Stetigkeit/Wurzel/an 0 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Bestimmen die den maximalen Definitionsbereich von f(x) = [mm] x^2 [/mm] * [mm] \wurzel{\frac{x^3}{3+x}}
[/mm]
Untersuchen Sie die Stetigkeit. Bestimmen die zu [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] sodass |f(x)-f(0)|< [mm] \epsilon,
[/mm]
wenn 0 < x < [mm] \delta [/mm] |
Definitionsbereich [mm] D=[0,\infty)
[/mm]
Bedeutet die ANgabe, dass ich die Stetigkeit im Punkt 0 unetrsuchen soll?
0 [mm] \in [/mm] D
f ist stetig an 0 wenn [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D : |x-0| < [mm] \delta [/mm] => |f(x)-f(0)| < [mm] \epsilon
[/mm]
|x| < [mm] \delta
[/mm]
|f(x) - f(0)| = [mm] x^2\wurzel{\frac{x^3}{3+x}} [/mm] < [mm] \delta ^2\wurzel{\frac{\delta^3}{3+x}}
[/mm]
Wie soll ich da weiter vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst deinen Ausdruck [mm] <\epsilon [/mm] setzen, x durch abschaetzen rauswerfen nd [mm] \delta(\epsilon) [/mm] bestimmen.
es fehlt zur Aufgabe noch das def. bereich und ein argument warum die fkt ueberall im def. bereich stetig ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
Aufgabenstellung ist vollständig.
> du musst deinen Ausdruck $ [mm] <\epsilon [/mm] $ setzen, x durch abschaetzen rauswerfen nd $ [mm] \delta(\epsilon) [/mm] $ bestimmen
Ich weiß nicht wie ich das x im nenner "loswerde"
> |f(x) - f(0)| = $ [mm] x^2\wurzel{\frac{x^3}{3+x}} [/mm] $ < $ [mm] \delta ^2\wurzel{\frac{\delta^3}{3+x}} [/mm] $
soll < [mm] \epsilon [/mm] sein
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Hallo,
> Aufgabenstellung ist vollständig.
> > du musst deinen Ausdruck [mm]<\epsilon[/mm] setzen, x durch
> abschaetzen rauswerfen nd [mm]\delta(\epsilon)[/mm] bestimmen
> Ich weiß nicht wie ich das x im nenner "loswerde"
>
> > |f(x) - f(0)| = [mm]x^2\wurzel{\frac{x^3}{3+x}}[/mm] < [mm]\delta ^2\wurzel{\frac{\delta^3}{3+x}}[/mm]
>
> soll < [mm]\epsilon[/mm] sein
Es ist doch $x>0$, also $3+x>3$, damit [mm] $\frac{1}{3+x}<\frac{1}{3}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
achso ;)
|f(x) - f(0)| < [mm] \delta^2 [/mm] * [mm] \sqrt{\frac{\delta^3}{3}} [/mm] = [mm] \delta^3 [/mm] * [mm] \sqrt{\frac{\delta}{3}} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] \delta/3 [/mm] < [mm] \frac{\epsilon^2}{\delta^6 }
[/mm]
<=>
[mm] \delta^7 [/mm] < 3 [mm] \epsilon^2
[/mm]
[mm] \delta [/mm] < [mm] \wurzel[7]{3 \epsilon^2}
[/mm]
Passt es so?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Sa 02.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> achso ;)
> |f(x) - f(0)| < [mm]\delta^2[/mm] * [mm]\sqrt{\frac{\delta^3}{3}}[/mm] =
> [mm]\delta^3[/mm] * [mm]\sqrt{\frac{\delta}{3}}[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> [mm]\delta/3[/mm] < [mm]\frac{\epsilon^2}{\delta^6 }[/mm]
> <=>
> [mm]\delta^7[/mm] < 3 [mm]\epsilon^2[/mm]
> [mm]\delta[/mm] < [mm]\wurzel[7]{3 \epsilon^2}[/mm]
>
> Passt es so?
Ja
FRED
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
danke!!
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> Bestimmen die den maximalen Definitionsbereich von
> f(x) = [mm]x^2[/mm] * [mm]\wurzel{\frac{x^3}{3+x}}[/mm]
> Definitionsbereich [mm]D=[0,\infty)[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die Funktion ist doch ebenfalls definiert, falls x<-3 !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
Der Nenner darf nicht 0 sein
3 +x [mm] \not= [/mm] 0
Die Wurzel >= 0 sein
x > -3
[mm] \frac{x^3}{3+x} [/mm] >= 0
[mm] x^3 [/mm] >=0
x >= 0
x < -3
[mm] \frac{x^3}{3+x} [/mm] >= 0
[mm] x^3 [/mm] <= 0
x <= 0
Wie fasst man die beiden Fälle den für den definitionsbereich zusammen?
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> Der Nenner darf nicht 0 sein
> 3 +x [mm]\not=[/mm] 0
> Die Wurzel >= 0 sein
Du meinst nicht die Wurzel, sondern das was drunter
steht, also den Bruch [mm] $\frac{x^3}{x+3}
[/mm]
> x > -3
> [mm]\frac{x^3}{3+x}[/mm] >= 0
> [mm]x^3[/mm] >=0
> x >= 0
>
> x < -3
> [mm]\frac{x^3}{3+x}[/mm] >= 0
> [mm]x^3[/mm] <= 0
> x <= 0
>
> Wie fasst man die beiden Fälle für den
> Definitionsbereich zusammen?
[mm] $\mathbb{D}\ [/mm] =\ [mm] \{\,x\in\IR\ |\ x<-3\ \vee\ x\ge0\,\}$
[/mm]
oder
[mm] $\mbox{\Huge {\mathbb{D}\ =\ (\,-\,\infty\,,\,-\,3\,)\cup[\,0\,,\,\infty\,)}}$
[/mm]
(wollte das eigentlich nicht unbedingt so groß,
aber so, dass man die Kommas und Klammern
richtig sehen kann ...)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
danke ;)
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