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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Do 24.07.2014 | | Autor: | nobodon |
Hallo Leute,
ich hab mal wieder ne Frage. Hierzu erstmal paar Definitionen:
Sei $f$ nicht-konstant, holomorph auf $|z| < R$ und $r<R [mm] \leq \infty$, [/mm] dann sei $n(r,f,a)$ definiert als die Anzahl der $a$-Stellen (mit Vielfachheit) auf $|z| < r$. (Also wir zählen einfach die $a$-Stellen der Funktion auf der Kreisscheibe mit Radius $r$). Nach dieser Definition ist $n(r,f,a)$ linksstetig. Falls $f(0) [mm] \ne [/mm] a$, definieren wir
$N(r,f,a) := [mm] \int_0^r \frac{n(t,f,a)}{t} [/mm] dt.$
(Zur Information, es handelt sich hierbei um die Nevanlinna-Theory).
Meine konkrete Frage ist nun, was können wir über die Stetigkeit von $N(r,f,a)$ aussagen? In einem Buch von mir steht, dass $N(r,f,a)$ stetig ist. Das glaube ich aber nicht! Denn $n(r,f,a)$ ist "nur" linksstetig (ist ja ne Treppenfunktion). Seht ihr das auch so?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:43 Fr 25.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Für [mm] 0
[mm] N(r_2,f,a)-N(r_1,f,a)=\integral_{r_1}^{r_2}{\bruch{n(t,f,a)}{t} dt} \le \bruch{1}{r_1} \integral_{r_1}^{r_2}{n(t,f,a) dt}
[/mm]
$n(t,f,a)$ ist monoton wachsend in $t$, also folgt:
$ [mm] N(r_2,f,a)-N(r_1,f,a) \le \bruch{n(r_2,f,a)}{r_1} (r_2-r_1)$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Fr 25.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Da f(0) [mm] \ne [/mm] a ist, gibt es ein [mm] \rho \in [/mm] (0,R) mit f(z) [mm] \ne [/mm] a für alle z mit [mm] |z|<\rho.
[/mm]
Damit ist n(t,f,a)=0 für alle t [mm] \in [0,\rho), [/mm] also gilt
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{n(t,f,a)}{t}=0.
[/mm]
Wir setzen
[mm] g(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t=0 \\ \bruch{n(t,f,a)}{t}, & \mbox{für } 0
Mit der Monotonie vo t [mm] \to [/mm] n(t,f,a) zeige nun:
g ist auf jedem kompakten Intervall [0,r] Riemannintegrierbar (r>R)
Es ist
$ N(r,f,a) = [mm] \int_0^r [/mm] g(t) dt. $
Krame nun den Hauptsatz der Differential - und Inteegralrechnung heraus, um zu sehen, dass N(r,f,a) sogar Lipschitzstetig ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Fr 25.07.2014 | | Autor: | nobodon |
> Mit der Monotonie vo t [mm]\to[/mm] n(t,f,a) zeige nun:
>
> g ist auf jedem kompakten Intervall [0,r]
> Riemannintegrierbar (r>R)
>
Okay, sollte mit dem Lebegue Kriterum druchgehen
(http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral)
> Es ist
>
> [mm]N(r,f,a) = \int_0^r g(t) dt.[/mm]
>
> Krame nun den Hauptsatz der Differential - und
> Inteegralrechnung heraus, um zu sehen, dass N(r,f,a) sogar
> Lipschitzstetig ist.
Differenziere ich N(r,f,a) nach r, erhalte ich
$N'(r,f,a) = [mm] \frac{n(r,f,a)}{r}$.
[/mm]
Du willst wahrscheinlich, dass ich hiermit
[mm] $\frac{n(r_2,f,a)}{r1}$ [/mm] abschätze, sodass ich eine Konstante L erhalte, woraus L-Stetigkeit folgt. Hier komme ich nicht weiter.
Ich hab mir aber überlegt (ein vermeidlichen Gegenbsp) was wären wenn $f(z)= (z-2)(z-1)$. Dann ist
$n(r,f,0)= 0$ für $r [mm] \in [/mm] [0,1]$,
$n(r,f,0)= 1$ für $r [mm] \in [/mm] [1,2]$
und $n(r,f,0) = 2$ für $r > 2$.
Entsprechend erhalten wir für N(r,f,0)
$N(r,f,0) = 0$ für [mm] $r\in [/mm] [0,1]$
$N(r,f,0) [mm] =\log(2)$und [/mm] $r [mm] \in [/mm] [1,2]
$N(r,f,0) = [mm] \log(2) [/mm] + [mm] 2\log [/mm] k - [mm] 2\log [/mm] 2$ für $r [mm] \in [/mm] [2,k]$ und $k>2$.
Ist dies kein Gegenbeispiel, denn wir haben 2 Unstetigkeitstellen, einmal bei 1 und einmal bei 2 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Fr 25.07.2014 | | Autor: | fred97 |
>
> > Mit der Monotonie vo t [mm]\to[/mm] n(t,f,a) zeige nun:
> >
> > g ist auf jedem kompakten Intervall [0,r]
> > Riemannintegrierbar (r>R)
> >
> Okay, sollte mit dem Lebegue Kriterum druchgehen
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral)
>
> > Es ist
> >
> > [mm]N(r,f,a) = \int_0^r g(t) dt.[/mm]
> >
> > Krame nun den Hauptsatz der Differential - und
> > Inteegralrechnung heraus, um zu sehen, dass N(r,f,a) sogar
> > Lipschitzstetig ist.
>
>
> Differenziere ich N(r,f,a) nach r, erhalte ich
> [mm]N'(r,f,a) = \frac{n(r,f,a)}{r}[/mm].
N wird im allgemeinen nicht differenzierbar sein !!!
> Du willst wahrscheinlich,
> dass ich hiermit
> [mm]\frac{n(r_2,f,a)}{r1}[/mm] abschätze, sodass ich eine
> Konstante L erhalte, woraus L-Stetigkeit folgt.
Nein das wollte ich nicht.
Benutzen sollst Du diesen
Satz: Ist [mm] f:[a,b]\to \IR [/mm] Riemannintegrierbar und def. man F:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] durch
[mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt},
[/mm]
so ist F auf [a,b] Lipschitzstetig.
> Hier komme
> ich nicht weiter.
>
> Ich hab mir aber überlegt (ein vermeidlichen Gegenbsp) was
> wären wenn [mm]f(z)= (z-2)(z-1)[/mm]. Dann ist
> [mm]n(r,f,0)= 0[/mm] für [mm]r \in [0,1][/mm],
> [mm]n(r,f,0)= 1[/mm] für [mm]r \in [1,2][/mm]
>
> und [mm]n(r,f,0) = 2[/mm] für [mm]r > 2[/mm].
> Entsprechend erhalten wir
> für N(r,f,0)
> [mm]N(r,f,0) = 0[/mm] für [mm]r\in [0,1][/mm]
> $N(r,f,0) [mm]=\log(2)$und[/mm] $r
> [mm]\in[/mm] [1,2]
> [mm]N(r,f,0) = \log(2) + 2\log k - 2\log 2[/mm] für [mm]r \in [2,k][/mm]
> und [mm]k>2[/mm].
> Ist dies kein Gegenbeispiel, denn wir haben 2
> Unstetigkeitstellen, einmal bei 1 und einmal bei 2 ?
Oben hast Du Dich gewaltig verrechnet !
Es ist
N(r,f,0)=0 für r [mm] \in [/mm] [0,1],
N(r,f,0)=log(r) für r [mm] \in [/mm] (1,2)
und
N(r,f,0)=2log(r)-log(2) für r [mm] \ge [/mm] 2.
FRED
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