Stetigkeit / Glm. Stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:01 Do 01.03.2012 | | Autor: | theresetom |
| Aufgabe | Ich hab in meine Skriptum ein Beispiel, was zeigen soll, dass wir eine stärkere>Form von Stetigkeit brauchen.
Die Umformungen sind mir klar, aber nicht der Gedanke dahinter, was das nun aussagt. |
D=]0,1] und [mm] f:D->\IR [/mm] mit f(x)=1/x, was stetig ist in jeden Punkt [mm] x_0 \in [/mm] D
Fixieren wir ein [mm] x_0 \in [/mm] D und [mm] \varepsilon [/mm] >0 und testen die erlaubte Toleranz imden wir das Argument varieren 0 < x [mm] \le x_0.
[/mm]
|f(x) - [mm] f(x_0)| \le \varepsilon. [/mm] Für jedes 0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] x_0 [/mm] ist [mm] x_\delta [/mm] := [mm] x_0 [/mm] - [mm] \delta.
[/mm]
Dann [mm] |f(x_\delta)-f(x_0)| [/mm] = [mm] \frac{1}{x_\delta} [/mm] - [mm] \frac{1}{x_0}= \frac{x_0 - x_\delta}{x_0 *x_\delta} [/mm] = [mm] \frac{\delta}{x_0*(x_0-\delta)}
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] > [mm] \frac{ \delta} {x_0*(x_0-\delta)}
[/mm]
Äquivalent dazu ist: [mm] \delta [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon x_0^2}{1+ \varepsilon x_0} [/mm] < [mm] \varepsilon x_0^2
[/mm]
Skript: http://homepage.univie.ac.at/christian.schmeiser/einfanalysis.pdf
S.68
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
das ist einfach ein Nachwei von Stetigkeit, wo [mm] \delta [/mm] von [mm] x_0 [/mm] abhängt. Somit ist hier keine gleichmäßige Stetigkeit nachgewiesen.
Aber vermutlich ist dir das auch klar. Nur: es ist nicht so ganz ersichtlich, worin genau deine Frage besteht.
Magst du das nochmal präzisieren?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Fr 02.03.2012 | | Autor: | theresetom |
Der Beweis sollte zeigen, dass es notwenig ist eine stärkere Form von Stetigkeit zu definieren. Aber das verstehe ich nicht, wie uns der Beweis das zeigt.
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