Stetigkeit der Umkehrfunktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] stetige und bijektive Funktion. Zeige, dass dann auch die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] stetig ist. |
Also, ich habe:
f stetig
[mm] \Rightarrow \forall x_{0} \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] : [mm] |x-x_{o}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon
[/mm]
f bijektiv
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist monoton
Ich soll zeigen:
[mm] \forall x_{0} \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] : [mm] |f(x)-f(x_{o})|<\delta \Rightarrow |x-x_{0}|<\varepsilon.
[/mm]
Anschaulich ist mir das total klar. -> Wenn ich praktisch einen "Kasten" um einen Teil meines Funktionsgraphen lege, der [mm] \varepsilon [/mm] hoch ist und [mm] \delta [/mm] breit ist, diesen dann "umdrehe", also ihn praktisch umgedreht auf die Umkehrfunktion lege, dann ist der immernoch zur Seite und nach oben beschränkt, aber nun halt durch [mm] \delta [/mm] nach oben und [mm] \varepsilon [/mm] in der Breite.
Aber das mit mathematischen Formeln zu beweisen fällt mir gerade total schwer...
Vielleicht muss ich auch einfach mal die Nacht drüber schlafen, aber über den ein oder anderen Tipp würde ich mich trotzdem sehr freuen!
Gute Nacht!
Gruß
broergoer
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> f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] stetige und bijektive Funktion. Zeige, dass
> dann auch die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}[/mm] stetig ist.
> Also, ich habe:
>
> f stetig
>
> [mm]\Rightarrow \forall x_{0} \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0[/mm]
> : [mm]|x-x_{o}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon[/mm]
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> f bijektiv
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist monoton
>
> Ich soll zeigen:
>
> [mm]\forall x_{0} \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0[/mm]
> : [mm]|f(x)-f(x_{o})|<\delta \Rightarrow |x-x_{0}|<\varepsilon.[/mm]
>
> Anschaulich ist mir das total klar. -> Wenn ich praktisch
> einen "Kasten" um einen Teil meines Funktionsgraphen lege,
> der [mm]\varepsilon[/mm] hoch ist und [mm]\delta[/mm] breit ist, diesen dann
> "umdrehe", also ihn praktisch umgedreht auf die
> Umkehrfunktion lege, dann ist der immernoch zur Seite und
> nach oben beschränkt, aber nun halt durch [mm]\delta[/mm] nach oben
> und [mm]\varepsilon[/mm] in der Breite.
>
> Aber das mit mathematischen Formeln zu beweisen fällt mir
> gerade total schwer...
>
> Vielleicht muss ich auch einfach mal die Nacht drüber
> schlafen, aber über den ein oder anderen Tipp würde ich
> mich trotzdem sehr freuen!
Guten Morgen! Ich würde an Deiner Stelle Stetigkeit von [mm] $f^{-1}$ [/mm] an der Stelle [mm] $y_0=f(x_0)$ [/mm] mittels Nachweis von [mm] $\lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)$ [/mm] zeigen:
[mm]\lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=\lim_{x\rightarrow x_0}f^{-1}(f(x))=\lim_{x\rightarrow x_0}x=x_0=f^{-1}(y_0)[/mm]
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