Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | | [mm] f:\IR [/mm] \ [mm] \{1\} \to \IR, [/mm] f(x)= [mm] \bruch{x^n-1}{x-1}, [/mm] wobei [mm] n\in \IN [/mm] fest, aber beliebig sei; und [mm] x_{0}=1. [/mm] |
Hi!
Ich hab mal eine Frage zu dieser Aufgabe und zwar muss ich ja hier auf Stetigkeit überprüfen, dass heißt, ich muss den oberen, sowie den unteren Grenzwett bestimmen und wenn die beiden gleich sind, ist meine Funktion ja stetig. Nun habe ich durch versuchen heruagefunden, dass mein Grenzwert für [mm] x\to x_{0}, [/mm] also [mm] x\to [/mm] 1 gleich n sein muss.
Meine Frage ist allerdings, wie ich zeigen kann, dass mein Grenzwert tatsächlich n ist.
Ich hoffe, mir kann da jemand ein bisschen Licht ins Dunkel bringen. Ich habe mir sowas wie Primfaktorzerlegeung gedacht, und zwar, dass ich (x-1) im Zähler irgendwie ausklammern kann, damit sich dies kürzt. Ich komme allerdings nicht drauf, wie man das machen könnte.
Ich hoffe, ihr könnt mir da Hinweise/Tipps geben.
Ich würde mich wirklich freuen.
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mo 05.05.2014 | | Autor: | abakus |
> [mm]f:\IR[/mm] \ [mm]\{1\} \to \IR,[/mm] f(x)= [mm]\bruch{x^n-1}{x-1},[/mm] wobei [mm]n\in \IN[/mm]
> fest, aber beliebig sei; und [mm]x_{0}=1.[/mm]
> Hi!
> Ich hab mal eine Frage zu dieser Aufgabe und zwar muss ich
> ja hier auf Stetigkeit überprüfen, dass heißt, ich muss
> den oberen, sowie den unteren Grenzwett bestimmen und wenn
> die beiden gleich sind, ist meine Funktion ja stetig. Nun
> habe ich durch versuchen heruagefunden, dass mein Grenzwert
> für [mm]x\to x_{0},[/mm] also [mm]x\to[/mm] 1 gleich n sein muss.
> Meine Frage ist allerdings, wie ich zeigen kann, dass mein
> Grenzwert tatsächlich n ist.
Hallo,
für den Term [mm]\bruch{x^n-1}{x-1}[/mm] kannst du eine Polynomdivision durchführen und erhältst als Ergebnis [mm] $x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^2+x+1$.
[/mm]
Wenn x gegen 1 geht, sind das n Summanden mit dem jeweiligen Wert 1.
Aber auch ohne Polynomdivision weiß man (???), dass das eine sehr bekannte Summenformel ist.
Gruß Abakus
> Ich hoffe, mir kann da jemand ein bisschen Licht ins
> Dunkel bringen. Ich habe mir sowas wie Primfaktorzerlegeung
> gedacht, und zwar, dass ich (x-1) im Zähler irgendwie
> ausklammern kann, damit sich dies kürzt. Ich komme
> allerdings nicht drauf, wie man das machen könnte.
> Ich hoffe, ihr könnt mir da Hinweise/Tipps geben.
> Ich würde mich wirklich freuen.
>
> Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:\IR[/mm] \ [mm]\{1\} \to \IR,[/mm] f(x)= [mm]\bruch{x^n-1}{x-1},[/mm] wobei [mm]n\in \IN[/mm]
> fest, aber beliebig sei; und [mm]x_{0}=1.[/mm]
> Hi!
> Ich hab mal eine Frage zu dieser Aufgabe und zwar muss ich
> ja hier auf Stetigkeit überprüfen, dass heißt, ich muss
> den oberen, sowie den unteren Grenzwett bestimmen und wenn
> die beiden gleich sind, ist meine Funktion ja stetig. Nun
> habe ich durch versuchen heruagefunden, dass mein Grenzwert
> für [mm]x\to x_{0},[/mm] also [mm]x\to[/mm] 1 gleich n sein muss.
> Meine Frage ist allerdings, wie ich zeigen kann, dass mein
> Grenzwert tatsächlich n ist.
> Ich hoffe, mir kann da jemand ein bisschen Licht ins
> Dunkel bringen. Ich habe mir sowas wie Primfaktorzerlegeung
> gedacht, und zwar, dass ich (x-1) im Zähler irgendwie
> ausklammern kann, damit sich dies kürzt. Ich komme
> allerdings nicht drauf, wie man das machen könnte.
> Ich hoffe, ihr könnt mir da Hinweise/Tipps geben.
> Ich würde mich wirklich freuen.
Die Funktion f ist in [mm] x_0=1 [/mm] nicht definiert ! Daher ist die Frage nach der Stetigkeit von f in [mm] x_0=1 [/mm] sinnlos !
Eine sinnvolle Frage wäre:
kann man f auf [mm] \IR [/mm] stetig fortsetzen ?
Die Antwort ist "ja", falls [mm] \limes_{x\rightarrow 1}f(x) [/mm] existiert, anderenfalls "nein".
Zu [mm] \limes_{x\rightarrow 1}f(x) [/mm] hat Abakus Dir das entscheidende gesagt.
FRED
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> Viele Grüße, Petrit!
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Hallo Petrit!
Zur Bestimmung des gesuchten Grenzwertes kann man als (wenn auch etwas brutale) Alternative den Herrn de l'Hospital zu Rate ziehen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Ncht ganz so brutal wie l'Hospital ist folgender Weg:
Setzt [mm] g(x):=x^n. [/mm] Dann ist
$ [mm] \bruch{x^n-1}{x-1}=\bruch{g(x)-g(1)}{x-1} \to [/mm] g'(1)=n$ für $ x [mm] \to [/mm] 1$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Di 06.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Alles klar, super.
Vielen Dank.
Gruß Petrit!
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