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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mo 11.06.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen nehmen ihr Supremum und/oder Infimum auf dem Definitionsbereich an und haben also ein Maximum und/oder Minimum? Begründen Sie ihre Antwort. Bestimmen Sie auch die Bilder [mm] f([-2,\infty)) [/mm] und g([0,1]=
a) [mm] f:[2,\infty) [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x)=exp(-5x),
b) ... |
Guten Abend,
bin mal wieder auskunftsbedürftig.
Sitze schon ne Weile an der Aufgabe a). Irgendwie komme ich nicht klar, da kein festes p (also in Form eines konkreten einsetzbaren Wertes wie z.B. 2)
Wir habe Stetigkeit folgenderweise definiert:
f heißt stetig in p [mm] \in [/mm] D <-> für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 exsistiert ein [mm] \delta [/mm] > 0
also [mm] |x-p|<\delta [/mm] -> [mm] |f(x)-f(p)|<\varepsilon.
[/mm]
(Im Tutorium haben wir immer erstmal was zur Stetigkeit gesagt)
Meine bisherigen Ansätze:
1.
Sei p>0 und [mm] \delta:=p
[/mm]
Dann gilt: [mm] |x-p|<\delta=p [/mm] -> x>0 -> |f(x)-f(p)|=|exp(-5x)-exp(-5p)| ... so und nun hört es auch auf ...
2.
[mm] exp(-5x)=\bruch{1}{exp(5x)}
[/mm]
|f(x)-f(p)|=| [mm] \bruch{1}{exp(5x)}-\bruch{1}{exp(5p)}|=|\bruch{exp(5p)-exp(5x)}{exp(5x)exp(5p)} [/mm] .... und auch hier hört es auf ...
3.
Da [mm] exp(-5x)=\bruch{1}{exp(5x)} [/mm] ein Quotient zweier stetiger Funktion ist, ist auch der Quotient stetig. (Bin mir bei der Ausdrucksweise nicht ganz sicher und außerdem würde ich gerne verstehen wie ich die obige Definition anwenden kann).
Max und Min sagt mir nur was bei abgeschlossenen Intervallen.
Ich weiß, dass es sich bei der Funktion um eine Abklingfunktion handelt und das sie gegen 0 konvergiert. (laut Taschenrechner erreicht die Funktion sogar die Null - aber dem traue ich irgendwie nicht). Ein Maximum hat die Funktion nicht in dem Intervall, aber wie zeige ich das??
Kann jemand bitte helfen?
Mia
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Hiho,
in deiner Aufabe ist doch gar nichts von Stetigkeit zeigen verlangt, warum versuchst du das dann?
> Max und Min sagt mir nur was bei abgeschlossenen Intervallen.
> Ich weiß, dass es sich bei der Funktion um eine
> Abklingfunktion handelt und das sie gegen 0 konvergiert.
> (laut Taschenrechner erreicht die Funktion sogar die Null -
> aber dem traue ich irgendwie nicht).
Gute Entscheidung:
> Ein Maximum hat die Funktion nicht in dem Intervall, aber wie zeige ich das??
Oh doch!
Überlege dir, dass die Funktion monoton fallend ist. Wo hat sie also ihr Supremum?
Ist das Supremum auch ein Maximum?
Wann gibt es denn überhaupt ein Maximum // Minimum?
Alles Fragen, die man mal vorher klären sollte 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mo 11.06.2012 | | Autor: | silfide |
Danke Gono.
P.S. Dachte mir, ich bekomme mehr Punkte, wenn ich es wie im Tutorium mache ...
Aber hast natürlich Recht, nach Stetigkeit wird nicht explizit gefragt!
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