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| Aufgabe | Sei [mm] a_k [/mm] eine Folge in [mm] R^n, [/mm] so is [mm] a_k [/mm] ein Vektor.
Ist die Summe, das Produkt und der Quotient stetiger Funktionen wieder stetig? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
es geht um Stetigkeit reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher. Der Titel ist zu lang für das Themafeld.
Ich weiß wie ich stetigkeit überprüfe.
f(a,b)=x+y
Stetig in f(0,1)?
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 1}(x+y))=\limes_{y\rightarrow 1}(\limes_{x\rightarrow 0}(x+y))
[/mm]
Trifft in diesem Fall zu. Es ist beides 1.
Ich habe auch die Funktion (x-y)/(x+y) welche für (x,y) gegen (0,0) nicht stetig ist. (Mal -1 mal 1)
Also das wäre ja ein Beispiel für unstetigkeit beim Quotienten.
Aber was sollte ich das für eine Summe nehmen? Oder ein Produkt? Gibt es da eine Regel um so etwas zu konstruieren? Weil durch ausprobieren will einfach nichts geshceiters entstehen!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Mo 27.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]a_k[/mm] eine Folge in [mm]R^n,[/mm] so is [mm]a_k[/mm] ein Vektor.
>
> Ist die Summe, das Produkt und der Quotient stetiger
> Funktionen wieder stetig?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> es geht um Stetigkeit reellwertiger Funktionen mehrerer
> Veränderlicher. Der Titel ist zu lang für das Themafeld.
>
> Ich weiß wie ich stetigkeit überprüfe.
Das glaube ich nicht. Siehe unten
> f(a,b)=x+y
> Stetig in f(0,1)?
meinst Du stetig in (0,1) ?
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 1}(x+y))=\limes_{y\rightarrow 1}(\limes_{x\rightarrow 0}(x+y))[/mm]
>
So überprüft man keine Stetigkeit ! Nach dieser Methode wäre die Funktion
$f(x,y) := [mm] \bruch{xy}{x^2+y^2}$ [/mm] für (x,y( [mm] \not= [/mm] (0,0)
$f(0,0) := 0$
stetig in (0,0), was sie aber nicht ist !!
> Trifft in diesem Fall zu. Es ist beides 1.
>
> Ich habe auch die Funktion (x-y)/(x+y) welche für (x,y)
> gegen (0,0) nicht stetig ist. (Mal -1 mal 1)
Na ja
>
> Also das wäre ja ein Beispiel für unstetigkeit beim
> Quotienten.
>
> Aber was sollte ich das für eine Summe nehmen? Oder ein
> Produkt?
Sind 2 Funktionen stetig, so auch ihre Summe und ihr Produkt !
FRED
> Gibt es da eine Regel um so etwas zu konstruieren?
> Weil durch ausprobieren will einfach nichts geshceiters
> entstehen!
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Hmm. Aber damit kann man doch wenigstens beweisen, dass eine Funktion nicht(!) stetig ist, oder? Laut meinen Unterlagen sind weder Produkt noch Quotient oder Summe allgemein stetig in [mm] R^n. [/mm] Mein Beispel zB. ergibt wie gesagt einmal -1 und 1 nach der Methode.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mo 27.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hmm. Aber damit kann man doch wenigstens beweisen, dass
> eine Funktion nicht(!) stetig ist, oder?
Womit ? Meinst Du Deine "Methode" ?
> Laut meinen
> Unterlagen sind weder Produkt noch Quotient oder Summe
> allgemein stetig in [mm]R^n.[/mm]
Nochmal: sind f und g stetig, so ist f+g stetig, ebenso fg. f/g muß es nicht sein
FRED
> Mein Beispel zB. ergibt wie gesagt
> einmal -1 und 1 nach der Methode.
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Das ist nicht meine Methode, die habe ich so von der Tafel abgeschrieben. Dann sind meine Aufzeichnungen fehlerhaft. Wie geht es denn nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Di 28.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Beispiel:
$ f(x,y) := [mm] \bruch{xy}{x^2+y^2} [/mm] $ für (x,y) $ [mm] \not= [/mm] $ (0,0)
$ f(0,0) := 0 $
Hier ist
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 0}f(x,y))=\limes_{y\rightarrow 0}(\limes_{x\rightarrow 0}f(x,y)) [/mm] = 0 =f(0,0)$
f ist aber in (0,0) nicht stetig, denn für $x=y >0$ ist
$f(x,y) = f(x,x) = 1/2 [mm] \to [/mm] 1/2 [mm] \not= [/mm] 0 =f(0,0)$ ($x [mm] \to [/mm] 0$)
FRED
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