Stetigkeit an innerer Stelle < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Mi 26.10.2011 | | Autor: | miggel13 |
| Aufgabe | Geg: f: [mm] x\to [/mm] f(x) = [mm] x^{2}-6x, [/mm] D=[-2;5]
Prüfen, ob die inneren Stelle x=3 stetig ist (mit Grenzwertrechnung) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Diese Aufgabe wird beispielhaft in einem Buch vorgerechnet. Bei der Lösungsmenge habe ich aber derzeit noch ein Problem:
1. Schritt: (der ist noch klar)
x=3: f(3) = [mm] 3^{2}-6*3 [/mm] = 9-18=-9
2. Schritt: Berechnung des rechtsseitigen Grenzwertes von x=3
[mm] \limes_{x\rightarrow 3+0} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] f(3+h)
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [(3+h)^{2} [/mm] - 6*(3+h)]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [9+6h+h^{2}-18-6h]
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}] [/mm] = -9
Hier aber versteh ich an der Lösung nicht, warum einfach die -9 als Ergebnis herauskommen soll? Wird einfach alles mit "h" weggelassen?
3. Schritt: Berechnung des linksseitigen Grenzwertes von x=3
[mm] \limes_{x\rightarrow 3-0} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] f(3-h)
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [(3-h)^{2}-6*(3-h)]
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [9-6h+h^{2}-18+6h]
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}]=-9
[/mm]
Wie schon beim 2. Schritt bin ich auch hier über -9 irritiert.
Letzlich ist das Ergebnis, dass f in x=3 stetig ist, da gilt [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] f(3+h) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] f(3-h) = f(3). Kann mir jemand erklären, ob ich letzlich bei der Limes-Rechnung im Ergebnis dann "alles mit h" einfach weglassen? Wäre toll, wenn mir jemand kurz hier helfen könnte.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Mi 26.10.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
sowas macht man heute schon in der 10. Klasse Realschule (entnehme ich deinem math. Background) - Respekt!
> Geg: f: [mm]x\to[/mm] f(x) = [mm]x^{2}-6x,[/mm] D=[-2;5]
> Prüfen, ob die inneren Stelle x=3 stetig ist (mit
> Grenzwertrechnung)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Diese Aufgabe wird beispielhaft in einem Buch vorgerechnet.
> Bei der Lösungsmenge habe ich aber derzeit noch ein
> Problem:
>
> 1. Schritt: (der ist noch klar)
> x=3: f(3) = [mm]3^{2}-6*3[/mm] = 9-18=-9
>
> 2. Schritt: Berechnung des rechtsseitigen Grenzwertes von
> x=3
> [mm]\limes_{x\rightarrow 3+0}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> f(3+h)
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [(3+h)^{2}[/mm] - 6*(3+h)]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [9+6h+h^{2}-18-6h][/mm]
> =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}][/mm] = -9
>
> Hier aber versteh ich an der Lösung nicht, warum einfach
> die -9 als Ergebnis herauskommen soll? Wird einfach alles
> mit "h" weggelassen?
Nein, das wird nicht einfach weggelassen.
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] f(3+h) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [(3+h)^{2}[/mm] - 6*(3+h)]
Bis hierhin scheint es dir noch klar zu sein!?
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [9+6h+h^{2}-18-6h][/mm]
Hier wurde einfach [mm](3+h)^2-6\cdot{}(3+h)[/mm] ausmultipliziert. Es ist
[mm](3+h)^2-6\cdot{}(3+h)=9+6h+h^2-18-6h[/mm]
Das nun zusammenfassen: [mm]9\red{+6h}+h^{2}-18\red{-6h}=\blue{9}+h^2\blue{-18}=-9+h^2[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}][/mm] = -9
Das erklärt die linke Seite.
Dann ist [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}]=-9+\limes_{h\rightarrow 0} h^{2}[/mm]
Und was passiert mit [mm]h^{2}[/mm], wenn du h gegen 0 laufen lässt?
>
> 3. Schritt: Berechnung des linksseitigen Grenzwertes von
> x=3
> [mm]\limes_{x\rightarrow 3-0}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> f(3-h)
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [(3-h)^{2}-6*(3-h)][/mm]
> =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [9-6h+h^{2}-18+6h][/mm]
> =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}]=-9[/mm]
>
> Wie schon beim 2. Schritt bin ich auch hier über -9
> irritiert.
Siehe Erklärung zu Schritt 2.
> Letzlich ist das Ergebnis, dass f in x=3 stetig ist, da
> gilt [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] f(3+h) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> f(3-h) = f(3). Kann mir jemand erklären, ob ich letzlich
> bei der Limes-Rechnung im Ergebnis dann "alles mit h"
> einfach weglassen? Wäre toll, wenn mir jemand kurz hier
> helfen könnte.
Wie gesagt, weglassen ist nicht! Du musst zusammenfassen und gucken, was mit den Termen, die von h abhängen, passiert, wenn du h gegen 0 laufen lässt.
>
> Danke!
Gruß
barsch
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mi 26.10.2011 | | Autor: | miggel13 |
> Hallo,
>
> sowas macht man heute schon in der 10. Klasse Realschule
> (entnehme ich deinem math. Background) - Respekt!
:) nicht ganz. Ich hab in diesem Schuljahr in der BOS 12 angefangen. Die letzte erfolgreich bestandene Klasse war aber letzlich die 10. Klasse Realschule. Das mit Stetigkeit haben wir auch noch gar nicht in der Schule, interessiert mich nur zimelich...
>
>
> > Geg: f: [mm]x\to[/mm] f(x) = [mm]x^{2}-6x,[/mm] D=[-2;5]
> > Prüfen, ob die inneren Stelle x=3 stetig ist (mit
> > Grenzwertrechnung)
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Diese Aufgabe wird beispielhaft in einem Buch vorgerechnet.
> > Bei der Lösungsmenge habe ich aber derzeit noch ein
> > Problem:
> >
> > 1. Schritt: (der ist noch klar)
> > x=3: f(3) = [mm]3^{2}-6*3[/mm] = 9-18=-9
> >
> > 2. Schritt: Berechnung des rechtsseitigen Grenzwertes von
> > x=3
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 3+0}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> > f(3+h)
> > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [(3+h)^{2}[/mm] - 6*(3+h)]
> > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [9+6h+h^{2}-18-6h][/mm]
> > =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}][/mm] = -9
> >
> > Hier aber versteh ich an der Lösung nicht, warum einfach
> > die -9 als Ergebnis herauskommen soll? Wird einfach alles
> > mit "h" weggelassen?
>
> Nein, das wird nicht einfach weggelassen.
>
>
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] f(3+h) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [(3+h)^{2}[/mm]
> - 6*(3+h)]
>
> Bis hierhin scheint es dir noch klar zu sein!?
>
> > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [9+6h+h^{2}-18-6h][/mm]
>
> Hier wurde einfach [mm](3+h)^2-6\cdot{}(3+h)[/mm] ausmultipliziert.
> Es ist
>
> [mm](3+h)^2-6\cdot{}(3+h)=9+6h+h^2-18-6h[/mm]
>
> Das nun zusammenfassen:
> [mm]9\red{+6h}+h^{2}-18\red{-6h}=\blue{9}+h^2\blue{-18}=-9+h^2[/mm]
>
> > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}][/mm] = -9
>
> Das erklärt die linke Seite.
>
> Dann ist [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}]=-9+\limes_{h\rightarrow 0} h^{2}[/mm]
>
> Und was passiert mit [mm]h^{2}[/mm], wenn du h gegen 0 laufen
> lässt?
Das mit dem ausmultiplizieren etc. ist alles klar. Dachte mir schon, dass es nicht so einfach geht, einfach mal nen Buchstaben wegzulassen
Nun, wenn h gegen 0 geht, dann wirds kleiner:
[mm]
h^{2}[/mm]
[mm]h=1^{2} => 1[/mm]
[mm]h=0.5^{2} => 0.25[/mm]
[mm]h=0.25^{2} => 0.0625
[/mm]...
Die Terme [mm]f(3+h)[/mm] und [mm]f(3-h)[/mm] verhalten sich eigentlich "gleich" oder? Und wenn sich diese Terme gleich verhalten, dann dürfe ja normal die Stetigkeit gewährleistet sein oder liege ich da falsch? Da im Buch als "Endergebnis" -9 angegeben haben, gehe ich davon aus, dass für h=0 eingesetzt wurde.
>
> >
> > 3. Schritt: Berechnung des linksseitigen Grenzwertes von
> > x=3
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 3-0}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> > f(3-h)
> > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [(3-h)^{2}-6*(3-h)][/mm]
> > =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [9-6h+h^{2}-18+6h][/mm]
> > =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}]=-9[/mm]
> >
> > Wie schon beim 2. Schritt bin ich auch hier über -9
> > irritiert.
>
> Siehe Erklärung zu Schritt 2.
>
> > Letzlich ist das Ergebnis, dass f in x=3 stetig ist, da
> > gilt [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] f(3+h) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> > f(3-h) = f(3). Kann mir jemand erklären, ob ich letzlich
> > bei der Limes-Rechnung im Ergebnis dann "alles mit h"
> > einfach weglassen? Wäre toll, wenn mir jemand kurz hier
> > helfen könnte.
>
> Wie gesagt, weglassen ist nicht! Du musst zusammenfassen
> und gucken, was mit den Termen, die von h abhängen,
> passiert, wenn du h gegen 0 laufen lässt.
>
> >
> > Danke!
>
> Gruß
> barsch
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Do 27.10.2011 | | Autor: | miggel13 |
> > Hallo,
> >
> > sowas macht man heute schon in der 10. Klasse Realschule
> > (entnehme ich deinem math. Background) - Respekt!
>
> :) nicht ganz. Ich hab in diesem Schuljahr in der BOS 12
> angefangen. Die letzte erfolgreich bestandene Klasse war
> aber letzlich die 10. Klasse Realschule. Das mit Stetigkeit
> haben wir auch noch gar nicht in der Schule, interessiert
> mich nur zimelich...
>
> >
> >
> > > Geg: f: [mm]x\to[/mm] f(x) = [mm]x^{2}-6x,[/mm] D=[-2;5]
> > > Prüfen, ob die inneren Stelle x=3 stetig ist (mit
> > > Grenzwertrechnung)
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > >
> > > Diese Aufgabe wird beispielhaft in einem Buch vorgerechnet.
> > > Bei der Lösungsmenge habe ich aber derzeit noch ein
> > > Problem:
> > >
> > > 1. Schritt: (der ist noch klar)
> > > x=3: f(3) = [mm]3^{2}-6*3[/mm] = 9-18=-9
> > >
> > > 2. Schritt: Berechnung des rechtsseitigen Grenzwertes von
> > > x=3
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow 3+0}[/mm] f(x) =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> > > f(3+h)
> > > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [(3+h)^{2}[/mm] - 6*(3+h)]
> > > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [9+6h+h^{2}-18-6h][/mm]
> > >
> =
> > > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}][/mm] = -9
> > >
> > > Hier aber versteh ich an der Lösung nicht, warum einfach
> > > die -9 als Ergebnis herauskommen soll? Wird einfach alles
> > > mit "h" weggelassen?
> >
> > Nein, das wird nicht einfach weggelassen.
> >
> >
> > > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] f(3+h) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [(3+h)^{2}[/mm]
> > - 6*(3+h)]
> >
> > Bis hierhin scheint es dir noch klar zu sein!?
> >
> > > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [9+6h+h^{2}-18-6h][/mm]
> >
> > Hier wurde einfach [mm](3+h)^2-6\cdot{}(3+h)[/mm] ausmultipliziert.
> > Es ist
> >
> > [mm](3+h)^2-6\cdot{}(3+h)=9+6h+h^2-18-6h[/mm]
> >
> > Das nun zusammenfassen:
> > [mm]9\red{+6h}+h^{2}-18\red{-6h}=\blue{9}+h^2\blue{-18}=-9+h^2[/mm]
> >
> > > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}][/mm] = -9
> >
> > Das erklärt die linke Seite.
> >
> > Dann ist [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}]=-9+\limes_{h\rightarrow 0} h^{2}[/mm]
>
> >
> > Und was passiert mit [mm]h^{2}[/mm], wenn du h gegen 0 laufen
> > lässt?
>
> Das mit dem ausmultiplizieren etc. ist alles klar. Dachte
> mir schon, dass es nicht so einfach geht, einfach mal nen
> Buchstaben wegzulassen
>
> Nun, wenn h gegen 0 geht, dann wirds kleiner:
>
> [mm]
h^{2}[/mm]
> [mm]h=1^{2} => 1[/mm]
> [mm]h=0.5^{2} => 0.25[/mm]
> [mm]h=0.25^{2} => 0.0625
[/mm]...
>
> Die Terme [mm]f(3+h)[/mm] und [mm]f(3-h)[/mm] verhalten sich eigentlich
> "gleich" oder? Und wenn sich diese Terme gleich verhalten,
> dann dürfe ja normal die Stetigkeit gewährleistet sein
> oder liege ich da falsch? Da im Buch als "Endergebnis" -9
> angegeben haben, gehe ich davon aus, dass für h=0
> eingesetzt wurde.
>
>
>
>
Ich hätte es nicht als Mitteilung markieren sollen (bin noch relativ neu in diesem Forum).
Kann mir jemand diese Fragen (siehe oben) noch beantworten?
>
>
>
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>
> >
> > >
> > > 3. Schritt: Berechnung des linksseitigen Grenzwertes von
> > > x=3
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow 3-0}[/mm] f(x) =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> > > f(3-h)
> > > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [(3-h)^{2}-6*(3-h)][/mm]
> > >
> =
> > > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [9-6h+h^{2}-18+6h][/mm]
> > > =
> > > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} [-9+h^{2}]=-9[/mm]
> > >
> > > Wie schon beim 2. Schritt bin ich auch hier über -9
> > > irritiert.
> >
> > Siehe Erklärung zu Schritt 2.
> >
> > > Letzlich ist das Ergebnis, dass f in x=3 stetig ist, da
> > > gilt [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] f(3+h) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> > > f(3-h) = f(3). Kann mir jemand erklären, ob ich letzlich
> > > bei der Limes-Rechnung im Ergebnis dann "alles mit h"
> > > einfach weglassen? Wäre toll, wenn mir jemand kurz hier
> > > helfen könnte.
> >
> > Wie gesagt, weglassen ist nicht! Du musst zusammenfassen
> > und gucken, was mit den Termen, die von h abhängen,
> > passiert, wenn du h gegen 0 laufen lässt.
> >
> > >
> > > Danke!
> >
> > Gruß
> > barsch
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Nisse |
> Die Terme [mm]f(3+h)[/mm] und [mm]f(3-h)[/mm] verhalten sich eigentlich
> "gleich" oder? Und wenn sich diese Terme gleich verhalten,
> dann dürfe ja normal die Stetigkeit gewährleistet sein
> oder liege ich da falsch? Da im Buch als "Endergebnis" -9
> angegeben haben, gehe ich davon aus, dass für h=0
> eingesetzt wurde.
Das ist genau der Knackpunkt. In diesem Fall ist es "zufällig" so, dass f(3-h) = f(3) = f(3+h) gilt, wenn man [mm]h \rightarrow 0[/mm] laufen lässt. Diesen Zufall nennt man dann "stetig (an der Stelle 3)".
Wenn Du einfach h=0 einsetzt, ist an der Gleichung f(3)=f(3)=f(3) nichts Aussagekräftiges. Es gibt einen Unterschied zwischen [mm]h \rightarrow 0[/mm] und h=0.
Wenn Du magst, probier es mal mit einer anderen Funktion:
f(x)= x²+1 für x>0
f(x)= 0 für x=0
f(x)= x²-1 für x<0
Ist f stetig an der Stelle 0? (Tipp: Bestimme f(0-h)=f(-h), f(0) und f(0+h)=f(h) für h>0)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mo 31.10.2011 | | Autor: | miggel13 |
> > Die Terme [mm]f(3+h)[/mm] und [mm]f(3-h)[/mm] verhalten sich eigentlich
> > "gleich" oder? Und wenn sich diese Terme gleich verhalten,
> > dann dürfe ja normal die Stetigkeit gewährleistet sein
> > oder liege ich da falsch? Da im Buch als "Endergebnis" -9
> > angegeben haben, gehe ich davon aus, dass für h=0
> > eingesetzt wurde.
>
> Das ist genau der Knackpunkt. In diesem Fall ist es
> "zufällig" so, dass f(3-h) = f(3) = f(3+h) gilt, wenn man
> [mm]h \rightarrow 0[/mm] laufen lässt. Diesen Zufall nennt man dann
> "stetig (an der Stelle 3)".
>
> Wenn Du einfach h=0 einsetzt, ist an der Gleichung
> f(3)=f(3)=f(3) nichts Aussagekräftiges. Es gibt einen
> Unterschied zwischen [mm]h \rightarrow 0[/mm] und h=0.
>
>
>
> Wenn Du magst, probier es mal mit einer anderen Funktion:
>
> f(x)= x²+1 für x>0
> f(x)= 0 für x=0
> f(x)= x²-1 für x<0
>
> Ist f stetig an der Stelle 0? (Tipp: Bestimme f(0-h)=f(-h),
> f(0) und f(0+h)=f(h) für h>0)
Danke für die Aufgabe. Ich versuch es mal:
1. erstmal 0 einsetzen:
[mm]f(0) = 0[/mm]
2. Schritt
[mm]f(0+h) = x^2+1[/mm]
[mm]f(0+h) = (0+h)^2+1[/mm]
[mm]f(0+h) = h^2+1[/mm]
3. Schritt
[mm]f(0-h) = x^2-1[/mm]
[mm]f(0-h) = (0-h)^2-1[/mm]
[mm]f(0-h) = h^2-1[/mm]
Ich würde nun behaupten, dass es nicht stetig in 0 ist ( da [mm]f(0-h) = f(0) = f(0+h)[/mm] nicht wahr ist)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Die Terme [mm]f(3+h)[/mm] und [mm]f(3-h)[/mm] verhalten sich eigentlich
> > > "gleich" oder? Und wenn sich diese Terme gleich verhalten,
> > > dann dürfe ja normal die Stetigkeit gewährleistet sein
> > > oder liege ich da falsch? Da im Buch als "Endergebnis" -9
> > > angegeben haben, gehe ich davon aus, dass für h=0
> > > eingesetzt wurde.
> >
> > Das ist genau der Knackpunkt. In diesem Fall ist es
> > "zufällig" so, dass f(3-h) = f(3) = f(3+h) gilt, wenn man
> > [mm]h \rightarrow 0[/mm] laufen lässt. Diesen Zufall nennt man dann
> > "stetig (an der Stelle 3)".
> >
> > Wenn Du einfach h=0 einsetzt, ist an der Gleichung
> > f(3)=f(3)=f(3) nichts Aussagekräftiges. Es gibt einen
> > Unterschied zwischen [mm]h \rightarrow 0[/mm] und h=0.
> >
> >
> >
> > Wenn Du magst, probier es mal mit einer anderen Funktion:
> >
> > f(x)= x²+1 für x>0
> > f(x)= 0 für x=0
> > f(x)= x²-1 für x<0
> >
> > Ist f stetig an der Stelle 0? (Tipp: Bestimme f(0-h)=f(-h),
> > f(0) und f(0+h)=f(h) für h>0)
>
> Danke für die Aufgabe. Ich versuch es mal:
>
> 1. erstmal 0 einsetzen:
> [mm]f(0) = 0[/mm]
>
> 2. Schritt
> [mm]f(0+h) = x^2+1[/mm]
??? Meinst Du x=0+h ?
> [mm]f(0+h) = (0+h)^2+1[/mm]
> [mm]f(0+h) = h^2+1[/mm]
O.K.
>
> 3. Schritt
> [mm]f(0-h) = x^2-1[/mm]
S.o. ??
> [mm]f(0-h) = (0-h)^2-1[/mm]
> [mm]f(0-h) = h^2-1[/mm]
O.K.
>
> Ich würde nun behaupten, dass es nicht stetig in 0 ist (
> da [mm]f(0-h) = f(0) = f(0+h)[/mm] nicht wahr ist)
Nein, so kannst Du nicht argumentieren.
Es ist [mm] \limes_{h \rightarrow 0}f(0-h) [/mm] =-1 und [mm] \limes_{h \rightarrow 0}f(0+h) [/mm] =1 .
Wäre f in 0 stetig, so wäre
[mm] \limes_{h \rightarrow 0}f(0-h)=f(0)= \limes_{h \rightarrow 0}f(0+h).
[/mm]
Also wäre -1=0=1, Widerspruch
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Mo 31.10.2011 | | Autor: | miggel13 |
> > > > Die Terme [mm]f(3+h)[/mm] und [mm]f(3-h)[/mm] verhalten sich eigentlich
> > > > "gleich" oder? Und wenn sich diese Terme gleich verhalten,
> > > > dann dürfe ja normal die Stetigkeit gewährleistet sein
> > > > oder liege ich da falsch? Da im Buch als "Endergebnis" -9
> > > > angegeben haben, gehe ich davon aus, dass für h=0
> > > > eingesetzt wurde.
> > >
> > > Das ist genau der Knackpunkt. In diesem Fall ist es
> > > "zufällig" so, dass f(3-h) = f(3) = f(3+h) gilt, wenn man
> > > [mm]h \rightarrow 0[/mm] laufen lässt. Diesen Zufall nennt man dann
> > > "stetig (an der Stelle 3)".
> > >
> > > Wenn Du einfach h=0 einsetzt, ist an der Gleichung
> > > f(3)=f(3)=f(3) nichts Aussagekräftiges. Es gibt einen
> > > Unterschied zwischen [mm]h \rightarrow 0[/mm] und h=0.
> > >
> > >
> > >
> > > Wenn Du magst, probier es mal mit einer anderen Funktion:
> > >
> > > f(x)= x²+1 für x>0
> > > f(x)= 0 für x=0
> > > f(x)= x²-1 für x<0
> > >
> > > Ist f stetig an der Stelle 0? (Tipp: Bestimme f(0-h)=f(-h),
> > > f(0) und f(0+h)=f(h) für h>0)
> >
> > Danke für die Aufgabe. Ich versuch es mal:
> >
> > 1. erstmal 0 einsetzen:
> > [mm]f(0) = 0[/mm]
> >
> > 2. Schritt
> > [mm]f(0+h) = x^2+1[/mm]
>
> ??? Meinst Du x=0+h ?
Ja das meinte ich.
>
>
> > [mm]f(0+h) = (0+h)^2+1[/mm]
> > [mm]f(0+h) = h^2+1[/mm]
>
> O.K.
>
>
> >
> > 3. Schritt
> > [mm]f(0-h) = x^2-1[/mm]
>
Ja, für x=0-h
>
>
> > [mm]f(0-h) = (0-h)^2-1[/mm]
> > [mm]f(0-h) = h^2-1[/mm]
>
> O.K.
>
>
> >
> > Ich würde nun behaupten, dass es nicht stetig in 0 ist (
> > da [mm]f(0-h) = f(0) = f(0+h)[/mm] nicht wahr ist)
>
> Nein, so kannst Du nicht argumentieren.
ja, ich hab gerade gemerkt, dass das so nicht funktionieren kann.
>
> Es ist [mm]\limes_{h \rightarrow 0}f(0-h)[/mm] =-1 und [mm]\limes_{h \rightarrow 0}f(0+h)[/mm]
> =1 .
OK. Da [mm]\limes_{h \rightarrow 0}f(0-h)[/mm] gegen -1 geht und [mm]\limes_{h \rightarrow 0}f(0+h)[/mm] gegen 1 geht, ist f in 0 nicht stetig. Oder?
>
> Wäre f in 0 stetig, so wäre
>
> [mm]\limes_{h \rightarrow 0}f(0-h)=f(0)= \limes_{h \rightarrow 0}f(0+h).[/mm]
>
> Also wäre -1=0=1, Widerspruch
>
> FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Die Terme [mm]f(3+h)[/mm] und [mm]f(3-h)[/mm] verhalten sich eigentlich
> > > > > "gleich" oder? Und wenn sich diese Terme gleich verhalten,
> > > > > dann dürfe ja normal die Stetigkeit gewährleistet sein
> > > > > oder liege ich da falsch? Da im Buch als "Endergebnis" -9
> > > > > angegeben haben, gehe ich davon aus, dass für h=0
> > > > > eingesetzt wurde.
> > > >
> > > > Das ist genau der Knackpunkt. In diesem Fall ist es
> > > > "zufällig" so, dass f(3-h) = f(3) = f(3+h) gilt, wenn man
> > > > [mm]h \rightarrow 0[/mm] laufen lässt. Diesen Zufall nennt man dann
> > > > "stetig (an der Stelle 3)".
> > > >
> > > > Wenn Du einfach h=0 einsetzt, ist an der Gleichung
> > > > f(3)=f(3)=f(3) nichts Aussagekräftiges. Es gibt einen
> > > > Unterschied zwischen [mm]h \rightarrow 0[/mm] und h=0.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Wenn Du magst, probier es mal mit einer anderen Funktion:
> > > >
> > > > f(x)= x²+1 für x>0
> > > > f(x)= 0 für x=0
> > > > f(x)= x²-1 für x<0
> > > >
> > > > Ist f stetig an der Stelle 0? (Tipp: Bestimme f(0-h)=f(-h),
> > > > f(0) und f(0+h)=f(h) für h>0)
> > >
> > > Danke für die Aufgabe. Ich versuch es mal:
> > >
> > > 1. erstmal 0 einsetzen:
> > > [mm]f(0) = 0[/mm]
> > >
> > > 2. Schritt
> > > [mm]f(0+h) = x^2+1[/mm]
> >
> > ??? Meinst Du x=0+h ?
>
> Ja das meinte ich.
>
> >
> >
> > > [mm]f(0+h) = (0+h)^2+1[/mm]
> > > [mm]f(0+h) = h^2+1[/mm]
> >
> > O.K.
> >
> >
> > >
> > > 3. Schritt
> > > [mm]f(0-h) = x^2-1[/mm]
> >
>
> Ja, für x=0-h
>
> >
> >
> > > [mm]f(0-h) = (0-h)^2-1[/mm]
> > > [mm]f(0-h) = h^2-1[/mm]
> >
> > O.K.
> >
> >
> > >
> > > Ich würde nun behaupten, dass es nicht stetig in 0 ist (
> > > da [mm]f(0-h) = f(0) = f(0+h)[/mm] nicht wahr ist)
> >
> > Nein, so kannst Du nicht argumentieren.
>
> ja, ich hab gerade gemerkt, dass das so nicht funktionieren
> kann.
>
>
> >
> > Es ist [mm]\limes_{h \rightarrow 0}f(0-h)[/mm] =-1 und [mm]\limes_{h \rightarrow 0}f(0+h)[/mm]
> > =1 .
>
> OK. Da [mm]\limes_{h \rightarrow 0}f(0-h)[/mm] gegen -1 geht
Nein. [mm]\limes_{h \rightarrow 0}f(0-h)[/mm] = -1
> und
> [mm]\limes_{h \rightarrow 0}f(0+h)[/mm] gegen 1 geht,
s.o.
> ist f in 0
> nicht stetig. Oder?
Ja
FRED
>
> >
> > Wäre f in 0 stetig, so wäre
> >
> > [mm]\limes_{h \rightarrow 0}f(0-h)=f(0)= \limes_{h \rightarrow 0}f(0+h).[/mm]
>
> >
> > Also wäre -1=0=1, Widerspruch
> >
> > FRED
> >
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