Stetigkeit einer lin Abbildung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 So 06.12.2009 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | Sei [mm] $(X,\|\cdot\|)$ [/mm] ein normierter Raum über [mm] $\IK\in\{\IR,\IC\}$ [/mm] und $f: [mm] X\to\IK$ [/mm] linear und [mm] $f\ne [/mm] 0$. Zeigen sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:
(1) f ist stetig
(2) [mm] $\ker [/mm] f$ ist abgeschlossen
(3) [mm] $\overline{\ker f}\ne [/mm] X |
Ich habe für die obige Aufgabe eine Lösung gefunden aber ich bin nicht sicher ob sie richtig ist.
Also eigentlich geht es nur um die Implikation [mm](3)\Rightarrow (1)[/mm], der Rest ist sehr einfach. Ich skizziere den Beweis
auch nur grob, denn es geht eigentlich nur um einen entscheidenden Schritt:
Sei [mm] $\overline{\ker f}\ne [/mm] X$. Wähle [mm] $x_0\in X\setminus\overline{\ker f}$ [/mm] fest. Dann gilt [mm] $X=\ker f\oplus\operatorname{span}_\IK(x_0)$ [/mm] (haben wir bereits gezeigt). Nun gehen wir über zum Quotientenraum [mm] $X/\overline{\ker f}$. [/mm] Da [mm] $\overline{\ker f}$ [/mm] abgeschlossen ist, ist dieser auf natürliche weise wieder ein normierter Raum, die Äquivalenzklasse eines Elementes [mm] $x\in [/mm] X$ bezeichne ich jetzt mit [mm] $\hat{x}$. [/mm] Die natürliche Projektion [mm] $\pi: X\ni x\mapsto\hat{x}\in X/\overline{\ker f}$ [/mm] ist offenbar stetig und linear.
Nun betrachten wir den eindimensionalen linearen Unterraum [mm] $U:=\operatorname{span}_\IK(\hat{x_0})\subset X/\overline{\ker f}$. [/mm] Da [mm] $x_0\not\in\overline{\ker f}$ [/mm] ist [mm] $U\ne\{\hat{0}\}$. [/mm] Betrachte die Abbildung [mm] $$\tilde{f}:U\ni \lambda\hat{x_0}\mapsto\lambda f(x_0)\in\IK$$ [/mm] Hier ist der Knackpunkt: Kann ich das so definieren? Ich sehe jedenfalls kein Problem: jedes Element in U lässt sich eindeutig in dieser Form schreiben usw... Nun kann man nämlich sagen [mm] $\tilde{f}$ [/mm] ist linear (klar) und stetig (da lineare abb. zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen). Nun rechnet man leicht nach, dass [mm] $f=\tilde{f}\circ\pi$ [/mm] ist (dazu braucht man [mm] $X=\ker f\oplus\operatorname{span}_\IK(x_0)$) [/mm] und hat damit gezeigt, dass f stetig ist.
Was meint ihr dazu?
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](X,\|\cdot\|)[/mm] ein normierter Raum über
> [mm]\IK\in\{\IR,\IC\}[/mm] und [mm]f: X\to\IK[/mm] linear und [mm]f\ne 0[/mm]. Zeigen
> sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:
> (1) f ist stetig
> (2) [mm]\ker f[/mm] ist abgeschlossen
> (3) [mm]$\overline{\ker f}\ne[/mm] X
> Ich habe für die obige Aufgabe eine Lösung gefunden aber
> ich bin nicht sicher ob sie richtig ist.
> Also eigentlich geht es nur um die Implikation
> [mm](3)\Rightarrow (1)[/mm], der Rest ist sehr einfach. Ich
> skizziere den Beweis
> auch nur grob, denn es geht eigentlich nur um einen
> entscheidenden Schritt:
>
> Sei [mm]\overline{\ker f}\ne X[/mm]. Wähle [mm]x_0\in X\setminus\overline{\ker f}[/mm]
> fest. Dann gilt [mm]X=\ker f\oplus\operatorname{span}_\IK(x_0)[/mm]
> (haben wir bereits gezeigt). Nun gehen wir über zum
> Quotientenraum [mm]X/\overline{\ker f}[/mm]. Da [mm]\overline{\ker f}[/mm]
> abgeschlossen ist, ist dieser auf natürliche weise wieder
> ein normierter Raum, die Äquivalenzklasse eines Elementes
> [mm]x\in X[/mm] bezeichne ich jetzt mit [mm]\hat{x}[/mm]. Die natürliche
> Projektion [mm]\pi: X\ni x\mapsto\hat{x}\in X/\overline{\ker f}[/mm]
> ist offenbar stetig und linear.
>
> Nun betrachten wir den eindimensionalen linearen Unterraum
> [mm]$U:=\operatorname{span}_\IK(\hat{x_0})\subset X/\overline{\ker f}$.[/mm]
> Da [mm]$x_0\not\in\overline{\ker f}$[/mm] ist [mm]$U\ne\{\hat{0}\}$.[/mm]
> Betrachte die Abbildung [mm]\tilde{f}:U\ni \lambda\hat{x_0}\mapsto\lambda f(x_0)\in\IK[/mm]
> Hier ist der Knackpunkt: Kann ich das so definieren? Ich
> sehe jedenfalls kein Problem: jedes Element in U lässt
> sich eindeutig in dieser Form schreiben usw... Nun kann man
> nämlich sagen [mm]$\tilde{f}$[/mm] ist linear (klar) und stetig (da
> lineare abb. zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen).
> Nun rechnet man leicht nach, dass [mm]$f=\tilde{f}\circ\pi$[/mm] ist
> (dazu braucht man [mm]$X=\ker f\oplus\operatorname{span}_\IK(x_0)$)[/mm]
> und hat damit gezeigt, dass f stetig ist.
>
> Was meint ihr dazu?
Ich habe nichts zu meckern ! Gut gemacht.#
FRED
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> Gruß, Robert
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