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| Aufgabe | An welchen Punkten ist die folgende Funktion [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] stetig.
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{sin(xy)}{xy^2}, & \mbox{für } x \neq 0, y \neq 0, \\ \bruch{1}{y}, & \mbox{für } x=0, y\neq 0 \\ \bruch{1}{x}, & \mbox{für} x \neq 0, y=0 \\ 0, & \mbox{für} x=y=0\end{cases} [/mm] |
Hallo, bräuchte einen kurzen Tipp, wie ich beweisen kann, dass f(x,y) an, [mm] \bruch{1}{x} [/mm] und 0 nicht stetig ist.
Ich habe die Stetigkeit bei [mm] \bruch{1}{y} [/mm] folgendermaßen gezeigt:
[mm] \bruch{sin(xy)}{xy^2}=\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{xy^{2n+1}}{(2n+1)!}}{xy^2}=(xy [/mm] - [mm] \bruch{x^3y^3}{3!} [/mm] + [mm] ...)\bruch{1}{xy^2} \to \bruch{1}{y} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
Jetzt habe ich folgende Frage: Kann ich sagen, dass der Grenzwert für y [mm] \to [/mm] o nicht definiert ist und somit nicht existiert und daraus folgern, dass f(x,y) an dieser Stelle nicht stetig ist.
Dasselbe auch für x [mm] \to0 [/mm] und [mm] y\to0. [/mm]
Reicht das, um zu zeigen, dass es an diesen Stellen nicht stetig ist?
Danke für jede hilfreiche Antwort.
Gruß Walodja1987
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Hiho,
machs dir nicht so kompliziert 
Offensichtlich ist:
[mm]g(x) = f(x,0) = \begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ \bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not=0 \end{cases}[/mm]
unstetig in 0.
Wenn g schon nicht stetig, so erst recht nicht f.
MfG,
Gono.
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alles klar,
dankeschön für den Tipp.
Gruß Walodja1987
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