Stetigkeit einer Betragsfkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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f(x):=2x-1-|x-2|
[mm] f(x)=\begin{cases} 2x-1-(x-2), & \mbox{für } x \ge 2 \\ 2x-1-(2-x), & \mbox{für } x \mbox{ < 2} \end{cases}
[/mm]
Gezeigt werden soll, dass f(x) bei x=2 unstetig ist. Zwei Möglichkeiten fallen mir dazu ein:
1.
für x<2:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2} (2x-1-2+x) = \limes_{x\rightarrow\ 2} (3x-3) = 3[/mm] !?
für x>2:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2} (2x-1+2-x) = \limes_{x\rightarrow\ 2} (x+1) = 3[/mm] !?
Die 3 kann ja wohl nicht stimmen und mit dem Taschenrechner ausprobieren und einmal 1,99999999 und einmal 2,000000001 einzusetzen kann ja auch keine Lösung sein. Wie rechnet man die obigen Grenzwerte aus? Der Funktionswert ist an der Stelle ja auch 3, d.h. die Funktion wäre stetig!?
2. Eine andere Argumentation wäre vielleicht einfach die 1. Ableitung zu bilden: 2-1=1; 2+1=3; unterschiedliche Steigung => muss einen "Knick" machen...
Danke im Voraus.
chris2000
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 So 09.01.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Chris
> f(x):=2x-1-|x-2|
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> [mm]f(x)=\begin{cases} 2x-1-(x-2), & \mbox{für } x \ge 2 \\ 2x-1-(2-x), & \mbox{für } x \mbox{ < 2} \end{cases}
[/mm]
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>
> Gezeigt werden soll, dass f(x) bei x=2 unstetig ist. Zwei
> Möglichkeiten fallen mir dazu ein:
>
> 1.
> für x<2:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2} (2x-1-2+x) = \limes_{x\rightarrow\ 2} (3x-3) = 3[/mm]
> !?
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> für x>2:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2} (2x-1+2-x) = \limes_{x\rightarrow\ 2} (x+1) = 3[/mm]
> !?
>
> Die 3 kann ja wohl nicht stimmen und mit dem Taschenrechner
> ausprobieren und einmal 1,99999999 und einmal 2,000000001
> einzusetzen kann ja auch keine Lösung sein. Wie rechnet man
> die obigen Grenzwerte aus? Der Funktionswert ist an der
> Stelle ja auch 3, d.h. die Funktion wäre stetig!?
>
>
> 2. Eine andere Argumentation wäre vielleicht einfach die 1.
> Ableitung zu bilden: 2-1=1; 2+1=3; unterschiedliche
> Steigung => muss einen "Knick" machen...
>
Deine Rechnungen sind aus meiner Sicht in Ordnung ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Die Funktion ist damit stetig. Sie ist aber nicht differenzierbar, was du ja am "Knick" siehst.
Kann es sein, dass du einen Fehler in der Aufgabenstellung hast?
Gruß Sigrid
> Danke im Voraus.
>
> chris2000
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 So 09.01.2005 | | Autor: | Loddar |
... sieht man ja an der Kurve die Stetigkeit, da die Kurve ja ohne "Stift-absetzen" gezeichnet werden kann.
Loddar
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Hallo Sigrid,
zunächst mal Danke für deine schnelle Antwort.
> Deine Rechnungen sind aus meiner Sicht in Ordnung .
> Die Funktion ist damit stetig. Sie ist aber nicht
> differenzierbar, was du ja am "Knick" siehst.
> Kann es sein, dass du einen Fehler in der Aufgabenstellung
> hast?
Naja, also gegeben war nur die erste Zeile: f(x):=2x-1-|x-2|
Die Frage war allgemeiner: "für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist die folgende Funktion stetig, für welche nicht?". Aber an welcher Stelle soll ich bei den beiden Geraden denn sonst die Stetigkeit prüfen, wenn nicht eben an dem Knick!?
Demnach ist die Funktion also in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.
Gruß,
Christian
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> Gruß Sigrid
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> > Danke im Voraus.
> >
> > chris2000
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
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; wir haben in der Schule also pathologisch-unwichtige Ausnahmen behandelt ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
