Stetigkeit/Folgenkriterium < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] durch
[mm]f(x)=\begin{cases} \wurzel{x^2 + y^2} falls x \ge 0, \\ |y| falls x< 0 \end{cases}[/mm]
definiert.
Zeigen Sie mithilfe des Folgenkriteriums, dass f in [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] stetig ist |
Hallo,
ich kenne und verstehe zwar das Folgenkriterium. Habe aber trotzdem Probleme dieses hier anzuwenden.
Also das Folgenkriterium besagt doch vom Prinzip her folgendes:
Die Funktion f: M [mm] \to \IR [/mm] ist genau dann stetig in a, wenn für jede Folge [mm] (x_k) [/mm] in M , die gegen a konvergiert auch [mm] f(x_k) [/mm] gegen den Funktionswert f(a) konvergiert.
Ist das richtig so?
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich in diesem Fall hier vorzugehen habe. Denn ich müsste ja zeigen, dass diese Aussage für jede in [mm] \IR^2 [/mm] gegen [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] konvergierende Folge gilt. Und genau da liegt auch das Problem. Wie kann ich allgemein für alle Folgen zeigen, dass die Aussage gilt. Ich kann mir doch nicht einfach eine beliebige Folge aussuchen und zeigen, dass für diese die Bedingung erfüllte ist, oder? Es könnte doch dann noch andere gegen [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] konvergierende Folgen geben, für die die Bedingung nicht erfüllt ist. Oder ist die Bedingung dann, aus einem mir bisher nicht ersichtlichen Grund, für alle gegen [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] konvergierenden Folgen erfüllt.
Kann mir vielleicht jemand auf die Srünge helfen und mir einen Tipp geben, wie ich hier vorgehen muss?
Vielen Dank schon mal und Viele Grüße!
|
|
| |
|
> Sei f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] durch
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \wurzel{x^2 + y^2} falls x \ge 0, \\ |y| falls x< 0 \end{cases}[/mm]
>
> definiert.
>
> Zeigen Sie mithilfe des Folgenkriteriums, dass f in
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] stetig ist
> Hallo,
>
> ich kenne und verstehe zwar das Folgenkriterium. Habe aber
> trotzdem Probleme dieses hier anzuwenden.
>
> Also das Folgenkriterium besagt doch vom Prinzip her
> folgendes:
>
> Die Funktion f: M [mm]\to \IR[/mm] ist genau dann stetig in a, wenn
> für jede Folge [mm](x_k)[/mm] in M , die gegen a konvergiert auch
> [mm]f(x_k)[/mm] gegen den Funktionswert f(a) konvergiert.
> Ist das richtig so?
Hallo,
ja.
>
> Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich in diesem Fall hier
> vorzugehen habe. Denn ich müsste ja zeigen, dass diese
> Aussage für jede in [mm]\IR^2[/mm] gegen [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> konvergierende Folge gilt.
Genau.
Nicht ganz klar ist mir, ob sich Dein Problem speziell auf den [mm] \IR^2 [/mm] bezieht - so wie ich Dich verstehe, müßtest Du dieses Problem im [mm] \IR [/mm] ja auch haben.
Nehmen wir eine Folge [mm] z_n:=\vektor{x_n\\y_n}, [/mm] welche gegen [mm] \vektor{0\\0} [/mm] konvergiert.
Es ist also [mm] \lim_{n\to \infty}x_n=0 [/mm] und [mm] \lim_{n\to \infty}y_n=0.
[/mm]
Nachrechnen muß man nun, ob die Folge [mm] f(z_n) [/mm] gegen [mm] f(\vektor{0\\0})=0 [/mm] konvergiert.
Nun wurde man also dahergehen und [mm] \vektor{x_n\\y_n} [/mm] in f einsetzen und den Grenzwert berechnen.
Ein Problem bereitet uns die abschnittweise Definition der Folge.
Das kann man meistern, indem man die Folge in zwei Teilfolgen aufteilt: eine mit nichtneg. [mm] x_n, [/mm] eine mit neg. [mm] x_n.
[/mm]
Zeige nun, daß die Folge der Funktionswerte für beide Teilfolgen gegen denselben Wert, nämlich 0, konvergiert.
Wenn Dir das gelingt, dann hast Du die Stetigkeit gezeigt, denn wir haben ja eine ganz allgemeine Folge [mm] z_n [/mm] im [mm] \IR^2 [/mm] genommen, die gegen [mm] \vektor{0\\0} [/mm] konvergiert.
Wenn Du eine spezielle Folge nimmst, z.B. [mm] z_n:=\vektor{1/n\\1/n^2}, [/mm] reicht das nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mo 04.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Wegen $|y| [mm] \le \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] ist
$|f(x,y)-f(0,0)| = |f(x,y)| [mm] \le \wurzel{x^2+y^2}$.
[/mm]
Ist nun [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine Nullfolge im [mm] \IR^2, [/mm] was treibt dann wohl [mm] (f(x_n,y_n)) [/mm] ??
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Wegen [mm]|y| \le \wurzel{x^2+y^2}[/mm] ist
>
> [mm]|f(x,y)-f(0,0)| = |f(x,y)| \le \wurzel{x^2+y^2}[/mm].
>
> Ist nun [mm]((x_n,y_n))[/mm] eine Nullfolge im [mm]\IR^2,[/mm] was treibt
> dann wohl [mm](f(x_n,y_n))[/mm] ??
Ich würde sagen [mm](f(x_n,y_n))[/mm] geht dann offensichtlich auch gegen Null, womit die Stetigkeit von g in [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] bereits gezeigt wäre, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:47 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Wegen [mm]|y| \le \wurzel{x^2+y^2}[/mm] ist
> >
> > [mm]|f(x,y)-f(0,0)| = |f(x,y)| \le \wurzel{x^2+y^2}[/mm].
> >
> > Ist nun [mm]((x_n,y_n))[/mm] eine Nullfolge im [mm]\IR^2,[/mm] was treibt
> > dann wohl [mm](f(x_n,y_n))[/mm] ??
>
> Ich würde sagen [mm](f(x_n,y_n))[/mm] geht dann offensichtlich auch
> gegen Null, womit die Stetigkeit von g in [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> bereits gezeigt wäre, oder?
>
>
So ist es
FRED
|
|
|
|
