Stetigkeit der part. Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Mi 17.09.2014 | | Autor: | Lisa641 |
| Aufgabe | f: [mm] \IR^{2} \to \IR,
[/mm]
[mm] f((x_{1},x_{2}))=\begin{cases} \bruch{x_{1}^{3}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , & \mbox{für } (x_{1},x_{2}) \mbox{ ungleich 1} \\ 0, & \mbox{für } (x_{1},x_{2}) \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Untersuchen Sie die partiellen Ableitungen der Funktion auf Stetigkeit. |
Hallo, ich sitze an dieser Aufgabe, die wir im Tutorium gelöst haben und versuche sie gerade nachzuvollziehen.
Die Stetigkeit in [mm] (x_{1},x_{2}) \not= [/mm] 0 ist mir klar.
Doch für den Fall [mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] = 0 verstehe ich die Lösung nicht.
[mm] D_{1}f \vektor{0 \\ 0} [/mm] = 1 und [mm] D_{2}f \vektor{0 \\ 0} [/mm] = 0 wurden vorher bestimmt.
Um die Stetikeit in diesen Ableitungen zu überprüfen, wurden Nullfolgen gewählt (das Folgenkriterium wird angewendet).
[mm] D_{1}f: [/mm] Die Folge [mm] x_{n}= \vektor{0 \\ \bruch{1}{n}} [/mm] konvegiert für n gegen unendlich gegen 0, aber [mm] D_{1}f(x_{n}) [/mm] = 0 [mm] \not= D_{1}f \vektor{0 \\ 0} [/mm] = 1
Also [mm] D_{1}f [/mm] nicht stetig in 0.
[mm] D_{2}f: [/mm] Die Folge [mm] x_{n}= \vektor {\bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{n}} [/mm] konvegiert für n gegen unendlich gegen 0, aber [mm] D_{2}f(x_{n}) [/mm] gegen [mm] \bruch{-1}{2} \not= D_{2}f \vektor{0 \\ 0} [/mm] = 0
Also [mm] D_{2}f [/mm] nicht stetig in 0.
Meine Frage wäre nun:
Wieso wurde für [mm] D_{1}f [/mm] die Folge [mm] x_{n}= \vektor{0 \\ \bruch{1}{n}} [/mm] gewählt und für [mm] D_{2}f [/mm] die Folge [mm] x_{n}= \vektor {\bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{n}}? [/mm] Woher sehe ich das?
Weil, wenn ich für [mm] D_{1}f [/mm] die Folge [mm] x_{n}= \vektor{\bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{n}} [/mm] wähle -genauso wie bei [mm] D_{2}f- [/mm] habe ich raus, dass die Folge stetig ist.
Genau das selbe gilt auch für [mm] D_{2}f. [/mm] Wenn ich dort die Folge [mm] x_{n}= \vektor{\bruch{1}{n} \\ 0} [/mm] wähle - genauso wie bei [mm] D_{1}f [/mm] - habe ich ebenfalls die Stetigkeit in 0 gegeben.
Danke für Eure Hilfe!
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Hallo,
> f: [mm]\IR^{2} \to \IR,[/mm]
>
> [mm]f((x_{1},x_{2}))=\begin{cases} \bruch{x_{1}^{3}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , & \mbox{für } (x_{1},x_{2}) \mbox{ ungleich \red{1}} \\ 0, & \mbox{für } (x_{1},x_{2}) \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
Du meinst. [mm](x_1,x_2)\neq \red{(0,0)}[/mm]
> Untersuchen Sie die partiellen Ableitungen der Funktion auf
> Stetigkeit.
> Hallo, ich sitze an dieser Aufgabe, die wir im Tutorium
> gelöst haben und versuche sie gerade nachzuvollziehen.
>
> Die Stetigkeit in [mm](x_{1},x_{2}) \not=[/mm] 0 ist mir klar.
>
> Doch für den Fall [mm](x_{1},x_{2})[/mm] = 0 verstehe ich die
> Lösung nicht.
>
> [mm]D_{1}f \vektor{0 \\ 0}[/mm] = 1 und [mm]D_{2}f \vektor{0 \\ 0}[/mm] = 0
> wurden vorher bestimmt.
>
> Um die Stetikeit in diesen Ableitungen zu überprüfen,
> wurden Nullfolgen gewählt (das Folgenkriterium wird
> angewendet).
>
> [mm]D_{1}f:[/mm] Die Folge [mm]x_{n}= \vektor{0 \\ \bruch{1}{n}}[/mm]
> konvegiert für n gegen unendlich gegen 0
genauer: gegen [mm](0,0)^T[/mm]
Ich lassen im weitern das T=transponiert weg ...
> , aber
> [mm]D_{1}f(x_{n})[/mm] = 0 [mm]\not= D_{1}f \vektor{0 \\ 0}[/mm] = 1
> Also [mm]D_{1}f[/mm] nicht stetig in 0.
in [mm](0,0)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]D_{2}f:[/mm] Die Folge [mm]x_{n}= \vektor {\bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{n}}[/mm]
> konvegiert für n gegen unendlich gegen 0, aber
> [mm]D_{2}f(x_{n})[/mm] gegen [mm]\bruch{-1}{2} \not= D_{2}f \vektor{0 \\ 0}[/mm]
> = 0
> Also [mm]D_{2}f[/mm] nicht stetig in 0.
Jo
>
>
> Meine Frage wäre nun:
>
> Wieso wurde für [mm]D_{1}f[/mm] die Folge [mm]x_{n}= \vektor{0 \\ \bruch{1}{n}}[/mm]
> gewählt und für [mm]D_{2}f[/mm] die Folge [mm]x_{n}= \vektor {\bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{n}}?[/mm]
Weil die beiden Folgen passen!
> Woher sehe ich das?
Probieren ...
Man nimmt sich meist einfache Folgen her und testet ein wenig ...
Da gibt's kein Patentrezept.
Sicher tun es auch andere Folgen...
Suche mal 2 andere Folgen, die dir die Stetigkeit kaputt machen
>
> Weil, wenn ich für [mm]D_{1}f[/mm] die Folge [mm]x_{n}= \vektor{\bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{n}}[/mm]
> wähle -genauso wie bei [mm]D_{2}f-[/mm] habe ich raus, dass die
> Folge stetig ist.
> Genau das selbe gilt auch für [mm]D_{2}f.[/mm] Wenn ich dort die
> Folge [mm]x_{n}= \vektor{\bruch{1}{n} \\ 0}[/mm] wähle - genauso
> wie bei [mm]D_{1}f[/mm] - habe ich ebenfalls die Stetigkeit in 0
> gegeben.
Nein, wenn eine der partiellen Ableitungen in [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] stetig wäre, müsste für jede(!!!) Folge [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0)[/mm] gelten, dass [mm]\lim\limits_{n\to\infty}D_if(x_n,y_n)=D_if(0,0)[/mm] ist.
Im Umkehrschluss bedeutet das:
Wenn du auch nur eine einzige Nullfolge finden kannst, bei der [mm]D_if(x_n,y_n)[/mm] nicht gegen [mm]D_if(0,0)[/mm] konvergiert, dann kann [mm]D_if[/mm] in [mm](0,0)[/mm] nicht stetig sein ...
Man benutzt ja in der Regel das Folgenkriterium in seiner Kontrapositionsaussage, um Stetigkeit zu widerlegen
Um Stetigkeit zu zeigen, eignet es sich i.d.R. nicht so gut, weil du sehr sehr sehr viele Folgen betrachten müsstest 
>
>
> Danke für Eure Hilfe!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mi 17.09.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Danke für die Antwort!
So macht es natürlich Sinn.
Aber wenn ich die Stetigkeit zeigen will mit dem Folgenkriterium, kann ich dann auch von allg. Nullfolgen ausgehen ohne diese fest zu wählen ? Also einfach sagen [mm] x_{n} [/mm] und [mm] y_{n} [/mm] sind Nullfolgen, und diese anschließend in meine gegebene Funktion einsetzen und gucken was passiert für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ?
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Hallo nochmal,
> Danke für die Antwort!
> So macht es natürlich Sinn.
>
> Aber wenn ich die Stetigkeit zeigen will mit dem
> Folgenkriterium, kann ich dann auch von allg. Nullfolgen
> ausgehen ohne diese fest zu wählen ? Also einfach sagen
> [mm]x_{n}[/mm] und [mm]y_{n}[/mm] sind Nullfolgen,
Wir sind ja im [mm]\IR^2[/mm], also finde ich es von der Notation her klarer zu sagen:
Nullfolgen [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm]
Wobei Konvergenz gegen 0 hier natürlich Konvergenz gegen den Nullvektor [mm](0,0)[/mm] meint, also
Nullfolge: [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0)[/mm]
> und diese anschließend in
> meine gegebene Funktion einsetzen und gucken was passiert
> für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ?
Vom Prinzip her ja, aber hier musst du ja aufpassen, da du einen Bruch hast.
Hier bekommt man viele unbestimmte Ausdrücke [mm]0/0[/mm], die sich verschieden verhalten können; das zeigen ja die gewählten Folgen ...
Gruß
schachuzipus
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