Stetigkeit, Differenzierbarkei < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] definiert durch f(0) = 0 und f(x): = x*(2 - sin(lnx) - cos(lnx)) für x [mm] \not= [/mm] 0.
Zeugen Sie, dass f in 0 stetig und für x>0 differenizierbar ist. |
Also ich verstehe nicht, wieso die Funktion in 0 stetig sein kann, weil man kann doch nicht den linksseitigen Grenzwert in Null bilden, weil dort ln(x)nicht defeniert ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 So 11.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Benutze das [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium. [/mm] Es ist [mm] $|f(0)-f(x)|=|x|\cdot|2-\sin(\log x)-\cos(\log x)|\le [/mm] 2|x|$, weil Sinus und Cosinus beschränkt sind.
Gruß, Robert
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Hallo,
danke für den Tipp.
Also ich verstehe noch nicht ganz wie du das [mm] \varepsilon-\delta [/mm] Kriterium anwendest.
Die Definition des Grenzwertes ist ja:
Für alle x mit 0<|x-a|< [mm] \delta [/mm] ist |f(x) - A|< [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also hier im konkreten Besispiel muss man ja dann zeigen, dass
für alle x mit 0<|x|< [mm] \delta [/mm] ist |x(2 - sin(lnx) - cos(lnx))|< [mm] \varepsilon
[/mm]
Also wie wähls man denn Delta?
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Hey,
du suchst doch ein [mm] \delta, [/mm] sodass für alle x mit [mm] |x|<\delta [/mm] gilt [mm] 2|x|<\varepsilon. [/mm] Dann wählt doch die Wahl von [mm] \delta [/mm] nicht mehr schwer........ beispielsweise [mm] $\delta:=\varepsilon/2$
[/mm]
Gruß Patrick
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Ja klar, ich Trottel habe es die ganze Zeit übersehen.
Eine Frage habe ich noch:
Wie zeige ich die Differenzierbarkeit für x>0?
Also meine Idee ist es den Differentialquotienten zu bilden:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{ x*(2-sin(lnx)-cosln(x)) - x_0*(2-sinln(x_0) - cosln(x_0))}{x-x_0}
[/mm]
Also muss man jetzt argumentieren, dass sin und cos beschränkt sind oder wie zeigt man, dass der Grenzwert existiert?
Verzweifle schon den ganzen Tag an der Aufgabe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 So 11.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Für [mm] $x\ne [/mm] 0$ ist doch f auf (0,1] nichts weiter als ein Produkt/Summe/Verkettung differenzierbarer Funktionen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 So 11.01.2009 | | Autor: | Heureka89 |
Danke,
bin auf die einfachste Sache nicht draufgekommen.
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