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| Aufgabe | In welchen Punkten ist folgende Funktion stetig?
f: [mm] \IR \to \IR \quad f(x)=\bruch{1}{x^4-1}, [/mm] fuer [mm] x^2\not=1, [/mm] f(1)=1 und f(-1)=1 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[onlinemathe.de, matheboard.de,matheplanet.com]
Hallo liebe Mitglieder,
für meine Analysis-Aufgaben brauch ich ein wenig Hilfe. Bei der oben gestellten Aufgabe soll Stetigkeit gezeigt werden. Ich nehme an in den Punkten x=1 und x=-1. In der Vorlesung über Stetigkeit wurden einige Kriterien(delta-epsilon, folgenkriterium) besprochen. Nun bin ich mir nicht sicher, ob ich für diese Aufgabe eines davon verwenden soll. Und wenn ja, wie fange ich an?
Nun mal angenommen, dass [mm] \lambda-\varepsilon-kriterium [/mm] wäre mein weg:
also wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \lambda>0 [/mm] gibt, derart, dass gilt
[mm] \left|f(x)-f(a) \right|<\varepsilon [/mm] mit [mm] \left| x-a \right|<\lambda [/mm]
so muss ich also zeigen:
[mm] \left| \bruch{1}{x^4-1}- 1\right|<\varepsilon [/mm] und [mm] \left|x-1 \right|<\lambda
[/mm]
und wie soll ich diese ungleichungen nun abschätzen?
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!
richardducat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo richardducat,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Fasse innerhalb der Betragsstriche beide Terme zusammen (auf einen Bruchstrich) und wende anschließend im Nenner die 3. binomische Formel an.
Gruß
Loddar
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[mm] |\bruch{1}{x^4-1}-1|=|\bruch{x^4}{(1-x)(1+x)(1+x)^2}|<\varepsilon
[/mm]
ist das soweit korrekt?
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Hallo richardducat,
nicht ganz.
> [mm]|\bruch{1}{x^4-1}-1|=|\bruch{\red{2-}x^4}{(1-x)(1+x)(1+x)^2}|<\varepsilon[/mm]
>
> ist das soweit korrekt?
Da fehlte noch was Rotes.
Nett für Dein weiteres Vorgehen ist aber vielleicht folgende Beobachtung:
[mm] \left|\bruch{2-x^4}{(1-x)(1+x)(1+x)^2}\right|=\left|\bruch{2-x^4}{\blue{|x-1|}(1+x)(1+x)^2}\right|
[/mm]
Fällt Dir was auf? 
Die langen Betragsstriche kannst Du übrigens mit \left| bzw. \right| erzeugen.
Viel Erfolg!
reverend
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 03:03 So 06.12.2009 | | Autor: | richardducat |
ja, im Term steht [mm] \left |x-1|\right, [/mm] also genau der ausdruck der [mm] <\delta [/mm] sein soll, also:
[mm] {|\blue {x-1}|}\right\left|\bruch{2-x^4}{(1+x)(1+x)^2}\right| <\delta \left|\bruch{2-x^4}{(1+x)(1+x)^2}\right| >\varepsilon
[/mm]
aber was fange ich damit an
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so sollte es stimmen
[mm] \bruch{1}{{|\blue {x-1}|}}\right\left|\bruch{2-x^4}{(1+x)(1+x)^2}\right| >\bruch{1}{\delta} \left|\bruch{2-x^4}{(1+x)(1+x)^2}\right| >\varepsilon [/mm]
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Ja, schön.
Und was sagt Dir das? Was wolltest Du doch nochmal zeigen?
Verliere nie das Ziel aus den Augen.
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hallo reverend,
naja ich soll zeigen, dass [mm] \left| x-a \right|<\delta [/mm] für [mm] \left|f(x)-f(a) \right|<\varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 So 06.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
> naja ich soll zeigen, dass [mm]\left| x-a \right|<\delta[/mm] für
> [mm]\left|f(x)-f(a) \right|<\varepsilon[/mm]
Naja, zunächst sollte es offensichtlich sein, dass Deine Funktion in allen Punkten [mm] $x\in\IR\backslash\{-1,1\}$ [/mm] stetig ist. Es bleibt die Stetigkeit in $-1$ und $1$ zu analysieren. Wir richten unser Interesse beispielhaft dem Punkt $1$.
Folgendes müsstest Du zeigen, wenn die Funktion $f$ im Punkt $1$ stetig wäre:
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,\delta=\delta(\varepsilon)>0\;\forall\,x$ [/mm] mit [mm] $|x-1|<\delta$: $\left|f(x)-f(1)\right|<\varepsilon$
[/mm]
d.h. zu jedem beliebig gewählten [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] findest Du immer ein [mm] $\delta>0$, [/mm] das von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängt, so dass für jedes $x$, das die Bedingung [mm] $|x-1|<\delta$ [/mm] erfüllt, die Ungleichung [mm] $|f(x)-f(1)|<\varepsilon$ [/mm] gilt.
Beweis: (der Stetigkeit von $f$ in $1$)
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig aber fest. Wähle [mm] $\delta=\delta(\varepsilon):=$(musst [/mm] Du ergänzen)$>0$, dann gilt für alle $x$ mit [mm] $|x-1|<\delta$:
[/mm]
[mm] $\left|\frac{1}{x^4-1}-1\right|=\left|\frac{2-x^4}{x^4-1}\right|=\cdots\overset{\text{zu zeigen}}{<}\varepsilon$
[/mm]
Beachte: Bei der Abschätzung erfährst Du (im Allgemeinen, aber in diesem Beispiel natürlich nicht), wie genau Du das [mm] $\delta$ [/mm] wählen musst.
(!!!) Aber Deine Funktion ist in $1$ unstetig, daher wirst Du es nicht hinbekommen, dies zu zeigen. Zeige also das Gegenteil, d.h. die Unstetigkeit von $f$ in $1$, indem Du alle Quantoren umdrehst
[mm] $\exists\,\varepsilon>0\;\forall\,\delta=\delta(\varepsilon)>0\;\exists\,x$ [/mm] mit [mm] $|x-1|<\delta$: $\left|f(x)-f(1)\right|>\varepsilon$
[/mm]
Gruß Denny
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hallo denny,
du hast geschrieben ,dass die stetigkeit der funktion offensichtlich ist, bis auf die x= +-1-Werte
es reicht folglich, den plott anzuschauen und zu "sehen",dass die funktion stetig ist. Oder muss ich die stetigkeit in allen anderen punkten auch nachweisen?
gruß
richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
> hallo denny,
>
> du hast geschrieben ,dass die stetigkeit der funktion
> offensichtlich ist, bis auf die x= +-1-Werte
ja genau
> es reicht folglich, den plott anzuschauen und zu
> "sehen",dass die funktion stetig ist.
Selbstverstaendlich reicht das nicht aus! Die Feststellung, dass die von Dir betrachtete Funktion in allen Punkten [mm] $x\in\IR\backslash\{-1,1\}$ [/mm] stetig ist, erfordert natuerlich einen Beweis. Entweder fuehrst Du diesen ueber die Definition der Stetigkeit (1. Moeglichkeit) oder verwendest Dir bekannte Saetze aus der Vorlesung, z.B. Polynome sind stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] (also in jedem Punkt), [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] ist stetig in [mm] $\IR\backslash\{0\}$, [/mm] also gilt fuer die Komposition Deines Polynomes und der Funktion [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] bezueglich der Stetigkeit, dass (...)
> Oder muss ich die
> stetigkeit in allen anderen punkten auch nachweisen?
Streng genommen: Ja.
> gruß
> richard
Gruss Denny
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hallo denny,
ich möchte nocheinmal über die folgende aufgabe diskutieren:
f: [mm] \IR \to \IR \quad f(x)=\bruch{1}{x^4-1}, [/mm] fuer [mm] x^2\not=1, [/mm] f(1)=1 und f(-1)=1
angenommen ich habe unstetigkeit mittels folgen-oder delta-epsilon-krit.
für x=+-1 gezeigt.
jetzt möchte ich zeigen, dass die funktion für alle anderen x stetig ist.
ich möchte gerne das delta-epsilon-krit. verwenden (auch wenn der beweis mittles verketteter funktion deutlich einfacher wäre), weil ich es immer noch nicht so gut verstanden habe, dass ich selbständig damit umgehen kann.
ist es einen versuch wert?
gruß
richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist hier nicht zu schwer.
bilde f(x)-f(y) brings auf den Hauptnenner, beachte, dass man [mm] (y^4-x^4)schreiben [/mm] kann als (y-x)*(Polynom in x,y)
(kriegst du durch Polynomdivision). Dann noch [mm] x,y\ne [/mm] 1, -1, d.h. der Nenner ist >0 (auch da kannst du durch x+1 bzw. x-1 teilen.)
dann solltest du nen Stetigkeitsbeweis hinkriegen. probiers mal.
Gruss leduart
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[mm] \left|\frac{1}{x^4-1}-\frac{1}{y^4-1}\right|=\left|\frac{-(x+y)(x-y)(x^2+y^2)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)(y-1)(y-1)(y^2+1)}\right|<\varepsilon
[/mm]
kann ich damit weiterarbeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Di 08.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja hol x-y raus das ist ja dein Delta, schaätz den Rest ab, wenn x,y nicht zu weit auseinander sind, und schon hast du ein [mm] \delta(x,\epsilon)
[/mm]
Gruss leduart
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hallo leduart,
kann man damit etwas anfangen?
[mm] \left|\frac{1}{x^4-1}-\frac{1}{y^4-1}\right|=\left|x-y\right|\underbrace{\left|\frac{-(x+y)(x^2+y^2)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)(y-1)(y-1)(y^2+1)}\right|}_{=z}<\varepsilon \quad [/mm] fuer [mm] \quad \left|x-y\right|<\delta
[/mm]
[mm] \delta:=\frac{\epsilon}{z}
[/mm]
[mm] \left|f(x)-f(y)\right|=\left|x-y\right|*z<\frac{\epsilon}{z}*z
[/mm]
gruß
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Di 08.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
> kann man damit etwas anfangen?
>
> [mm]\left|\frac{1}{x^4-1}-\frac{1}{y^4-1}\right|=\left|x-y\right|\underbrace{\left|\frac{-(x+y)(x^2+y^2)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)(y-1)(y-1)(y^2+1)}\right|}_{=z}<\varepsilon \quad[/mm]
> fuer [mm]\quad \left|x-y\right|<\delta[/mm]
>
> [mm]\delta:=\frac{\epsilon}{z}[/mm]
>
> [mm]\left|f(x)-f(y)\right|=\left|x-y\right|*z<\frac{\epsilon}{z}*z[/mm]
Nein, das ist nicht richtig so! Denn: [mm] $\delta:=\delta(\varepsilon,x)$, [/mm] d.h. [mm] $\delta$ [/mm] darf NUR von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und $x$ abhaengen. Ersetze ich bei der Definition Deines [mm] $\delta$'s [/mm] das $z$ durch den Ausdruck, so haengt Dein [mm] $\delta$ [/mm] zusaetlich von $y$ ab und gerade das darf nicht sein. Ergo: Du musst den Ausdruck so abschaetzen, dass er keine $y$-Terme mehr enthaelt. Nur ein Ansatz (aber ich fuehre ihn nicht zu Ende und ich bin mir nicht sicher, ob er klappt)
[mm] $\left|\frac{-(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)(y-1)(y-1)(y^2+1)}\right|\leqslant\frac{\delta(2|x|+\delta)(2|x|^2+2|x|\delta+\delta^2)}{|x^4-1|\cdot |y-1|^2|y^2+1|}$
[/mm]
Im Zaehler:
[mm] $|x-y|<\delta$
[/mm]
[mm] $|x+y|=|x+x+(y-x)|\leqslant 2|x|+|y-x|<2|x|+\delta$
[/mm]
[mm] $|x^2+y^2|=|x^2+(x+(y-x))^2|=|x^2+x^2+2x(y-x)+(y-x)^2|\leqslant 2|x|^2+2|x||y-x|+|y-x|^2\leqslant 2|x|^2+2|x|\delta+\delta^2$
[/mm]
Im Nenner
[mm] $|(x-1)(x+1)(x^2+1)|=|x^4-1|$
[/mm]
Nun muessen noch die zwei $y$-Terme im Nenner abgeschaetzt werden.
> gruß
> richard
Gruss Denny
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hallo denny,
das sieht ziemlich übel aus, was du vorhast.
na schön, ich habe mal die abschätzung für [mm] (\left|y-1\right|)^2 [/mm] versucht:
[mm] (\left|y-1\right|)^2=\left|(y-1)(y+1)\right|<2|x-1|\delta+x^2-2x+\delta^2+1
[/mm]
für die abschätzung [mm] |y^2+1| [/mm] komm ich nicht weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Di 08.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
> hallo denny,
>
> das sieht ziemlich übel aus, was du vorhast.
Das liegt halt an Deinem Beispiel und da Du das [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] zum Nachweis der Stetigkeit verwenden möchtest.
> na schön, ich habe mal die abschätzung für
> [mm](\left|y-1\right|)^2[/mm] versucht:
>
> [mm](\left|y-1\right|)^2=\left|(y-1)(y+1)\right|<2|x-1|\delta+x^2-2x+\delta^2+1[/mm]
>
> für die abschätzung [mm]|y^2+1|[/mm] komm ich nicht weiter
Du hast in die falsche Richtung abgeschätzt. Du brauchst etwas wir
[mm] $\frac{1}{|y-1|}\leqslant [/mm] (...)$
[mm] $\frac{1}{|y^2+1|}\leqslant(...)$
[/mm]
Aber leider kann ich Dir hier nicht weiterhelfen, vielleicht aber jemand anders.
Gruß
Denny
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hallo,
mittlerweile habe ich bei dieser aufgabe völlig den überblick verloren.
mit welchen methoden zeige ich denn nun am schnellsten und effektivsten
in welchen Punkten meine funktion stetig ist?
herzlichen dank
gruß
richard
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Hallo Richard,
am einfachsten ist hier die Grenzwertbetrachtung für x=-1 und x=+1. Die kannst Du bei Bedarf auch noch links- und rechtsseitig ausführen, all diese Grenzwerte sind ja leicht zu finden, je zwei (die "inneren") sind [mm] -\infty [/mm] und die andern beiden ("äußeren") [mm] +\infty. [/mm] Unendlichkeit (als Funktionswert bei endlichem x o.ä.) und Stetigkeit sind grundsätzlich unverträglich. Da hilft es auch nichts, wenn jemand an der kritischen Stelle einen (wie auch immer bemessenen) endlichen Funktionswert definiert.
lg
reverend
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hallo reverend,
ich sollte also etwas in der art machen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}f(x)=\infty \not=f(1)=1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}f(x)=-\infty \not=f(1)=1
[/mm]
und wie kann ich das formal verifizieren, dass obiges gilt?
gruß
richard
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Hallo Richard,
ja, in der Art.
Die Notation ist typischerweise (nur eins der vier möglichen Beispiele):
[mm]\limes_{x\rightarrow 1_{\red{+}}}f(x)=\infty \not=f(1)=1[/mm]
oder
[mm]\limes_{x\rightarrow 1,\ \red{x>1}}}f(x)=\infty \not=f(1)=1[/mm]
> und wie kann ich das formal verifizieren, dass obiges
> gilt?
Na, Du kannst doch Grenzwertbetrachtungen, oder? Hier genügt es doch, die Funktionsdefinition hinter den Limes zu schreiben. Jeder Korrektor wird Dich verstehen.
Wenn Du es unbedingt verdeutlichen willst, schreib [mm] x^4-1 [/mm] als [mm] (x^2+1)(x+1)(x-1), [/mm] substituiere [mm] z=\bruch{1}{x-1}, [/mm] und lass z gegen [mm] \infty [/mm] laufen.
> gruß
> richard
lg
rev
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hallo reverend,
ok. ich "zerstückele" also meine funktion, wie ich es bei den folgen gemacht habe um deren grenzwert zu bestimmen?
also beispiel: [mm] a_n=\frac{n^2+n}{1+n^2}\to \frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{n^2}{n^2}}\to \frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+1}\Rightarrow \limes_{n\rightarrow \infty}a_n=1
[/mm]
und nun meine hoffentlich letzte frage zu dieser aufgabe:
reicht es laut aufgabenstellung ("in welchen punkten ist funktion stetig?")die unstetigen punkte zu zeigen, oder müssen dann alle anderen stetigen punkte auch gezeit werden? und mit welcher methode ließe sich das am schnellsten zeigen?
herzlichen dank
gruß
richard
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> hallo reverend,
>
> ok. ich "zerstückele" also meine funktion, wie ich es bei
> den folgen gemacht habe um deren grenzwert zu bestimmen?
>
> also beispiel: [mm]a_n=\frac{n^2+n}{1+n^2}\to \frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{n^2}{n^2}}\to \frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+1}\Rightarrow \limes_{n\rightarrow \infty}a_n=1[/mm]
Hallo,
hiermit kann ich (in Bezug zur Aufgabe!) nichts anfangen und folglich nichts sagen.
>
> und nun meine hoffentlich letzte frage zu dieser aufgabe:
>
> reicht es laut aufgabenstellung ("in welchen punkten ist
> funktion stetig?")die unstetigen punkte zu zeigen, oder
> müssen dann alle anderen stetigen punkte auch gezeit
> werden? und mit welcher methode ließe sich das am
> schnellsten zeigen?
Du hattest die Funktion [mm] f:\IR\to \IR [/mm] mit
[mm] f(x):=\begin{cases}\bruch{1}{x^4-1}, & \mbox{für } x\not=\pm 1 \\ 1, & \mbox{für } x=\pm 1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
auf Stetigkeit zu untersuchen.
Das bedeutet, daß am Ende für jeden Punkt des Definitionsbereiches klar sein muß, ob sie stetig ist oder nicht.
In diesem langen Thread war die Frage nach der Stetigkeit in den Punkten x= [mm] \pm [/mm] 1 schnell geklärt.
Anschließend hast Du das Wahnsinnsunternehmen begonnen, die Stetigkeit für [mm] x\in \IR [/mm] \ [mm] \{-1, 1\} [/mm] mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] nachzuweisen.
Das macht normalerweise kein Mensch, der nicht dazu gezwungen wird.
Mit einem einzigen hübschen Satz kannst Du die Stetigkeit auf [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{-1, 1\} [/mm] abhandeln: "Als Komposition stetiger Funktionen ist [mm] \bruch{1}{x^4-1} [/mm] auf ihrem Definitionsbereich stetig."
Fertig! Da muß man nicht in 'nem Wust von Termen rumzappeln und vom [mm] \varepsilon [/mm] fast stanguliert werden.
Diese vorgehensweise kannst Du Dir für Funktionen, die in Abschnitten definiert sind, merken.
Die Stetigkeit in den verbleibenden Punkten ("Nahtstellen", Ausnahmepunkte) zeigt man dann meist mit den Grenzwerten, kann's aber, wenn man Lust hat, auch mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] tun. Meist hat man keine Lust.
Gruß v. Angela
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hallo angela,
vielen dank für die ausführliche erläuterung!
gruß
richard
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etwas schöner umgeformt:
[mm] {|\blue {x-1}|}\right\left|\bruch{(1+x)(1+x)^2}{2-x^4}\right| <\delta \left|\bruch{(1+x)(1+x)^2}{2-x^4}\right| >\bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
mmh...und wie bekomm ich das auf die form [mm] \left|x-a\right|<\delta?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 08.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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