Stetigkeit allg. beweisen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] zwei abgeschlossene, nicht leere Teilmengen von [mm] \IR^2 [/mm] mit [mm] \IR^2 [/mm] = [mm] A_1 \cup A_2. [/mm] Sei weiter f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] eine Funktion, so dass [mm] f|_A_1 [/mm] und [mm] f|_A_2 [/mm] stetig sind.
Zeigen Sie, dass dann f stetig ist.
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Hallo,
kann mir jemand bei dieser Frage weiterhelfen. Ich habe keine Ahnung wie ich
da dran gehen soll? Ich habe mir zwar folgendes überlegt (bin mir aber nicht sicher, ob das Sinn macht):
Da auf den Restriktionen [mm] f|_A_1 [/mm] und [mm] f|_A_2 [/mm] die Funktion ja bereits stetig ist. Da [mm] \IR^2 [/mm] = [mm] A_1 \cup A_2 [/mm] ist und außerdem [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] abgeschlossen sind müssen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] auf jeden Fall gemeinsame Elemente haben. Denn es können ja nicht zwei abgeschossene Mengen einen kompletten Raum ausfüllen, ohne dass sie gemeinsame Elemente haben, oder?
Wenn man nun also zeigen würde, dass [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] keine disjunkten Mengen sind, hätte man dann nicht schon die Stetigkeit von f bewiesen?
Vielleicht kann mir jemand einen Denkanstoß geben?!
Wäre wirklich sehr dankbar dafür!
Viele Grüße,
schlumpfinchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] x_0 \in \IR^2 [/mm] und [mm] (x_n) [/mm] eine Folge mit [mm] x_n \to x_0
[/mm]
Fall 1: [mm] x_n \in A_1 [/mm] für fast alle n. Da [mm] A_1 [/mm] abgeschlossen: [mm] x_0 \in A_1. [/mm] Also:
[mm] f(x_n) [/mm] = $ [mm] f|_A_1(x_n) [/mm] $ [mm] \to [/mm] $ [mm] f|_A_1(x_0) [/mm] $ = [mm] f(x_0)
[/mm]
Fall 2: [mm] x_n \in A_2 [/mm] für fast alle n. Da [mm] A_2 [/mm] abgeschlossen: [mm] x_0 \in A_2. [/mm] Also:
[mm] f(x_n) [/mm] = $ [mm] f|_A_2(x_n) [/mm] $ [mm] \to [/mm] $ [mm] f|_A_2(x_0) [/mm] $ = [mm] f(x_0)
[/mm]
Fall 3: [mm] (x_n) [/mm] lässt sich zerlegen in Teilfolgen [mm] (y_k) [/mm] und [mm] (z_k) [/mm] mit
[mm] y_k \in A_1 [/mm] für jedes k , [mm] z_k \in A_2 [/mm] für jedes k und { [mm] y_k, z_k [/mm] : k [mm] \in \IN} [/mm] = { [mm] x_n: [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] }
Aus Fall 1 folgt: [mm] f(y_k) \to f(x_0) [/mm] und aus Fall 2 folgt: [mm] f(z_k) \to f(x_0). [/mm] Somit:
[mm] f(x_n) \to f(x_0)
[/mm]
FRED
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Hallo
Also war mein Grundgedanke falsch, oder?
Ich verstehe nicht ganz das Prinzip des Beweises.
Vielleicht kann mir jemand einmal in Worten das Prinzip des Beweises erkären.
Dann kann ich das besser nachvollziehen und es wäre mir eine große Hilfe. Das wäre sehr nett.
Gruß,
schlumpfinchen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Für die Stetigkeit in [mm] x_0 [/mm] habe ich das Folgenkriterium verwendet.
[mm] (x_n) [/mm] war eine Folge im [mm] \IR^2 [/mm] mit [mm] x_n \to x_0. [/mm] Nun muß man Fälle unterscheiden, je nach dem "wieviele" Folgenglieder in [mm] A_1 [/mm] bzw. [mm] A_2 [/mm] liegen.
Fall 1: [mm] x_n \in A_2 [/mm] für höchstens endlich viele n, also [mm] x_n \in A_1 [/mm] für fast alle n
Fall 2: [mm] x_n \in A_1 [/mm] für höchstens endlich viele n, also [mm] x_n \in A_2 [/mm] für fast alle n
Fall 3: [mm] x_n \in A_1 [/mm] für unendlich endlich viele n, und [mm] x_n \in A_2 [/mm] für unendlich endlich viele n
FRED
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