
Viel Erfolg,
Wolfgang
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