Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Sa 02.05.2009 | | Autor: | scr3tchy |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=\begin{cases} x + \bruch{9}{4}, -\infty < x < -1 \\ \cosh \bruch{x}{a}, -1 < x <= 1 \\ -x + b, 1 < x < \infty \end{cases} [/mm] |
Bei der Aufgabe soll gezeigt werden, wie a und b gewählt werden müssen, damit x stetig ist...
Hoffe ihr könnt mir einen Ansatz geben wie ich da vorgehen kann....
Vielen dank schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo scr3tchy!
Betrachte an den beiden "Nahtstellen" [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -1$ sowie [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +1$ jeweils den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.
Für Stetigkeit muss hier jeweils derselbe Grenzwert entstehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Sa 02.05.2009 | | Autor: | scr3tchy |
So habe ich auch schon angefangen.....mein Problem ist jedoch...ich habe versucht den Grenzwert von cosh [mm] \bruch{x}{a} [/mm] zu berechnen....doch wie verhält sich dieser term bei x -> -1 oder 1 ...da liegt momentan mein Problem....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Berechnung von $a$:
Es gilt:
[mm] $\lim_{x\to -1,x<-1}x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$
[/mm]
Es muss also gelten:
[mm] $\lim_{x\to -1,-1
Dazu rechnen wir:
[mm] $\mathrm{cosh}\left(\frac{-1}{a}\right)=\frac{5}{4}\;\Longrightarrow\;-\frac{1}{a}=\mathrm{arcosh}\left(\frac{5}{4}\right)\;\Longrightarrow\;\frac{1}{a}=-\mathrm{arcosh}\left(\frac{5}{4}\right)\;\Longrightarrow\;a=\frac{1}{-\mathrm{arcosh}\left(\frac{5}{4}\right)}$
[/mm]
Berechnung von $b$:
Es gilt:
[mm] $\lim_{x\to 1,-1
Es muss also gelten:
[mm] $\lim_{x\to 1,x>1}-x+b=\frac{5}{4}$
[/mm]
Dazu rechnen wir:
[mm] $-1+b=\frac{5}{4}\;\Longrightarrow\;b=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}$
[/mm]
Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe, aber so dürfte es funktionieren.
Gruß Denny
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