Stetigkeit in Zariski-Topo. < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte [mm]X := \mathbb{R}[/mm] versehen mit der Zariski-Topologie. Welche der folgenden Abbildungen sind stetig?
[mm]id: X \to X[/mm], [mm]x \mapsto x[/mm]
[mm]f: X \to X[/mm], [mm]x \mapsto 2x^{3} + x^{2} - 2[/mm]
[mm]\vdots[/mm] |
Hallo Zusammen.
Ich versuche diese Aufgabe zu lösen, nur ist mir nicht ganz klar wie ich alles ausarbeiten soll.
Ich habe mir zuerst ein mal folgendes zur Identität überlegt:
Eine offene Menge im gegebenen Topologischen Raum besteht aus Elementen [mm]\pi \in \mathbb{R}[/mm], welche nicht die Nullstelle eines Polynoms sind.. also anders gesagt sind die Mengen, bestehend aus nicht über [mm]\mathbb{R}[/mm] algebraische Zahlen offen.
Die Umkehrabbildung ist selbst die Identität, und bildet man eine solche offene Menge ab, so erhält man die offene Menge.
Nun komme ich zur Funktion [mm]f[/mm]... Und ich weiss hier nicht wie ich argumentieren soll..
Nehme also beispielsweise [mm]A = \lbrace \pi_{1},...,\pi_{n} \rbrace \subset (\mathbb{R},\mathcal{Z})[/mm].
Wie kann ich hier auf stetigkeit überprüfen? Ich versuche gerade einzusteigen, darum stelle ich mich ein bisschen blöd an.. Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 27.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Mo 27.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Betrachte [mm]X := \mathbb{R}[/mm] versehen mit der
> Zariski-Topologie. Welche der folgenden Abbildungen sind
> stetig?
>
> [mm]id: X \to X[/mm], [mm]x \mapsto x[/mm]
> [mm]f: X \to X[/mm], [mm]x \mapsto 2x^{3} + x^{2} - 2[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
>
> Hallo Zusammen.
>
> Ich versuche diese Aufgabe zu lösen, nur ist mir nicht
> ganz klar wie ich alles ausarbeiten soll.
>
> Ich habe mir zuerst ein mal folgendes zur Identität
> überlegt:
>
> Eine offene Menge im gegebenen Topologischen Raum besteht
> aus Elementen [mm]\pi \in \mathbb{R}[/mm], welche nicht die
> Nullstelle eines Polynoms sind.. also anders gesagt sind
> die Mengen, bestehend aus nicht über [mm]\mathbb{R}[/mm]
> algebraische Zahlen offen.
>
> Die Umkehrabbildung ist selbst die Identität, und bildet
> man eine solche offene Menge ab, so erhält man die offene
> Menge.
Exakt. Die Identitaet ist immer stetig, wenn man auf beiden Seiten die gleiche Topologie verwendet.
> Nun komme ich zur Funktion [mm]f[/mm]... Und ich weiss hier nicht
> wie ich argumentieren soll..
>
> Nehme also beispielsweise [mm]A = \lbrace \pi_{1},...,\pi_{n} \rbrace \subset (\mathbb{R},\mathcal{Z})[/mm].
Was ist hier $A$, was ist [mm] $\mathcal{Z}$, [/mm] ...?
> Wie kann ich hier auf stetigkeit überprüfen? Ich versuche
> gerade einzusteigen, darum stelle ich mich ein bisschen
> blöd an.. Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Machen wir das mal allgemein. Um Stetigkeit zu zeigen, reicht es auch aus, zu zeigen dass Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind. Das ist hier etwas einfacher zu machen 
Seien $X = [mm] K^n$ [/mm] und $Y = [mm] K^m$ [/mm] mit der Zariski-Topologie, und sei $f : X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung. Ist $A [mm] \subseteq [/mm] Y$ eine abgeschlossene Menge, so gibt es [mm] $g_1, \dots, g_t \in K[x_1, \dots, x_m]$ [/mm] mit $A = [mm] \{ y \in Y \mid g_1(y) = \dots = g_t(y) = 0 \}$.
[/mm]
Das Urbild dieser Menge ist nun [mm] $f^{-1}(A) [/mm] = [mm] \{ x \in X \mid f(x) \in A \} [/mm] = [mm] \{ x \in X \mid g_1(f(x)) = \dots = g_t(f(x)) = 0 \}$.
[/mm]
Wenn [mm] $g_1 \circ [/mm] f, [mm] \dots, g_t \circ [/mm] f$ nun Polynome in [mm] $K[x_1, \dots, x_n]$ [/mm] sind, dann ist [mm] $f^{-1}(A)$ [/mm] natuerlich abgeschossen nach Definition der Zariski-Topologie.
Wenn also $f$ eine Abbildung ist, die durch Polynome gegeben ist, dann ist dies immer der Fall.
LG Felix
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