Stetigkeit R^2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Sa 18.06.2011 | | Autor: | snikch |
| Aufgabe | [mm] f:\IR\to\IR [/mm] ist stetig diff.bar
Nun sei eine Funktion [mm] F:\IR^2 \to\IR [/mm] definiert durch [mm] F(x,y)=\begin{cases} \bruch{f(x)-f(y)}{x-y}, &\mbox{für} x \ne y \\ f'(x), &\mbox{für} x=y\end{cases}
[/mm]
Nun gilt es die Stetigkeit von F in [mm] R^2 [/mm] zu zeigen. |
Hallo
Ich bin bisher so an die Aufgabe herangegangen:
Sei [mm] z_n \subseteq R^2 [/mm] gegeben durch [mm] (x_n,y_n)\to(x,y) [/mm] für [mm] n\to\infty, [/mm] wobei [mm] x_n \ne y_n [/mm] und x=y gelten soll. Dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}F(z_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}F(x_n,y_n)=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n} [/mm] =f'(x)
Damit stetig in (x,y) mit x=y
Und für (x,y) mit [mm] x\ne [/mm] y ist F stetig, da F Komposition von stetigen Funktionen ist.
Dann hätte ich aber auch auf der andren Seite sagen können, dass F für x=y stetig ist, da f'(x) stetig ist.
Ich weiß jetzt nicht, wie ich die Stetigkeit in [mm] x\ne [/mm] y begründen kann, oder reicht das bisher gezeigte schon aus?
Danke
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Hiho,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}F(z_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}F(x_n,y_n)=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n}[/mm] =f'(x)
Begründe mir mal bitte das letzte Gleichheitszeichen. Das ist so ohne weiteres nicht wirklich klar.
Der Differenzenquotient ist zumindest anders definiert.
Und genau das ist der Knackpunkt an dieser Aufgabe hier 
> Damit stetig in (x,y) mit x=y
Stimmt, wenn du das gezeigt hättest, wäre das so.
> Und für (x,y) mit [mm]x\ne[/mm] y ist F stetig, da F Komposition
> von stetigen Funktionen ist.
Jap.
> Dann hätte ich aber auch auf der andren Seite sagen
> können, dass F für x=y stetig ist, da f'(x) stetig ist.
Hättest du sagen können, daraus folgt aber noch nicht die Stetigkeit der Gesamtfunktion.
Nehmen wir mal eine andere Funktion, beispielsweise:
$f(x) = [mm] \begin{cases} x^2 & x\not= 0 \\ 1 & x=0 \end{cases}$
[/mm]
Nach deiner Argumentation von oben (wenn die gehen würde) wäre sie jetzt überall stetig, denn $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] ist ja stetig und $f(x) = 1$ ebenso.
Ist sie aber nicht.
Man kann so argumentieren für den Bereich [mm] $x\not= [/mm] 0$, weil das eine offene Menge ist.
Analog stimmt das bei dir in der Aufgabe für die Menge [mm] $x\not= [/mm] y$, auch das ist eine offene Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] und daher ist die Stetigkeit dort über die Stetigkeit der Ausgangsfunktion erledigt.
Aber zurück zu deinem Problem:
Das letzte Gleichheitszeichen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n} [/mm] =f'(x)$
Musst du noch begründen.
Tip: Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
MFG,
Gono.
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