Stetigkeit delta bestimmen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Mi 02.07.2008 | | Autor: | MissRHCP |
| Aufgabe | Finden Sie zu den folgendne Funktionen f: [mm] D->\IR [/mm] zu vorgegebenem [mm] \varepsilon>0 [/mm] jeweils ein [mm] \delta>0, [/mm] so dass für alle [mm] x,y\inD [/mm] aus [mm] |x-y|<\delta [/mm] die Ungleichung [mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon [/mm] folgt.
a) [mm] f(x)=2*x^{2}, [/mm] D=[1;2]
[mm] b)f(x)=\bruch{1}{x}, D=\{x\in\IR|x\ge\bruch{1}{2}\} [/mm] |
[mm] \vardelta [/mm] darf dabei nicht von x und y abhängig sein, da ja sonst [mm] \vardelta [/mm] von [mm] x_{0}abhängen [/mm] darf
zu a)
es soll gelten:
[mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw |2*x^{2}-2*y^{2}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw 2*|x^{2}-y^{2}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw |(x+y)(x-y)|<\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
[mm] \delta\le|x-y| [/mm] also können wir sagen [mm] \delta=|x-y|
[/mm]
weiter komme ich nicht...wie bekomme ich x+y aus der Gleichung?
zu b)
es soll gelten:
[mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw|\bruch{x-y}{x*y}|<\varepsilon
[/mm]
wie komme ich weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Mi 02.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Du solltest berücksichtigen, dass x undy im Intervall [1,2] liegen.
Dann
|f(x) - f(y)| = 2(x+y)|x-y| <_ 2(2+2)|x-y| = 8|x-y| < [mm] \varepsilon [/mm] .
Jetzt siehst Du, dass Du [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] /8 wählen kannst.
Zu b) Du hast, wegen x,y in D: 1/(xy) <_ 4,also
|f(x) - f(y)| = $ [mm] |\bruch{x-y}{x\cdot{}y}| [/mm] $ <_ 4|x-y| < [mm] \varepsilon [/mm] .
also [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] /4
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Mi 02.07.2008 | | Autor: | MissRHCP |
bei b ist doch aber [mm] D=\{x\in\IR|x\ge\bruch{1}{2}\}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 02.07.2008 | | Autor: | MissRHCP |
bei b ist doch aber $ [mm] D=\{x\in\IR|x\ge\bruch{1}{2}\} [/mm] $...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mi 02.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Ja, nimm xund y aus D. Dann ist xy>_ 1/4, also 1/(xy) <_ 4.
FRED
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