Stetigkeit einer Abbildung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Fr 01.10.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo,
Ich definiere:
[mm] l^1 := \{ (x_n)_{n \in \IN} | \summe |x_n| < \infty \} [/mm], des weiteren $\ C[0,1]$ der Raum der stetigen Funktionen auf $\ [0,1]$. Mit der normalen Metrik, welche durch [mm] ||f|| :=\sup_{x \in [0,1]}{|f(x)|} [/mm] induziert wird. Auf $\ [mm] l^1$ [/mm] habe ich die Metrik welche durch die Norm
[mm] ||a_n|| := \summe |a_n | [/mm]
induziert wird. Nun habe ich eine Abbildung $\ F: [mm] l^1 \to [/mm] C[0,1], [mm] F((c_n)) \mapsto \summe c_n x^n$
[/mm]
Ich möchte nun zeigen, dass F stetig ist. Ich dachte, am einfachsten sei dies mit $\ [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta$ [/mm] Kriterium:
Sei [mm] \epsilon > 0,(a_n), (b_n) \in l^1, d((a_n),(b_n)) < \delta \gdw \summe |a_n - b_n | < \delta \Rightarrow d(F((a_n)),F((b_n))) < \epsilon \gdw d(h,g) < \epsilon \gdw \sup_{x\in [0,1]}{|h(x)-g(x)|} < \epsilon \gdw \sup_{x\in [0,1]}{|\summe (a_n-b_n)x^n|} < \epsilon [/mm] Und jetzt hätte ich folgendes getan (brauche ja eine Abschätzung für $\ [mm] \delta$ [/mm] in Abhängigkeit von $\ [mm] \epsilon,x$.
[/mm]
[mm] \sup_{x\in [0,1]}{|\summe(a_n-b_n)x^n|} \le \sup_{x\in [0,1]}{\summe |(a_n-b_n)||x^n|} \le \sup_{x\in [0,1]}{\summe \delta |x^n|} [/mm]. Aber wie weiter? Der letzte Term sollte ja kleiner als $\ [mm] \epsilon [/mm] $ sein. Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das nicht stimmen kann, was ich mach. Ich danke für die Hilfe
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Hallo physicus,
Du hast wohl nur ein Summenzeichen zu viel:
statt
[mm] $\sup_{x\in [0,1]}{\sum |(a_n-b_n)||x^n|} \le \sup_{x\in [0,1]}{\sum \delta |x^n|} [/mm] $
gilt:
[mm] $\sup\limits_{x\in [0,1]}{\sum |(a_n-b_n)||x^n|} \le \delta [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $, falls [mm] $\delta [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $
LG mathfunnel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Sa 02.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Mach Dir klar, daas F linear ist.
Sei [mm] (c_n) \in l^1 [/mm] gegeben. Setze f(x):= [mm] \summe c_n x^n
[/mm]
Dann: $|f(x)| [mm] \le \summe |c_n x^n| \le \summe |c_n|= ||(c_n)||$ [/mm] für x in [0,1],
also : $||f|| [mm] \le ||(c_n)||$ [/mm] und somit:
[mm] $||F((c_n))|| \le ||(c_n)||$
[/mm]
FRED
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