Stetigkeit Wurzelfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Limaros |
| Aufgabe | | Sei f: [1, [mm] \infty[ [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] f(x)=-\wurzel{x-1}-1. [/mm] Zeigen Sie mithilfe des [mm] \epsilon-\delta-Kriteriums, [/mm] daß f für [mm] x_0>1 [/mm] stetig ist. |
Solche Standardaufgaben bereiten mit leider immer wieder Probleme... Also, erst das Kriterium:
f ist in [mm] x_0 [/mm] stetig, wenn es für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] derart gibt, daß für alle x mit [mm] \left|x-x_0\right|<\delta [/mm] gilt, daß [mm] \left|f(x)-f(x_0)\right|<\epsilon.
[/mm]
Sei also [mm] x_0>1, \epsilon>0. [/mm] Setze ich in [mm] \left|f(x)-f(x_0)\right|<\epsilon [/mm] entsprechend ein und vereinfache, dann komme ich auf
[mm] \left|\frac{x_0-x}{\wurzel{x_0-1}+\wurzel{x-1}}\right|<\epsilon
[/mm]
Da [mm] \left|x_0-x\right|=\left|x-x_0\right|<\delta [/mm] denke ich, daß das bis dahin ganz gut ist...
Jetzt geht's dann aber nicht mehr weiter. Ich denke, jetzt müßte man ein [mm] \delta [/mm] definieren und dann eben nachweisen, daß mich diesem [mm] \delta [/mm] dann das Kriterium gilt.
Also Frage: Bis hierher okay und wenn ja, wie weiter?!? Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Fr 16.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hilft Dir das:
$ \left|\frac{x_0-x}{\wurzel{x_0-1}+\wurzel{x-1}}\right|< \left|\frac{x_0-x}{\wurzel{x_0-1}\right|$
?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Limaros |
Hi Fred!
Also, ich würde ja jetzt gerne "JA" schreiben, aber leider ist die Wahrheit "NEIN". Die Ungleichung verstehe ich, aber ich merke, daß ich noch keine richtige "Denkstrategie" habe, wo ich eigentlich hin will... Vielleicht wäre noch ein weiterer Tipp gut...
Dezent verzweifelte Grüße... und Danke im voraus...
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Hallo Limaros,
> Hi Fred!
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> Also, ich würde ja jetzt gerne "JA" schreiben, aber leider
> ist die Wahrheit "NEIN". Die Ungleichung verstehe ich, aber
> ich merke, daß ich noch keine richtige "Denkstrategie"
> habe, wo ich eigentlich hin will... Vielleicht wäre noch
> ein weiterer Tipp gut...
Na, schreibe doch mal weiter auf:
Du willst doch dein [mm] $\delta>0$ [/mm] derart konstruieren, dass für [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] die Ungl. [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ [/mm] gilt (bei bel. vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
[mm] $\delta$ [/mm] darf von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen!
Nun haben wir in dieser Nebenrechnung:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=...<\frac{|x-x_0|}{\sqrt{x_0-1}}$
[/mm]
Nun weiter [mm] $<\frac{\delta}{\sqrt{x_0-1}}$
[/mm]
Und das soll schließlich [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein.
Also [mm] $\frac{\delta}{\sqrt{x_0-1}}\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
Das löse nun mal nach [mm] $\delta$ [/mm] auf, dann hast du es konstruiert.
Dann schreibe den Beweis schön in der richtigen Reihenfolge auf:
"Sei [mm] $x_0>1$ [/mm] bel. und [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] wähle [mm] $\delta [/mm] \ ...$, dann gilt für alle [mm] $|x-x_0|<\delta$: [/mm]
Dann schön die Abschätzungskette
>
> Dezent verzweifelte Grüße... und Danke im voraus...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Limaros |
Hi!
Danke! Ja, wenn ich 's noch zehnmal durchexerziere dann kann ich's irgendwann allein...
Also müßte in dem Fall [mm] \delta<\wurzel{x_0-1}\epsilon [/mm] sein?
Jetzt würde ich gerne noch den Unterschied zur gleichmäßigen Stetigkeit verstehen. Also, eigentlich sollte f ja auch gleichmäßig stetig sein... Also nochmal die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit: Für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta>0 [/mm] so daß für alle x,y >1 mit [mm] \left|x-y\right|<\delta [/mm] gilt [mm] \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon. [/mm] Richtig?
Wenn ich den entsprechenden Ansatz mache, dann komme ich bis
[mm] \left|\frac{y-x}{\wurzel{y-1}+\wurzel{x-1}}\right|<\epsilon
[/mm]
Jetzt müßte ich ja [mm] \delta [/mm] so bestimmen, daß es nur noch von [mm] \epsilon [/mm] abhängt, also x und y loswerden, oder? Wie geht das weiter...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 So 18.10.2009 | | Autor: | Ralf1007 |
Gleichmäßige Stetigkeit bedeutet, dass in für alle x,y dasgleiche [mm] \varepsilon [/mm] gilt, also darf das [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen, nicht aber vom speziellen Punkt.
Anders gesprochen: Wähle ich zwei Punkte x und y, deren Abstand kleiner als [mm] \delta [/mm] ist, so muss sich auch der Abstand zwischen den Funktionswerten durch ein [mm] \varepsilon [/mm] begrenzen lassen.
Bis hierhin sollte alles noch stimmen, allerdings ist der Rest meines Beitrags natürlich Unsinn gewesen. Ich weiß selber nicht, was mich da geritten hat und bitte um Verzeihung. Ich habe die fehlerhafte Aussage entfernt.
Gruß,
Ralf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Limaros |
Hi,
ja, sieht gut aus... Danke an alle und irgendwann wird sich auch in meinem Hirn der Analysis-Dschungel lichten...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Mo 19.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gleichmäßige Stetigkeit bedeutet, dass in für alle x,y
> dasgleiche [mm]\varepsilon[/mm] gilt, also darf das [mm]\delta[/mm] nur von
> [mm]\varepsilon[/mm] abhängen, nicht aber vom speziellen Punkt.
>
> Anders gesprochen: Wähle ich zwei Punkte x und y, deren
> Abstand kleiner als [mm]\delta[/mm] ist, so muss sich auch der
> Abstand zwischen den Funktionswerten durch ein [mm]\varepsilon[/mm]
> begrenzen lassen.
>
> In dem Fall meine ich, dass man folgendes machen kann:
>
> [mm]\left | \bruch{y-x}{\wurzel[]{y-1}+\wurzel[]{x-1}} \right|[/mm]
> < [mm]\left | \bruch{\delta}{\wurzel[]{y-1}+\wurzel[]{x-1}} \right|[/mm]
> < [mm]\delta[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Und fertig.
So, so ....
die Ungleichung
[mm]\left | \bruch{\delta}{\wurzel[]{y-1}+\wurzel[]{x-1}} \right|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
ist doch völliger Quatsch ! Aus ihr würde folgen
[mm]\left | \bruch{1}{\wurzel[]{y-1}+\wurzel[]{x-1}} \right|[/mm] < [mm]1[/mm]
Ist a>0 und x=y=1+a, so würde folgen: $1/4<a$
FRED
>
> Gruß,
>
> Ralf
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:20 Di 20.10.2009 | | Autor: | Limaros |
Also nächster Versuch...: Ich muß ein [mm] \delta>0 [/mm] finden, so daß [mm] \left|f(x)-f(y)\right<\epsilon [/mm] ist für alle x,y. Dann müßte ich doch in meinem Ansatz x und y "loswerden..." Frage: Wie geht das oder ist der Ansatz grundsätzlich falsch???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 27.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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