Stetigkeit/ glm. Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:36 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Lughor |
| Aufgabe | Gegeben seien die Funktionen [mm] f_{i} [/mm] : [0,1) [mm] \cup [/mm] (1,2] [mm] \to \IR [/mm] mit
[mm] f_{1}(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{für x<1} \\ 1 & \mbox{für x>1} \end{cases}
[/mm]
[mm] f_{2}(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{für x<2} \\ 1 & \mbox{für x} \ge {2} \end{cases}
[/mm]
[mm] f_{3}(x)=(x-1)^{2}
[/mm]
Untersuchen Sie die Funktionen [mm] f_{1}, f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] in ihrem Definitionsbereich auf Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dies war eine Klausuraufgabe aus unserer letzten Analysis 1 Klausur und nun kommt am Freitag die Nachklausur und ich bekomme diese Aufgabe immer noch nicht hin.
zu [mm] f_{1} [/mm] :
Mir ist klar, dass diese Funktion stetig in ihrem gesamten Definitionsbereich ist, und dass sie allerdings nicht glm. stetig ist.
Ich muss hier also 2 Beweise bringen, die ich allerdings nicht hinbekomme.
Ich schätze, dass ich für die Beweise mit Folgen arbeiten muss.
Ist das richtig?
Könnte mir jemand dazu ein paar Hilfreiche Tipps geben?
Wie muss ich [mm] \delta [/mm] definieren?
Ich denke [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] dürfte hier richtig sein für glm. Stetigkeit und für Stetigkeit wegen der Allgemeinheit [mm] \varepsilon \in [/mm] (0,1).
zu [mm] f_{2} [/mm] :
Diese Funktion ist Stetig auf D \ {2} und ist daher auch schon nicht mehr glm. Stetig, daher muss ich auch nur die Unstetigkeit in x=2 zeigen.
Beide Kostante Funktionen sind trivialerweise stetig, daher muss nur noch die Grenze bei x=2 betrachtet werden.
Behauptung: [mm] f_{2} [/mm] ist nicht stetig in x=2.
Beweis: Annahme: [mm] f_{2} [/mm] sei stetig in x=2.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Unter der Annahme, dass [mm] f_{2} [/mm] stetig in x=2 ist, ex. ein [mm] \delta [/mm] > 0, s.d. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x - 2| < [mm] \delta [/mm] gilt:
| [mm] f_{2}(x) [/mm] - [mm] f_{2}({2}) [/mm] | < [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Wir setzen nun x = 2 - [mm] \delta [/mm] / 2.
Damit gilt |x - 2| = |2 - [mm] \delta [/mm] / 2 - 2| = [mm] \delta [/mm] / 2 < [mm] \delta.
[/mm]
Und | [mm] f_{2}(x) [/mm] - [mm] f_{2}({2}) [/mm] | = | 0 - 1| = 1 > [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Dies ist ein Widerspruch zur Annahme.
Daraus folgt, dass [mm] f_{2} [/mm] nicht stetig in x=2 ist und damit auch nicht glm. stetig.
zu [mm] f_{3} [/mm] :
Diese Funktion ist glm. stetig, daher auch automatisch stetig auf ganz D.
Behauptung: [mm] f_{3} [/mm] ist glm. stetig.
Beweis:
Sei [mm] \varepsilon \in [/mm] (0,1) oBdA.
Setze: [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \varepsilon [/mm] .
[mm] \forall x_{1}, x_{2} \in [/mm] D mit | [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] | < [mm] \delta [/mm] gilt dann
| [mm] f(x_{1}) [/mm] - [mm] f(x_{2}) [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] .
Wir nehmen nun oBdA an [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] und setzen [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] + [mm] \delta [/mm] / 2 .
Nun ist | [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] | = [mm] \delta [/mm] / 2 < [mm] \delta [/mm] und
| [mm] f(x_{1}) [/mm] - [mm] f(x_{2}) [/mm] | = | [mm] x_{1}^{2} [/mm] - ( [mm] x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{1} [/mm] * [mm] \delta [/mm] + [mm] \delta^{2} [/mm] / 4) | = | [mm] x_{1} [/mm] * [mm] \delta [/mm] + [mm] \delta^{2} [/mm] / 4 | [mm] \le \delta [/mm] + [mm] \delta^{2} [/mm] / 4 < 2 * [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] .
Daraus folgt, dass [mm] f_{3} [/mm] glm. stetig und damit auch stetig auf ganz D ist.
Sind Aufgaben 2 und 3 so richtig gelöst?
Hat irgendjemand eine Hilfe für mich bei Aufgabe 1?
Bin schon seit Wochen an diesen Aufgaben und werde langsam verrückt.
Danke schonmal für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:39 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Fulla |
Hallo Thomas!
Ich denke die zweite Aufgabe hast du richtig gelöst, aber bei der dritten machst du einen Fehler.
> Wir nehmen nun oBdA an $ [mm] x_{1} [/mm] $ < $ [mm] x_{2} [/mm] $ und setzen $ [mm] x_{2} [/mm] $ = $ [mm] x_{1} [/mm] $ + $ [mm] \delta [/mm] $ / 2 .
Du darfst [mm] x_2 [/mm] nicht "setzen". Die Bedingung muss ja für alle [mm] x_2 [/mm] gelten. Bei der zweiten Aufgabe darfst du schon so argumentieren, da du bei deinem Widerspruchsbeweis ja nur ein Gegenbeispiel finden musst...
Und warum soll
> | $ [mm] x_{1} [/mm] $ * $ [mm] \delta [/mm] $ + $ [mm] \delta^{2} [/mm] $ / 4 | $ [mm] \le \delta [/mm] $ + $ [mm] \delta^{2} [/mm] $ / 4
gelten? Das hieße ja, dass [mm] x_1*\delta\le\delta [/mm] aber [mm] x_1 [/mm] kann auch >1 sein...
Mein Ansatz wäre:
Zu zeigen ist: [mm] $\forall\epsilon>0$ $\exists\delta>0$ [/mm] s.d. [mm] $\left| f(x_1)-f(x_2)\right| <\epsilon$ $\forall x_1, x_2$ [/mm] mit [mm] $\left| x_1-x_2\right| <\delta$
[/mm]
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] gegeben. Wähle [mm] $\delta=\frac\epsilon6$. [/mm] Dann ist
[mm] $\left| f(x_1)-f(x_2)\right|=\left| (x_1-1)^2-(x_2-1)^2\right|=\left|x_1^2-2x_1+1-x_2^2+2x_2-1\right|=\left|x_1^2-x_2^2+2(x_2-x_1)\right|\le\left|x_1^2-x_2^2\right|+2\left|x_2-x_1\right|=$
[/mm]
[mm] $=\left|(x_1+x_2)(x_1-x_2)\right|+2\left|x_1-x_2\right|<\left|x_1+x_2\right|*\delta+2\delta$
[/mm]
Nun ist [mm] $\left|x_1+x_2\right|<4$, [/mm] da [mm] $0\le x_1,\ x_2\le [/mm] 2$.
Also [mm] $\left|x_1+x_2\right|*\delta+2\delta<4\delta+2\delta=6\delta<\epsilon$
[/mm]
Also ist die Funktion auf ihrem Definitionsbereich gleichmäßig stetig. (Beachte, dass dies nicht mehr gilt, wenn der Def.bereich auf ganz [mm] \mathbb{R} [/mm] ausgedehnt wird....)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:13 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Lughor |
Danke für deine Lösung, scheint mir da habe ich mir das Leben schwerer gemacht als nötig war. Das Verrechnen lag dann aber wohl doch eher an der Uhrzeit. 
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> Gegeben seien die Funktionen [mm]f_{i}[/mm] : [0,1) [mm]\cup[/mm] (1,2] [mm]\to \IR[/mm]
> mit
>
> [mm]f_{1}(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{für x<1} \\ 1 & \mbox{für x>1} \end{cases}[/mm]
> Untersuchen Sie die Funktionen [mm]f_{1}, f_{2}[/mm] und [mm]f_{3}[/mm] in
> ihrem Definitionsbereich auf Stetigkeit und gleichmäßige
> Stetigkeit.
> zu [mm]f_{1}[/mm] :
> Mir ist klar, dass diese Funktion stetig in ihrem gesamten
> Definitionsbereich ist, und dass sie allerdings nicht glm.
> stetig ist.
Genau.
> Ich muss hier also 2 Beweise bringen, die ich allerdings
> nicht hinbekomme.
> Ich schätze, dass ich für die Beweise mit Folgen arbeiten
> muss.
Du mußt das nicht tun, aber Du kannst es tun.
Ich selbst finde hier das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] viel angenehmer.
Die Stetigkeit ist nicht schwierig.
Untersuch sie einmal für a>1 und einmal für a<1.
Das Epsilon muß ja allgemein sein, also [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Als [mm] \delta [/mm] kannst Du einfach den Abstand von a zu 1 nehmen. Oder auch den halben Abstand.
>
> Könnte mir jemand dazu ein paar Hilfreiche Tipps geben?
> Wie muss ich [mm]\delta[/mm] definieren?
> Ich denke [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] dürfte hier richtig
> sein für glm. Stetigkeit
Die Funktion ist ja nicht glm stetig.
Nimm an, sie sei es doch.
Dann gibt es zu [mm] \varepsilon=\bruch{1}{2} [/mm] ein [mm] \delta, [/mm] so daß für samtliche x,y mit [mm] |x-y|<\delta [/mm] gilt [mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Also gilt das auch für [mm] x:=1+\bruch{\delta}{4} [/mm] und [mm] y:=1-\bruch{\delta}{4}. [/mm] (Der Witz ist, daß ich x und y so gewählt habe, daß sie dichter als [mm] \delta [/mm] zusammenliegen, aber einmal rechts und einmal links von der Definitionslücke.)
Nun berechne |f(x)-f(y)|.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Lughor |
Danke für die Antwort.
Aber wie sieht es mit Stetigkeit aus?
Wir wissen ja, dass die Funktion stetig ist, aber das müssen wir ja noch Beweisen.
Hättest du dafür einen Vorschlag?
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> Aber wie sieht es mit Stetigkeit aus?
> Wir wissen ja, dass die Funktion stetig ist, aber das
> müssen wir ja noch Beweisen.
> Hättest du dafür einen Vorschlag?
Einerseits zitiere ich mich selbst:
>> Ich selbst finde hier das $ [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] $ viel angenehmer.
>> Die Stetigkeit ist nicht schwierig.
>> Untersuch sie einmal für a>1 und einmal für a<1.
>> Das Epsilon muß ja allgemein sein, also $ [mm] \varepsilon>0. [/mm] $
>> Als $ [mm] \delta [/mm] $ kannst Du einfach den Abstand von a zu 1 nehmen. Oder auch den halben Abstand.
Und ich füge hinzu: aus der glm. Stetigkeit folgt ja die Stetigkeit. (Vorlesung)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Lughor |
[Zitat]
> Aber wie sieht es mit Stetigkeit aus?
> Wir wissen ja, dass die Funktion stetig ist, aber das
> müssen wir ja noch Beweisen.
> Hättest du dafür einen Vorschlag?
Einerseits zitiere ich mich selbst:
>> Ich selbst finde hier das $ [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] $ viel angenehmer.
>> Die Stetigkeit ist nicht schwierig.
>> Untersuch sie einmal für a>1 und einmal für a<1.
>> Das Epsilon muß ja allgemein sein, also $ [mm] \varepsilon>0. [/mm] $
>> Als $ [mm] \delta [/mm] $ kannst Du einfach den Abstand von a zu 1 nehmen. Oder auch den halben Abstand.
[Zitat-Ende]
Sorry, da hatte ich mich verlesen, ich habe inzwischen die Aufgabe gelöst und werde sie hier gleich zur Kontrolle reinstellen.
Allerdings...
[Zitat]
Und ich füge hinzu: aus der glm. Stetigkeit folgt ja die Stetigkeit. (Vorlesung)
Gruß v. Angela
[Zitat-Ende]
das verstehe ich in diesem Zusammenhang nicht.
[mm] F_{1} [/mm] ist ja gerade nicht glm. stetig und daher können wir auch nicht Stetigkeit folgern.
Oder meintest du hier etwas anderes?
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> Allerdings...
> [Zitat]
> Und ich füge hinzu: aus der glm. Stetigkeit folgt ja die
> Stetigkeit. (Vorlesung)
>
> Gruß v. Angela
> [Zitat-Ende]
>
> das verstehe ich in diesem Zusammenhang nicht.
Ich auch nicht...
Ich war wohl wirr.
Nichtsdestotrotz ist der zitierte Satz unbedingt merkenswert!!!
Gruß v. Angela
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