Stetigkeit in einem Punkt und Folgerungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Do 13.05.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
im Rahmen einer Übungsaufgabe (die ich leider noch nicht mathematisch
gelöst habe), bin ich auf eine interessante Frage gestoßen, doch der Reihe
nach:
Die Aufgabenstellung lautet:
Sei [mm]g : [a,b] \to \IR[/mm] integrierbar und stetig in [mm]c \in (a,b)[/mm]. Sei weiterhin [mm]g(c) \not= 0[/mm].
Zeigen Sie: Ist [mm]\alpha < 1[/mm], so existiert ein [mm]d \in (c,b)[/mm] derart, dass [mm]\integral_{c}^{d} {\bruch{dx}{g(x)(x-c)^{\alpha}}}[/mm] existiert.
Meine Frage nun:
Ausgehend von der Stetigkeit in c und der [mm] \epsilon,\delta-Definition [/mm] der
Stetigkeit: Ist eine Funktion, die in einem Punkt stetig ist, in einer gewissen Umgebung um den Punkt auch beschränkt?
Dann würde das [mm]d[/mm] aus der Aufgabe nämlich in einem Intervall [mm](c,c+\delta)[/mm] liegen können.
Bin ich mit dieser Annahme sehr auf dem Holzweg?
greetz
AT-Colt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo AT-Colt,
ich habe nicht viel Zeit, deswegen beantworte ich dir nur eine Frage:
> Meine Frage nun:
> Ausgehend von der Stetigkeit in c und der
> [mm] $\delta$, $\varepsilon$-Defintion [/mm] der
> Stetigkeit: Ist eine Funktion, die in einem Punkt stetig ist, in einer
> gewissen Umgebung um den Punkt auch beschränkt?
Du hast ja $g:[a,b] [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] stetig in $c [mm] \in [/mm] (a,b)$.
Gibst du dir nun ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vor, dann existiert ja ein [mm] $\delta=\delta_\varepsilon [/mm] > 0$, so dass für alle $x [mm] \in (c-\delta, c+\delta) \cap [/mm] (a,b)$ gilt:
(*) [mm] $|\,g(x)-g(c)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] (das ist die Definition der Stetigkeit in $c$).
Daraus folgt dann für alle $x [mm] \in (c-\delta, c+\delta) \cap [/mm] (a,b)$:
[mm] $|\,g(x)|=|\,g(x)-g(c)+g(c)| \le |\,g(x)-g(c)|+|\,g(c)| [/mm] < [mm] \varepsilon+|\,g(c)|$.
[/mm]
(Das erste [mm] $\le$ [/mm] wegen der Dreiecksungleichung, das < wegen (*)!)
Das sollte deine Frage:
> Ist eine Funktion, die in einem Punkt stetig ist, in einer
> gewissen Umgebung um den Punkt auch beschränkt?
beantworten, da ja [mm] $|\,g(c)| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] (weil $g:[a,b] [mm] \rightarrow \IR$) [/mm] und du dir ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ fest wählen kannst:
Also: Ja!
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 So 19.12.2010 | | Autor: | sqrt25 |
> Du hast ja [mm]g:[a,b] \rightarrow \IR[/mm] stetig in [mm]c \in (a,b)[/mm].
> Gibst du dir nun ein [mm]\varepsilon > 0[/mm] vor, dann existiert ja
> ein [mm]\delta=\delta_\varepsilon > 0[/mm], so dass für alle [mm]x \in (c-\delta, c+\delta) \cap (a,b)[/mm]
> gilt:
> (*) [mm]|\,g(x)-g(c)| < \varepsilon[/mm] (das ist die Definition
> der Stetigkeit in [mm]c[/mm]).
> Daraus folgt dann für alle [mm]x \in (c-\delta, c+\delta) \cap (a,b)[/mm]:
>
> [mm]|\,g(x)|=|\,g(x)-g(c)+g(c)| \le |\,g(x)-g(c)|+|\,g(c)| < \varepsilon+|\,g(c)|[/mm].
>
> (Das erste [mm]\le[/mm] wegen der Dreiecksungleichung, das < wegen
> (*)!)
>
> Das sollte deine Frage:
> > Ist eine Funktion, die in einem Punkt stetig ist, in
> einer
> > gewissen Umgebung um den Punkt auch beschränkt?
> beantworten, da ja [mm]|\,g(c)| < \infty[/mm] (weil [mm]g:[a,b] \rightarrow \IR[/mm])
> und du dir ein [mm]\varepsilon > 0[/mm] fest wählen kannst
Eine Sache verstehe ich bei dieser Ausführung nicht:
Hier wird [mm]x \in (c-\delta, c+\delta) \cap (a,b)[/mm] gewählt. Ist x aber nicht gemäß der Definition des Delta-Epsilon Kriteriums (z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit) Element des ganzen Definitionsbereichs der Funktion? Demnach düfte man dann nur sagen [mm]x \in (a,b)[/mm].
Ich wäre für eine Antwort sehr dankbar, an der Stelle hakt es bei mir gerade nämlich ziemlich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Du hast ja [mm]g:[a,b] \rightarrow \IR[/mm] stetig in [mm]c \in (a,b)[/mm].
> > Gibst du dir nun ein [mm]\varepsilon > 0[/mm] vor, dann existiert ja
> > ein [mm]\delta=\delta_\varepsilon > 0[/mm], so dass für alle [mm]x \in (c-\delta, c+\delta) \cap (a,b)[/mm]
> > gilt:
> > (*) [mm]|\,g(x)-g(c)| < \varepsilon[/mm] (das ist die Definition
> > der Stetigkeit in [mm]c[/mm]).
> > Daraus folgt dann für alle [mm]x \in (c-\delta, c+\delta) \cap (a,b)[/mm]:
>
> >
> > [mm]|\,g(x)|=|\,g(x)-g(c)+g(c)| \le |\,g(x)-g(c)|+|\,g(c)| < \varepsilon+|\,g(c)|[/mm].
>
> >
> > (Das erste [mm]\le[/mm] wegen der Dreiecksungleichung, das < wegen
> > (*)!)
> >
> > Das sollte deine Frage:
> > > Ist eine Funktion, die in einem Punkt stetig ist, in
> > einer
> > > gewissen Umgebung um den Punkt auch beschränkt?
> > beantworten, da ja [mm]|\,g(c)| < \infty[/mm] (weil [mm]g:[a,b] \rightarrow \IR[/mm])
> > und du dir ein [mm]\varepsilon > 0[/mm] fest wählen kannst
>
> Eine Sache verstehe ich bei dieser Ausführung nicht:
>
> Hier wird [mm]x \in (c-\delta, c+\delta) \cap (a,b)[/mm] gewählt.
> Ist x aber nicht gemäß der Definition des Delta-Epsilon
> Kriteriums (z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit)
> Element des ganzen Definitionsbereichs der Funktion?
> Demnach düfte man dann nur sagen [mm]x \in (a,b)[/mm].
nein, auch bei Wikipedia steht das analog, wie ich es oben ausgeführt hatte:
> so dass für alle [mm] $\blue{x \in D}$ [/mm] mit [mm] $\blue{|x - x_0| < \delta}$ [/mm] gilt...
Du hast also nur etwas für alle [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs, die mindestens [mm] $\delta$-nahe [/mm] an [mm] $x_0$ [/mm] liegen, zu prüfen - wobei bei Stetigkeitsnachweisen (in [mm] $x_0$) [/mm] die Hauptarbeit im Nachweis der Existenz (bzw. Angabe) dieses [mm] $\delta=\delta(\epsilon,x_0)$ [/mm] liegt.
Schau' nochmal genau nach, was Stetigkeit an [mm] $x_0$ [/mm] bedeutet. Denn gerade das ist der Sinn dieser Definition:
Man kann bei einer an [mm] $x_0$ [/mm] stetigen Funktion [mm] $f\,$ [/mm] dann, egal, welch' (noch so) kleines [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ man vorgibt, dann ein von diesem [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] abhängiges [mm] $\delta=\delta(x_0,\epsilon) [/mm] > 0$ finden, so dass, wenn wir uns (irgend-)ein [mm] $\delta$-nahes $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs von [mm] $f\,$ [/mm] wählen, dann schon wissen, dass [mm] $f(x)\,$ [/mm] sicher [mm] $\epsilon$-nahe [/mm] an [mm] $f(x_0)$ [/mm] liegt. I.A. ist dabei zu erwarten:
Je kleiner [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] desto kleiner wird auch [mm] $\delta [/mm] > 0$ zu wählen sein... (Das ist nicht zwingend so: Siehe z.B. konstante Funktionen! Aber in den "meisten" Fällen wird es so sein...)
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Julius |
Verbesserte Antwort
Hallo,
ich verstehe hier deine Beweisidee überhaupt nicht.
> Die Aufgabenstellung lautet:
> Sei [mm]g : [a,b] \to \IR[/mm] integrierbar und stetig in [mm]c \in (a,b)[/mm].
> Sei weiterhin [mm]g(c) \not= 0[/mm].
> Zeigen Sie: Ist [mm]\alpha < 1[/mm],
> so existiert ein [mm]d \in (c,b)[/mm] derart, dass [mm]\integral_{c}^{d} {\bruch{dx}{g(x)(x-c)^{\alpha}}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> existiert.
Da $g:[a,b]$ in $c$ und $g(c) \ne 0$ gilt, gibt es ein $\delta \in (c,b)$ mit
$g(x) \ne 0$ für alle $x \in [c,\delta]$.
Begründung:
Für $\varepsilon:=\frac{|g(c)|}{2}$ gibt es ein $\delta>0$ mit
$|g(x)-g(c)|<\varepsilon$ für alle $|x-c|<\delta$.
Daraus folgt:
$|g(x)| \ge |g(c)| - |g(x)-g(c)| > \frac{|g(c)|}{2} > 0$
für alle $x\in [a,b]$ mit $|x-c|<\delta$.
Wähle nun $d:=\frac{\delta}{2}$.
Dann folgt:
$L:=\inf\limits_{x \in [c,d]} |g(x)|}>0$
und
[mm]\integral_{c}^{d} {\big\vert \bruch{1}{g(x)(x-c)^{\alpha}} \big\vert dx}[/mm]
[mm]\le \frac{1}{L} \integral_{c}^{d} {\bruch{1}{(x-c)^{\alpha}} dx}[/mm]
[mm]= \frac{1}{L} \integral_{0}^{d-c} {\bruch{1}{x^{\alpha}} dx}[/mm]
und dieses Integral existiert bekanntlich für [mm] $\alpha<1$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Fr 14.05.2004 | | Autor: | AT-Colt |
> Hallo,
>
> ich verstehe hier deine Beweisidee überhaupt nicht.
Oh, das war grundsätzlich keine Frage zur Beweisidee, sondern mehr
zum Verständnis von punktueller Stetigkeit, wir hatten in der Vorlesung
nie explizit gesagt, dass f um einen stetigen Punkt herum beschränkt ist.
> Wichtig ist ja nicht die betragliche Beschränktheit nach
> oben, sondern zum Nullpunkt hin.
Jo, und die ist durch die Stetigkeit in c ja auch gegeben, auch, wenn das
betreffende Intervall noch so klein sein mag.
> Da $g:[a,b]$ stetig ist und $g(c) [mm] \ne [/mm] 0$ gilt, gibt es ein
> $d [mm] \in [/mm] (c,b)$ mit
Ähm... entweder verstehe ich Deinen Schluss nicht, oder er ist nicht richtig.
In der Aufgabenstellung wird Stetigkeit in einem expliziten Punkt c im
Intervall verlangt, nicht für alle Punkte im Intervall, deswegen ist [mm]g:[a,b][/mm] meiner Ansicht nach nicht überall auf dem Intervall stetig.
> $g(x) [mm] \ne [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [c,d]$. (Warum? Bitte selbst
> noch begründen!)
Sei g gerade mal stetig auf [mm][a,b][/mm]
Da [mm]g(c) \ne 0[/mm] gilt, gibt es eine Umgebung um c herum, in dem
g(x) vorzeichenbeständig ist (Zwischenwertsatz).
Wenn g nicht stetig auf dem ganzen Intervall ist, muss man mit der
Beschränktheit in der Nähe von c argumentieren, wie ich es vor hatte.
Dann gibt es nämlich eine [mm] \delta [/mm] -Umgebung, in der [mm]|g(x)-g(c)| < \epsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist,
dann sei hier \epsilon zum Beispiel \bruch{g(c)}{2} .
> Daraus folgt aber:
>
> $L:=\inf\limits_{x \in [c,d]} |g(c)|}>0$
Du meinst sicher [mm]\inf_{x \in [c,d]} |g(x)|[/mm], dann ist der Beweis nachvollziehbar...
Und eigentlich einfach, ich könnte mir mal wieder selbst in den Hintern
treten -.-
Danke für die Erklärung, ich wüsste trotzdem gerne noch, ob Du tatsächlich
legitim geschlossen hast, dass g auf ganz [a,b] stetig ist...
greetz
AT-Colt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
erst einmal: Sorry für meine Flüchtigkeitsfehler!
> > ich verstehe hier deine Beweisidee überhaupt nicht.
>
> Oh, das war grundsätzlich keine Frage zur Beweisidee,
> sondern mehr
> zum Verständnis von punktueller Stetigkeit, wir hatten in
> der Vorlesung
> nie explizit gesagt, dass f um einen stetigen Punkt herum
> beschränkt ist.
Ach so. Na ja, aber da du die Frage ja im Zusammenhang mit der Aufgabe gestellt hattest, bin ich mal davon ausgegangen, dass die Frage mit der Beweisidee was zu tun hatte.
> > Wichtig ist ja nicht die betragliche Beschränktheit nach
>
> > oben, sondern zum Nullpunkt hin.
>
> Jo, und die ist durch die Stetigkeit in c ja auch gegeben,
> auch, wenn das
> betreffende Intervall noch so klein sein mag.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Da $g:[a,b]$ stetig ist und $g(c) [mm] \ne [/mm] 0$ gilt, gibt es
> ein
> > $d [mm] \in [/mm] (c,b)$ mit
>
> Ähm... entweder verstehe ich Deinen Schluss nicht, oder er
> ist nicht richtig.
> In der Aufgabenstellung wird Stetigkeit in einem
> expliziten Punkt c im
> Intervall verlangt, nicht für alle Punkte im Intervall,
> deswegen ist [mm]g:[a,b][/mm] meiner Ansicht nach nicht überall auf
> dem Intervall stetig.
Stimmt, da hatte ich die Aufgabe nicht richtig gelesen.
> > $g(x) [mm] \ne [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [c,d]$. (Warum? Bitte selbst
>
> > noch begründen!)
>
> Sei g gerade mal stetig auf [mm][a,b][/mm]
> Da [mm]g(c) \ne 0[/mm] gilt, gibt es eine Umgebung um c herum, in
> dem
> g(x) vorzeichenbeständig ist (Zwischenwertsatz).
>
> Wenn g nicht stetig auf dem ganzen Intervall ist, muss man
> mit der
> Beschränktheit in der Nähe von c argumentieren, wie ich es
> vor hatte.
Nein, das hat mit der Beschränkheit nichts zu tun. "$g$ ist (lokal)beschränkt" heißt: Es gibt eine Konstante $C < [mm] \infty$ [/mm] mit [mm] $|g(x)|\le [/mm] C$ für alle $x$ (in einer gewissen Umgebung). Das spielt hier aber keine Rolle. Oder aber du meintest die Beschränktheit von $|g|$ (durch eine echt positive Konstante) nach unten. (Davon gehe ich jetzt mal aus.)
> Dann gibt es nämlich eine [mm] \delta [/mm] -Umgebung, in der
> [mm]|g(x)-g(c)| < \epsilon[/mm] ist,
> dann sei hier [mm] \epsilon [/mm] zum Beispiel [mm] \bruch{g(c)}{2} [/mm] .
Hier fehlen die Beträge, ansonsten stimmt das, klar. 
> Du meinst sicher [mm]\inf_{x \in [c,d]} |g(x)|[/mm]
Ja klar, da hatte ich mich verschrieben, ich verbessere meine Antwort gleich mal.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
