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Stetigkeit/Diff'barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Mi 18.06.2008
Autor: domenigge135

Hallo. Ich habe mal eine kurze Frage:

Geg. ist [mm] f:[0,\infty[ \to \IR, x\to \wurzel{x} [/mm]

(i) Zeigen Sie mit Hilfe der Def. der Stetigkeit, dass f auf seinem Definitionsbereich stetig ist.

Mein Beweis dazu ist folgender: Ich habe ja im Prinzip das Intervall [a,b], für b>a. Die Definition für das geschlossene Intervall ist ja, dass solche Funktionen stetig sind, sofern sie auf dem offenen Intervall ]a,b[ stetig sind und an den Stellen a und b
MFG domenigge135 die entsprechenden einseitigen Grenzwerte existieren und gleich dem Funktionswert sind.
Mich würde hier jetzt nur a=0 interessieren. f(0)=0 und der rechte Grenzwert an der Stelle x=0 ist ebenfalls 0. Somit wäre die funktion doch stetig auf dem Intervall [mm] [0,\infty[. [/mm] Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass das so einfach ist.

MFG domenigge135

P.S. das die Wurzel für x [mm] \in \IR^- [/mm] nicht definiert ist, ist mir klar. Wir sollen das halt nur beweisen, wozu mir jetzt dieser Schritt von oben eingefallen wäre.

        
Bezug
Stetigkeit/Diff'barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mi 18.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo domenigge,

hmm, naja, in der Aufgabenstellung steht ja explizit, dass du es mit der Definition der Stetigkeit zeigen sollst.

Da würde ich doch meinen, dass du auf die [mm] $\varepsilon/\delta$-Definition [/mm] zurückgreifen solltest:

Für [mm] $x_0>0$ [/mm] zeige: [mm] $\forall [/mm] \ [mm] \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists [/mm] \ [mm] \delta>0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] \ [mm] 0<|x-x_0|<\delta [/mm] \ : \ [mm] |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\varepsilon$ [/mm]

Für [mm] $x_0=0$ [/mm] zeige für die rechtsseitige Stetigkeit:

[mm] $\forall [/mm] \ [mm] \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists [/mm] \ [mm] \delta>0 [/mm] \ [mm] \forall x<\delta [/mm] \ : \ [mm] |\sqrt{x}|<\varepsilon$ [/mm]

Die [mm] $\delta$ [/mm] sind jeweils nicht allzu schwer zu konstruieren...


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit/Diff'barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mi 18.06.2008
Autor: domenigge135

Okay von der [mm] \varepsilon [/mm] Definition habe ich schonmal was gehört.

Wir hatten das folgendermaßen definiert: Für [mm] n>n_\varepsilon [/mm] liegen alle Folgenglieder in dieser  Umgebung, d.h. [mm] |a_n-g|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n_\varepsilon. [/mm] Schreibweise: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=g [/mm]

Allerdings weiß ich nun auch nicht richtig weiter. Ich habe ja dann im Prinzip 2 Fälle. 1. Fall [mm] \varepsilon=0, [/mm] 2. Fall [mm] \varepsilon>0 [/mm] aber was nun???

MFG domenigge135

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit/Diff'barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:29 Do 19.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo domenigge,

ich glaube, da verwechselst du zwei Definitionen.

Hier ist doch nach Stetigkeit einer Funktion gefragt, deine Definition ist doch eher die vom Grenzwert einer Folge

> Okay von der [mm]\varepsilon[/mm] Definition habe ich schonmal was
> gehört.
>  
> Wir hatten das folgendermaßen definiert: Für
> [mm]n>n_\varepsilon[/mm] liegen alle Folgenglieder in dieser  
> Umgebung, d.h. [mm]|a_n-g|<\varepsilon[/mm] für alle
> [mm]n>n_\varepsilon.[/mm] Schreibweise:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=g[/mm]
>  
> Allerdings weiß ich nun auch nicht richtig weiter. Ich habe
> ja dann im Prinzip 2 Fälle. 1. Fall [mm]\varepsilon=0,[/mm] 2. Fall
> [mm]\varepsilon>0[/mm] aber was nun???

Oh wei, nein, nein, das [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ist beliebig

Zu diesem beliebig vorgegeben [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] musst du ein [mm] $\delta>0$ [/mm] konstruieren derart, dass die im anderen post angegebene Bedingung erfüllt ist.

Dazu musst du (im 1.Fall [mm] x_0>0) [/mm] den Betrag [mm] $|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|$ [/mm] abschätzen:

Ich zeige dir das mal für diesen Fall, dann haste das mal gesehen ... ;-)


NEBENRECHNUNG (fürs Schmierblatt):

Es ist [mm] $|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|=\left|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right|$ [/mm]

Nun ist [mm] $x\in[0,\infty)$, [/mm] also [mm] $x\ge [/mm] 0$. Damit kann man weiter abschätzen

[mm] $\left|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right|\cdot{}|x-x_0|\le \left|\frac{1}{\sqrt{x_0}}\right|\cdot{}|x-x_0|=\frac{1}{\sqrt{x_0}}\cdot{}|x-x_0|$ [/mm]

Das soll nun für [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] dann [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein

Also lösen wir das auf:

[mm] $\frac{1}{\sqrt{x_0}}\cdot{}|x-x_0|<\varepsilon$ [/mm]

[mm] $\gdw |x-x_0|<\sqrt{x_0}\cdot{}\varepsilon$ [/mm]

Wähle also [mm] $\delta:=\sqrt{x_0}\cdot{}\varepsilon$ [/mm]

Dann gilt für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] die obige Abschätzung.

Wenn du's nachher aufschreibst, lasse die Nebenrechnung "verschwinden" und schreibe:

"Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und wähle [mm] $\delta=\sqrt{x_0}\cdot{}\varepsilon$, [/mm] dann gilt für alle [mm] $|x-x_0|<\delta$: [/mm] " ... dann die Abschätzungskette ...


Hoffe, es ist etwas klarer geworden, wie man sich durch eine solche Abschätzung hangelt und das [mm] $\delta$ [/mm] sozusagen "rückwärts" konstruiert

>  
> MFG domenigge135


LG

schachuzipus

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