Stetigkeit einer Abbildung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Disap |
| Aufgabe | Aufgabe: Die Abbildung [mm] $\langle [/mm] ; [mm] \rangle [/mm] : X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \mathbb{K}$ [/mm] ist stetig
Beweis:
[mm] $|\langle [/mm] x,y [mm] \rangle [/mm] - [mm] \langle [/mm] x' , y' [mm] \rangle|$
[/mm]
$= [mm] |\langle [/mm] x-x' , y [mm] \rangle [/mm] - [mm] \langle [/mm] x' , y'-y [mm] \rangle [/mm] |$
[mm] $\le |\langle [/mm] x-x' , y [mm] \rangle| [/mm] - [mm] |\langle [/mm] x' , y'-y [mm] \rangle [/mm] |$
[mm] $\le ||y||\cdot [/mm] ||x-x'|| + [mm] ||x'||\cdot [/mm] ||y'-y|| \ \ \ \ \ [mm] \Box$
[/mm]
|
Hallo zusammen. Zunächst einmal Danke für euer Interesse an meiner Frage.
Kann mir jemand verraten, was das Argument hierei ist, um die Stetigkeit zu folgern?
Außerdem verstehe ich nicht, warum gerade
[mm] $|\langle [/mm] x,y [mm] \rangle [/mm] - [mm] \langle [/mm] x' , y' [mm] \rangle|$ [/mm]
betrachtet wurde. Analog müsste der Beweis auch mit [mm] $|\langle [/mm] x,y [mm] \rangle \red{+} \langle [/mm] x' , y' [mm] \rangle|$ [/mm] funktionieren, oder?
Und was mir auch unklar ist, wieso muss man erst
[mm] $\le |\langle [/mm] x-x' , y [mm] \rangle| [/mm] - [mm] |\langle [/mm] x' , y'-y [mm] \rangle [/mm] |$ herleiten und kann nicht direkt die Dreiecksungleichung anwenden, d. h.
[mm] $|\langle [/mm] x,y [mm] \rangle [/mm] - [mm] \langle [/mm] x' , y' [mm] \rangle|$
[/mm]
[mm] $\le |\langle [/mm] x,y [mm] \rangle| [/mm] + [mm] |\langle [/mm] x' , y' [mm] \rangle|$
[/mm]
[mm] $\le| [/mm] |x||*||y|| + ||x'||*||y'||$
Falls das Argument für die Stetigkeit tatsächlich die Beschränktheit war - die ist hier doch auch vorhanden?
Viele Grüße & Besten Dank für eure Zeit,
Disap
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Disap,
> Aufgabe: Die Abbildung [mm]\langle ; \rangle : X \times X \to \mathbb{K}[/mm]
> ist stetig
>
> Beweis:
>
> [mm]|\langle x,y \rangle - \langle x' , y' \rangle|[/mm]
>
> [mm]= |\langle x-x' , y \rangle - \langle x' , y'-y \rangle |[/mm]
>
> [mm]\le |\langle x-x' , y \rangle| - |\langle x' , y'-y \rangle |[/mm]
>
> [mm]\le ||y||\cdot ||x-x'|| + ||x'||\cdot ||y'-y|| \ \ \ \ \ \Box[/mm]
> Hallo zusammen. Zunächst einmal Danke für euer Interesse
> an meiner Frage.
>
> Kann mir jemand verraten, was das Argument hierei ist, um
> die Stetigkeit zu folgern?
das Argument wäre z.B. die Folgenstetigkeit:
[mm] $\langle [/mm] ; [mm] \rangle$ [/mm] ist genau dann stetig in $(x',y') [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$, wenn für alle Folgen [mm] $\big((x_n,y_n)\big)_n$ [/mm] mit [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (x',y')$ gilt, dass [mm] $\langle x_n; y_n\rangle \to \langle [/mm] x'; [mm] y'\rangle$ [/mm] folgt.
(Bemerkung: Hierbei ist die Notation [mm] $\langle [/mm] x';y' [mm] \rangle$ [/mm] - wie üblich, definiert als [mm] $\langle [/mm] ; [mm] \rangle(x',y')$ [/mm] bzw. noch genauer eigentlich [mm] $\langle [/mm] ; [mm] \rangle((x',y'))$.)
[/mm]
Nun gilt - da der Raum [mm] $(X,\|.\|)$ [/mm] normiert ist - halt [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (x',y')$ genau dann, wenn [mm] $\|(x_n-x',y_n-y')\| \to [/mm] 0$ (hier siehst Du auch, warum dort oben Minus gerechnet wird). (Bemerkung: Eigentlich könnte man hier auch erwähnen, mit welcher Norm $X [mm] \times [/mm] X$ ausgestattet sein soll. Ist Dir klar, mit welcher $X [mm] \times [/mm] X$ wohl ausgestattet sein soll?)
Sei also $(x',y') [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ beliebig, aber fest. Sei [mm] $\big((x_n,y_n)\big)_n$ [/mm] eine Folge in $X [mm] \times [/mm] X$ mit [mm] $(x_n,y_n) \to (x',y')\,.$ [/mm] Dann gilt schonmal [mm] $\|x_n-x'\| \to [/mm] 0$ und auch [mm] $\|y_n [/mm] - [mm] y'\| \to 0\,.$ [/mm]
Damit Du einen besseren Überblick hast, definiere ich $f: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IK$ [/mm] durch [mm] $f((x,y)):=f(x,y):=\langle [/mm] x;y [mm] \rangle$ [/mm] für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] X [mm] \times X\,.$
[/mm]
Zu zeigen wäre also, dass nun [mm] $f(x_n,y_n) \to [/mm] f(x',y')$ folgt. Es gilt aber [mm] $f(x_n,y_n) \to [/mm] f(x',y')$ genau dann, wenn [mm] $|f(x_n,y_n)-f(x',y')| \to [/mm] 0$ gilt. Nun sind aber [mm] $\|x'\|$ [/mm] und [mm] $\|y'\|$ [/mm] beides feste Zahlen in [mm] $[0,\infty),$ [/mm] (weil $(x',y') [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ zwar beliebig, aber fest ist) und mit der obigen Rechnung folgt
[mm] $$|f(x_n,y_n)-f(x',y')| \le \|x'\|*\|x_n-x'\|+\|y'\|*\|y_n-y'\|,\,$$
[/mm]
und damit
[mm] $$|f(x_n,y_n)-f(x',y')| \to \|x'\|*0+\|y'\|*0=0+0=0\,.$$
[/mm]
Das zeigt die Stetigkeit von [mm] $f=\langle;\rangle\,$ [/mm] in [mm] $(x',y'),\,$ [/mm] und weil $(x',y') [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ beliebig war, die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] auf $X [mm] \times X\,.$
[/mm]
> Außerdem verstehe ich nicht, warum gerade
>
> [mm]|\langle x,y \rangle - \langle x' , y' \rangle|[/mm]
>
> betrachtet wurde. Analog müsste der Beweis auch mit
> [mm]|\langle x,y \rangle \red{+} \langle x' , y' \rangle|[/mm]
> funktionieren, oder?
>
> Und was mir auch unklar ist, wieso muss man erst
> [mm]\le |\langle x-x' , y \rangle| - |\langle x' , y'-y \rangle |[/mm]
> herleiten und kann nicht direkt die Dreiecksungleichung
> anwenden, d. h.
>
> [mm]|\langle x,y \rangle - \langle x' , y' \rangle|[/mm]
>
> [mm]\le |\langle x,y \rangle| + |\langle x' , y' \rangle|[/mm]
>
> [mm]\le| |x||*||y|| + ||x'||*||y'||[/mm]
>
> Falls das Argument für die Stetigkeit tatsächlich die
> Beschränktheit war - die ist hier doch auch vorhanden?
Vielleicht sind damit ja auch alle Fragen schon beantwortet?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 So 19.07.2009 | | Autor: | Disap |
Moin Marcel.
Herzlichen Dank für deine tolle Antwort. Jetzt ist mir alles klar
> Vielleicht sind damit ja auch alle Fragen schon beantwortet?
Ja, das sind sie. Ich war da auf der vollkommen falschen Spur, aber dank dir bin ich jetzt auf dem richtigen Weg. :)
Beste Grüße
Disap
|
|
|
|
