Stetigkeit beschränkte Fkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Sa 10.12.2011 | | Autor: | JackRed |
| Aufgabe | [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] beschränkt. Außerdem gilt
[mm] f(x_1+x_2)\ge f(x_1)+f(x_2)
[/mm]
[mm] \forall x_1,x_2\in[a,b]
[/mm]
Beweise, dass f in ]a,b[ stetig ist. |
Hallo,
Habe Probleme mit der Aufgabe hier.
Kann mit den Voraussetzungen irgendwie nichts anfangen. Beschränktheit sagt mir nur, dass es ein Wert gibt, der größer als |f(x)| ist, für alle [mm] x\in[a,b]. [/mm] Ich weiß nur nicht wie ich die Stetigkeit zeigen soll. Kann nicht mal sagen, ob ich was mit Folgen machen soll oder mit Epsilon-Delta. Bei beiden Fällen kriege ich nicht mal einen Anfang hin, weil ich keine konkrete Funktion habe, sondern nur diese Beziehung, die oben steht.
Über einen noch so geringen Denkanstoß wäre ich dankbar.
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Hallo,
> Beschränktheit sagt mir nur, dass es ein Wert gibt, der
> größer als |f(x)| ist, für alle [mm]x\in[a,b].[/mm] Ich weiß nur
> nicht wie ich die Stetigkeit zeigen soll...
also: mit Beschränkt müsste hier meiner Ansicht nach gemeint sein, dass f sowohl Supremum als auch Infimum besitzt. Das macht schon einen großen Unterschied.
Und die zusätzlich gegebene Ungleichung inspiriert mich direkt, etwas mit dem [mm] \epsilon-\delta-Kriterium [/mm] zu versuchen, wiewohl ich mir mit meiner Idee noch nicht ganz sicher bin. Magst du es selbst mal probieren?
Gruß, Diophant
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:44 Sa 10.12.2011 | | Autor: | JackRed |
Danke für deine Antwort.
Ja, die Beschränktheit macht schon einen Unterschied, nur sehe ich jetzt noch nicht, wo mir die was bringt.
Am Epsilon-Delta-Kriterium habe ich mich schon versucht. Scheiter aber sofort dran, weil ich nichts Handfestes hab, wo ich mir irgendwie zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein passendes [mm] \delta [/mm] zusammenreimen kann. Diese etwas allgemeinere Definition der Funktion macht mir zu schaffen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Antwort.
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> Ja, die Beschränktheit macht schon einen Unterschied, nur
> sehe ich jetzt noch nicht, wo mir die was bringt.
> Am Epsilon-Delta-Kriterium habe ich mich schon versucht.
> Scheiter aber sofort dran, weil ich nichts Handfestes hab,
> wo ich mir irgendwie zu jedem [mm]\epsilon[/mm] ein passendes [mm]\delta[/mm]
> zusammenreimen kann. Diese etwas allgemeinere Definition
> der Funktion macht mir zu schaffen.
erstmal vorneweg: Wenn [mm] $f:\IR \to [a,b]\,,$ [/mm] mit [mm] $-\infty [/mm] < a [mm] \le [/mm] b < [mm] \infty$ [/mm] für reelle [mm] $a,b\,,$ [/mm] dann steckt da eigentlich schon implizit die Beschränktheit von [mm] $f\,$ [/mm] mit drin. Gemeint war sicher, dass $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] betrachtet wird.
Aber die Existenz von [mm] $\inf [/mm] f$ und [mm] $\sup [/mm] f$ (wobei dabei auch gemeint ist, dass beide [mm] $\in \IR$ [/mm] gelegen seien) ist hier auch das gleiche wie die Beschränktheit von $|f|$ nach oben. Daher verstehe ich Diophants Einwand auch nicht.
Und nun zur Aufgabe:
Wenn $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] sein soll, wovon ich ausgehe, da da [mm] $f(x_1+x_2)\ge f(x_1)+f(x_2)$ [/mm] für alle [mm] $x_{1,2} \blue{\in [a,b]}$ [/mm] gefordert wird:
Irgendwas fehlt da (oder irgendwo ist ein "Drehwurm" drin oder es fehlen Bedingungen an $[a,b]$ (etwa sowas wie $a [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] b$) oder oder oder ...). Ist nämlich etwa [mm] $f:[1,\,2] \to \IR\,,$ [/mm] so gibt es keine Forderung an jedes $1 < x < [mm] 2\,.$ [/mm]
Denn: Jedes $1 < x < 2$ läßt sich nicht als Summe zweier Zahlen aus $[1,2]$ schreiben: Wäre dem doch so, so gäbe es
[mm] $$x_{1,2} \in [/mm] [1,2]$$
mit
$$1 < [mm] x=x_1+x_2 [/mm] < [mm] 2\,,$$
[/mm]
während jedoch aus [mm] $x_{1,2} \ge [/mm] 1$ dann [mm] $x_1+x_2=x \ge [/mm] 2$ folgte. Es wäre also
$$x < 2 [mm] \le [/mm] x$$
und damit $x < [mm] x\,.$
[/mm]
Damit darf ich also ohne weiteres [mm] $f:=1_{\IQ \cap [1,2]}\,,$
[/mm]
also
$$f:[1,2] [mm] \to \{0,1\}$$
[/mm]
mit
$$f(x):=1 [mm] \text{ fuer alle }x \in \IQ \cap [/mm] [1,2] [mm] \text{ und }f(x):=0 \text{ fuer alle }x \in [/mm] [1,2] [mm] \setminus \IQ$$
[/mm]
betrachten.
(Korrektur: Wie man meiner anderen Mitteilung entnimmt, stimmt das so noch nicht ganz. Ich nehme fast die gleiche Funktion: D.h. ich definiere [mm] $f(2)\,$ [/mm] so um, dass $f(2) [mm] \ge [/mm] 2=1+1=f(1)+f(1)$ ist - denn in der Tat ist $2=1+1$ und daher muss [mm] $f\,$ [/mm] die Eigenschaft $f(2) [mm] \ge f(1)+f(1)\,$ [/mm] haben:
D.h. ich kann etwa [mm] $f:=1_{\IQ \cap [1,2)}$ [/mm] auf [mm] $[1,2)\,$ [/mm] und $f(2):=2$ betrachten. Das ist ein geeignetes Gegenbeispiel!)
[mm] $f\,$ [/mm] erfüllt alle Forderungen (die Beschränktheit ist klar, und Forderungen an die $x [mm] \in [/mm] [1,2]$ gibt es ja (bis auf die, die in der Korrektur steht) keine!), ist aber überall auf $]1,2[=(1,2)$ unstetig.
Also: Kontrolliere und ggf. vervollständige die Aufgabenstellung.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Sa 10.12.2011 | | Autor: | JackRed |
Ups, ja tut mir Leid. Es soll in der Tat [mm] [a,b]\to\IR [/mm] heißen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Sa 10.12.2011 | | Autor: | JackRed |
Hat jemand noch einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 So 11.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hat jemand noch einen Tipp für mich?
ja, s.o., wobei ich etwas korrigieren muss:
Betrachte die auf [mm] $[1,2]\,$ [/mm] definierte Funktion [mm] $f:=1_{\IQ \cap [1,2)}$ [/mm] auf $[1,2)$ mit zusätzlich $f(2):=2$ d.h.
[mm] $$f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [1,2) \cap \IQ \\ 0, & \mbox{für } x \in [1,2[\setminus \IQ \\ 2, & \text{für }x=2\end{cases}\,,$$
[/mm]
erfüllt alle Voraussetzungen:
Für alle [mm] $x_1, x_2 \in [/mm] [1,2]$ (anders gesagt: Für alle Paare [mm] $(x_1,x_2) \in [/mm] [1,2] [mm] \times [/mm] [1,2]$) ist [mm] $f(x_1+x_2) \ge f(x_1)+f(x_2)\,,$ [/mm] denn: Wäre dem nicht so, so gäbe es [mm] $x_1, x_2 \in [/mm] [1,2]$ mit [mm] $f(x_1+x_2)
Und es ist
$$f(2)=2 [mm] \ge 2=1+1=f(1)+f(1)\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $\text{Bild}(f)=\{0,1,2\}$ [/mm] ist natürlich [mm] $f\,$ [/mm] beschränkt. Aber [mm] $f\,$ [/mm] ist auf [mm] $(1,2)=]1,2[\,$ [/mm] an keiner Stelle stetig.
Also ist die Behauptung falsch!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 13.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> > Beschränktheit sagt mir nur, dass es ein Wert gibt, der
> > größer als |f(x)| ist, für alle [mm]x\in[a,b].[/mm] Ich weiß nur
> > nicht wie ich die Stetigkeit zeigen soll...
>
> also: mit Beschränkt müsste hier meiner Ansicht nach
> gemeint sein, dass f sowohl Supremum als auch Infimum
> besitzt. Das macht schon einen großen Unterschied.
wo soll das einen großen Unterschied machen? Wenn [mm] $|f(x)|\le [/mm] M$ (mit $M [mm] \in \IR$ [/mm] und $M < [mm] \infty$) [/mm] ist, dann folgt natürlich
$$-M [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] M$$
für alle [mm] $x\,$ [/mm] und wegen der Vollständigkeit von [mm] $\IR$ [/mm] (der Zielbereich von [mm] $f\,$ [/mm] ist ja [mm] $\IR\,;$ [/mm] gemeint war oben nämlich sicher $f:[a,b] [mm] \to \IR$) [/mm] gibt es dann auch [mm] $\sup [/mm] f [mm] \le [/mm] M < [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $-\infty [/mm] > -M [mm] \ge \inf f\,.$
[/mm]
Ist umgekehrt die Existenz von [mm] $\sup [/mm] f$ und [mm] $\inf [/mm] f$ gegeben, dann ist
$$|f(x)| [mm] \le [/mm] M$$
für alle [mm] $x\,,$ [/mm] wobei [mm] $M:=\max\{|\inf f|\,, |\sup f|\}\,.$
[/mm]
Ergo macht das keinen Unterschied.
Gruß,
Marcel
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