Stetigkeit bei Fkt von 2 Var < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Fr 24.06.2005 | | Autor: | SBDevil |
Guten Tag!
Erstmal muss ich mich an alle bedanken, die mir hier bei den vorrigen Fragen und so geholfen hatten - hat mir echt weiter geholfen :)
Nun zu meiner neuen Frage:
Ich möchte zeigen, dass die Fkt
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x*y^2}{x^2+y^4}, & \mbox{für } (x,y) \not=(0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{} \end{cases}
[/mm]
im Punkt (0,0) nicht stetig ist.
Ich weiß, dass wenn alle partiellen Ableitungen von f stetig sind, dass dann die Reihenfolge der part. Ableitungen egal ist und dass f dann total Differenzierbar ist.
Aber folgt denn aus der totalen Differenzierbarkeit die stetigkeit?
Ich bin einfach mal von ja ausgegangen:
[mm] fx(x,y)=\bruch{y^2*(x^2+y^4)-(x*y^2)*2x}{(x^2+y^4)^2} [/mm] = [mm] \bruch{y^2*(y^4-x^2)}{(x^2+y^4)^2} [/mm]
[mm] fy(x,y)=\bruch{2xy*(x^2+y^4)-xy^2*4y^3}{(x^2+y^4)^2} [/mm] = [mm] \bruch{2yx^3+2xy^5-4xy^5}{(x^2+y^4)^2}
[/mm]
[mm] fx(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{0}{h} [/mm] = 0
[mm] fy(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{0}{h} [/mm] = 0
und die 2ten:
[mm] fxy(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{fx(0,h)-fx(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^2*h^4}{h^8} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] fyx(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{fy(h,0)-fy(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{0}{h^4} [/mm] = 0
Also ist fxy [mm] \not= [/mm] fyx und daraus würde folgen, dass die fkt im Punkt (0,0) unstetig ist?
Oder kann ich das nicht so machen bzw ist dort irgendwo nen Fehler drinn?
MfG SBDevil
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Hallo.
Sei [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x*y^2}{x^2+y^4}, & \mbox{für } (x,y) \not=(0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{} \end{cases}[/mm]
Du willst nun zeigen, daß f im Punkt (0,0) nicht stetig ist.
Es stimmt, daß aus totaler Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt.
Umgekehrt kann man also sagen, daß, falls eine Funktion nicht stetig ist, sie garantiert auch nicht differenzierbar ist.
Allerdings folgt daraus, daß eine Funktion nicht differenzierbar ist, gar nichts.
Es gibt dutzende Beispiele stetiger aber nicht differenzierbarer Funktionen, man nehme schon im Eindimensionalen die Betragsfunktion!
Die Unstetigkeit dieser Funktion zeigst Du vielleicht am besten damit, daß Du eine Punktfolge [mm] (x_n,y_n) [/mm] konstruierst, die gegen (0,0) konvergiert, die Folge [mm] f(x_n,y_n) [/mm] aber nicht gegen f(0,0) konvergiert.
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 So 26.06.2005 | | Autor: | SBDevil |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Also mach ich dass dann so:
[mm] ak=(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})
[/mm]
dann ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] ak = (0,0)
und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] f(ak) = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{1}{k}* (\bruch{1}{k})^2} {(\bruch{1}{k})^2+(\bruch{1}{k})^4}
[/mm]
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{k^3}} {\bruch{1}{k^2}+\bruch{1}{k^4}} [/mm]
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k+\bruch{1}{k}}
[/mm]
und da fällt dann schonmal unten das 1/k weg und und es bleibt [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k+0} [/mm] was gleich 0 ist.
Also ist die Fkt stetig in (0,0) ?
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Hallo SBDevil,
es ist meistens so, dass man mit Folgen argumentiert, wenn man beweisen will, dass eine Funktion NICHT stetig ist, denn: f ist stetig im Punkt a, wenn [mm] \forall [/mm] Folgen [mm] a_n [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n) [/mm] = f(a).
Nun wollen wir zeigen, dass f bei a nicht stetig ist, dann reicht es aus, eine Folge anzugeben, für die gelten muss: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a UND [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n) \ne [/mm] f(a).
Deine Vorgehensweise ist richtig, aber die gewählte Folge ist nicht so günstig.
Tipp: Versuche es mit [mm] a_n [/mm] = ( [mm] \bruch{1}{n^2}, \bruch{1}{n}).
[/mm]
gruss,
logarithmus
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