Stetigkeit in metrischen R. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo, habe hier paar Aufgaben, da habe ich sogar die Lösungen, aber ich kann da trotzdem einige Schritte nicht so richtig nachvollziehen. Vielleicht kann mir ja einer von euch helfen, wäre echt nett.
Seien [mm] (X,d_X), (Y,d_Y), (Z,d_Z) [/mm] metrische Räume.
a) Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] d_X: [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \to [0,\infty) [/mm] stetig ist.
b) Sei T: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung mit [mm] d_Y(Tx,Ty) \le [/mm] L [mm] d_X(x,y) [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] X und ein L > 0. Zeigen Sie, dass T stetig ist.
c) Sei F: X [mm] \times [/mm] Y [mm] \to [/mm] Z eine stetige Abbildung. Zeigen Sie, dass aus [mm] x_n \to [/mm] x, [mm] y_n \to [/mm] y für n [mm] \to \infty [/mm] folgt, [mm] F(x_n,y_n) \to [/mm] F(x,y) für n [mm] \to \infty [/mm] gilt. |
a) Wir benutzen das Kriterium in c). Seinen [mm] (x_n), (y_n) \subset [/mm] X Folgen mit [mm] x_n \to [/mm] x und [mm] y_n \to [/mm] y für n [mm] \to \infty. [/mm] Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir:
[mm] |d_X(x_n,y_n) [/mm] - d(x,y)| [mm] \le |d_X(x_n,y_n) [/mm] - [mm] d_X(x,y_n)|+|d_X(x,y_n) [/mm] - d_(x,y)| [mm] \le d_X(x_n,x) [/mm] - [mm] d_X(y_n,y) \to [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm]
Daraus folgt die Behauptung.
b) Sei [mm] (x_n) \subset [/mm] X mit [mm] x_n \to [/mm] x für n [mm] \to \infty. [/mm] Dann gilt:
0 [mm] \le d_Y(Tx_n,Tx) \le Ld_X(x_n,x) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty, [/mm] also [mm] Tx_n \to Tx_0 [/mm] für n [mm] \to \infty. [/mm] Folglich ist T eine stetige Abbildung von X nach Y.
c) Die Produkttopologie auf X [mm] \times [/mm] Y wir duch die Metrik
[mm] d_{X \times Y}((x,y),(x_0,y_0)) [/mm] = [mm] d_X(x,x_0) [/mm] + [mm] d_Y(x_0,y_0) [/mm] erzeugt. Nun impliziert [mm] x_n \to [/mm] x für n [mm] \to \infty [/mm] in X und [mm] y_n \to [/mm] y für n [mm] \to \infty [/mm] in Y, dass [mm] d_{X \times Y}((x_n,y_n),(x,y)) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty [/mm] gilt.
Somit folgt aus der Stetigkeit von F: X [mm] \times [/mm] Y [mm] \to [/mm] Z, dass [mm] F(x_n,y_n) \to [/mm] F(x,y) für n [mm] \to \infty [/mm] in [mm] \IZ [/mm] gilt.
a) also bei der z.B., erstmal versteh ich nicht, wie man hier drauf kommt, die Dreiecksungleichung anzuwenden. Und die zweite Sache ist. Die Umformungen versteh ich noch, den letzten Schritt auch noch, nur ich weiß nicht wieso aus dem letzten Schritt, also aus [mm] \le d_X(x_n,x) [/mm] - [mm] d_X(y_n,y) \to [/mm] für n [mm] \to \infty, [/mm] die Behauptung aus c) folgt, also [mm] F(x_n,y_n) \to [/mm] F(x,y) für n [mm] \to \infty [/mm] und damit die Stetigkeit.
b) bei diesem Teil kann ich nicht ganz nachvollziehen, wie die auf [mm] Tx_n \to Tx_0 [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] kommen, und damit die Stetigkeit begründen.
c) bei der versteh ich eigentlich nur den ersten Schritt nicht, wie die das machen, also:
[mm] d_{X \times Y}((x,y),(x_0,y_0)) [/mm] = [mm] d_X(x,x_0) [/mm] + [mm] d_Y(x_0,y_0) [/mm]
Ist jetzt vielleicht bisschen viel geworden, wäre aber dennoch super nett, wenn mir das jemand ausführlich erklären könnte, da ich diese Geschichte schon für sehr wichtig empfinden.
Danke und Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Di 13.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo, habe hier paar Aufgaben, da habe ich sogar die
> Lösungen, aber ich kann da trotzdem einige Schritte nicht
> so richtig nachvollziehen. Vielleicht kann mir ja einer von
> euch helfen, wäre echt nett.
>
> Seien [mm](X,d_X), (Y,d_Y), (Z,d_Z)[/mm] metrische Räume.
>
> a) Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]d_X:[/mm] X [mm]\times[/mm] X [mm]\to [0,\infty)[/mm]
> stetig ist.
>
> b) Sei T: X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung mit [mm]d_Y(Tx,Ty) \le[/mm] L
> [mm]d_X(x,y)[/mm] für alle x,y [mm]\in[/mm] X und ein L > 0. Zeigen Sie, dass
> T stetig ist.
>
> c) Sei F: X [mm]\times[/mm] Y [mm]\to[/mm] Z eine stetige Abbildung. Zeigen
> Sie, dass aus [mm]x_n \to[/mm] x, [mm]y_n \to[/mm] y für n [mm]\to \infty[/mm] folgt,
> [mm]F(x_n,y_n) \to[/mm] F(x,y) für n [mm]\to \infty[/mm] gilt.
> a) Wir benutzen das Kriterium in c). Seinen [mm](x_n), (y_n) \subset[/mm]
> X Folgen mit [mm]x_n \to[/mm] x und [mm]y_n \to[/mm] y für n [mm]\to \infty.[/mm] Mit
> der Dreiecksungleichung erhalten wir:
>
> [mm]|d_X(x_n,y_n)[/mm] - d(x,y)| [mm]\le |d_X(x_n,y_n)[/mm] -
> [mm]d_X(x,y_n)|+|d_X(x,y_n)[/mm] - d_(x,y)| [mm]\le d_X(x_n,x)[/mm] -
> [mm]d_X(y_n,y) \to[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> Daraus folgt die Behauptung.
>
Ich sehe nicht wo hier das Kriterium c) benutzt wird. Man zeigt einfach bloß, dass wenn [mm] (x_n,y_n) [/mm] gegen (x,y) konvergiert, dann konvergiert [mm] d(x_n,y_n) [/mm] gegen d(x,y). Das ist die Folgenstetigkeit und die ist ja äquivalent zur 'normalen' Stetigkeit.
>
> b) Sei [mm](x_n) \subset[/mm] X mit [mm]x_n \to[/mm] x für n [mm]\to \infty.[/mm] Dann
> gilt:
>
> 0 [mm]\le d_Y(Tx_n,Tx) \le Ld_X(x_n,x) \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty,[/mm]
> also [mm]Tx_n \to Tx_0[/mm] für n [mm]\to \infty.[/mm] Folglich ist T eine
> stetige Abbildung von X nach Y.
>
[mm] d(Tx_n,Tx) [/mm] geht gegen Null, also geht [mm] Tx_n [/mm] gegen Tx. Wieder die Folgenstetigkeit.
>
> c) Die Produkttopologie auf X [mm]\times[/mm] Y wir duch die Metrik
>
> [mm]d_{X \times Y}((x,y),(x_0,y_0))[/mm] = [mm]d_X(x,x_0)[/mm] + [mm]d_Y(x_0,y_0)[/mm]
> erzeugt. Nun impliziert [mm]x_n \to[/mm] x für n [mm]\to \infty[/mm] in X und
> [mm]y_n \to[/mm] y für n [mm]\to \infty[/mm] in Y, dass [mm]d_{X \times Y}((x_n,y_n),(x,y)) \to[/mm]
> 0 für n [mm]\to \infty[/mm] gilt.
>
> Somit folgt aus der Stetigkeit von F: X [mm]\times[/mm] Y [mm]\to[/mm] Z,
> dass [mm]F(x_n,y_n) \to[/mm] F(x,y) für n [mm]\to \infty[/mm] in [mm]\IZ[/mm] gilt.
>
>
> a) also bei der z.B., erstmal versteh ich nicht, wie man
> hier drauf kommt, die Dreiecksungleichung anzuwenden. Und
> die zweite Sache ist. Die Umformungen versteh ich noch, den
> letzten Schritt auch noch, nur ich weiß nicht wieso aus dem
> letzten Schritt, also aus [mm]\le d_X(x_n,x)[/mm] - [mm]d_X(y_n,y) \to[/mm]
> für n [mm]\to \infty,[/mm] die Behauptung aus c) folgt, also
> [mm]F(x_n,y_n) \to[/mm] F(x,y) für n [mm]\to \infty[/mm] und damit die
> Stetigkeit.
>
Vergiss hier c).
>
> b) bei diesem Teil kann ich nicht ganz nachvollziehen, wie
> die auf [mm]Tx_n \to Tx_0[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] kommen, und damit
> die Stetigkeit begründen.
>
Hier ist mit [mm] x_0 [/mm] x gemeint.
> c) bei der versteh ich eigentlich nur den ersten Schritt
> nicht, wie die das machen, also:
>
> [mm]d_{X \times Y}((x,y),(x_0,y_0))[/mm] = [mm]d_X(x,x_0)[/mm] + [mm]d_Y(x_0,y_0)[/mm]
>
Das ist eine Definition.
> Ist jetzt vielleicht bisschen viel geworden, wäre aber
> dennoch super nett, wenn mir das jemand ausführlich
> erklären könnte, da ich diese Geschichte schon für sehr
> wichtig empfinden.
>
> Danke und Gruß
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Hi, danke erstmal.
also bei der a) das dort c) mit benutzt werden soll, das habe ich mir ja nicht ausgedacht, das steht so in der Musterlösung  . Kann es vielleicht sein, dass die damit nur die Eigenschaften der Folgen meinen, also das man sich diese Folgen wählt und dann ...
dann nochmal paar fragen, bei der a) z.B., wenn ich das hier habe:
[mm] d_X(x_n,x) [/mm] - [mm] d_X(y_n,y) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty [/mm]
folgt hieraus immer: [mm] d(x_n,y_n) \to [/mm] d(x,y) , ja und das wäre ja eigentlich sowas was das Kriterium in c), oder nicht?
Aber zu dieser Eigenschaft habe ich leider keinen Satz in unserem Skript gefunden, habe gerade nochmal geschaut, aber trotzdem benutzen die es in ihrer Musterlösung, schon bisschen komisch. kannst du mir den satz vielleicht nennen?
Aber bei b) kann man da dieses L einfach unberücksichtigt lassen?
und bei c) was für eine Def. ist das denn? habe dazu gerade auch nichts gefunden.
danke und gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hi, danke erstmal.
>
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> also bei der a) das dort c) mit benutzt werden soll, das
> habe ich mir ja nicht ausgedacht, das steht so in der
> Musterlösung . Kann es vielleicht sein, dass die damit
> nur die Eigenschaften der Folgen meinen, also das man sich
> diese Folgen wählt und dann ...
>
> dann nochmal paar fragen, bei der a) z.B., wenn ich das
> hier habe:
>
> [mm]d_X(x_n,x)[/mm] - [mm]d_X(y_n,y) \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> folgt hieraus immer: [mm]d(x_n,y_n) \to[/mm] d(x,y) , ja und das
> wäre ja eigentlich sowas was das Kriterium in c), oder
> nicht?
>
Bei c) wird vorrausgesetzt, dass F stetig ist, aber bei a) sollst du ja gerade zeigen, dass d stetig ist, also versteh ich nicht, was die mit dem Verweis auf c) wollen. Es geht doch auch komplett ohne diesen komischen Verweis.
> Aber zu dieser Eigenschaft habe ich leider keinen Satz in
> unserem Skript gefunden, habe gerade nochmal geschaut, aber
> trotzdem benutzen die es in ihrer Musterlösung, schon
> bisschen komisch. kannst du mir den satz vielleicht
> nennen?
>
Von welcher Eigenschaft sprichst du denn? Um diese Schlussfolgerung zu ziehen, die du hingeschrieben hast, muss man explizit die Dreiecksungleichung für d ausnutzen, sonst geht das nicht.
>
> Aber bei b) kann man da dieses L einfach unberücksichtigt
> lassen?
L ist ne Konstante.
>
> und bei c) was für eine Def. ist das denn? habe dazu gerade
> auch nichts gefunden.
>
Die Definition der Produktmetrik die in der Aufgabenstellung extra gegeben ist. Denn du hast ja bloß [mm] d_X, d_Y [/mm] und [mm] d_Z [/mm] erstmal gegeben, aber für die Aufgabe brauchst du eine Metrik auf [mm] X\times [/mm] Y, und die ist so definiert.
>
> danke und gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich denke, es ist da einfach folgendes gemeint:
Zunächst ist $d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR_{\ge 0}$
[/mm]
Man soll bei a) z.B. zeigen, dass $d$ stetig ist. Das wollen sie vermittels der Folgenstetigkeit machen. Schlecht dabei ist allerdings:
Mit welcher Metrik ist $X [mm] \times [/mm] X$ ausgestattet?
Behauptet wird nun eigentlich:
Mit welcher Metrik auch immer $X [mm] \times [/mm] X$ ausgestattet ist (meinetwegen heiße diese Metrik $e$; d.h. $e: (X [mm] \times [/mm] X) [mm] \times [/mm] (X [mm] \times [/mm] X) [mm] \to \IR_{\ge 0}$):
[/mm]
Für eine Folge [mm] $(\hat{x}_n)_n=((x_n,y_n))_n$ [/mm] in $X [mm] \times [/mm] X$ gilt dann stets:
Falls [mm] $\hat{x}_n=(x_n,y_n) \to \hat{x}_0=(x_0,y_0)$ [/mm] mit einem [mm] $\hat{x}_0=(x_0,y_0) \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ (d.h. [mm] $e((x_n,y_n),(x_0,y_0))=e(\hat{x}_n,\hat{x}_0) \to [/mm] 0$), so folgt [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] (d.h. [mm] $d(x_n,x_0) \to [/mm] 0$) und [mm] $y_n \to y_0$ [/mm] (d.h. [mm] $d(y_n,y_0) \to [/mm] 0$) bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Das wird nun ausgenutzt (was man eigentlich nicht darf! s.u.) und damit zeigt man, dass für eine jede in $X [mm] \times [/mm] X$ konvergente Folge [mm] $(x_n,y_n)$, [/mm] deren Grenzwert [mm] $(x_0,y_0) \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ sei, dann folgt, dass [mm] $|d(x_n,y_n)-d(x_0,y_0)| \to [/mm] 0$, bzw. weil [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] ein metrischer Raum ist:
[mm] $d(x_n,y_n) \to d(x_0,y_0)$. [/mm] Damit ist das Kriterium für die Folgenstetigkeit erfüllt.
P.S.:
Naheliegend ist natürlich die Frage:
Warum folgt aus [mm] $e((x_n,y_n),(x_0,y_0)) \to [/mm] 0$, dass [mm] $d(x_n,x_0) \to [/mm] 0$ und [mm] $d(y_n,y_0) \to [/mm] 0$?
Und strenggenommen ist die Aussage auch falsch:
Ist nämlich [mm] $(\IR,d)$ [/mm] der metrische Raum mit der diskreten Metrik $d: [mm] \IR \times \IR \to \{0,1\}$ [/mm] (d.h. $d(x,x)=0$ und $d(x,y)=1$ für $x [mm] \not=y$, [/mm] $x,y [mm] \in \IR$), [/mm] und ist [mm] $\IR \times \IR$ [/mm] mit der euklidischen Metrik ausgestattet (d.h.: für [mm] $x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \in \IR \times \IR$ [/mm] gilt [mm] $e(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$), [/mm] so gilt zwar:
[mm] $\left(0,\frac{1}{n}\right) \to [/mm] (0,0)$ in [mm] $\IR \times \IR$ [/mm] (d.h. [mm] $e\left(\left(0,\frac{1}{n}\right),(0,0)\right) \to [/mm] 0$), aber es gilt:
[mm] $d\left(0,\frac{1}{n}\right)=1 \to [/mm] 1 [mm] \not= [/mm] 0=d(0,0)$
M.a.W.:
Je nachdem, mit welcher Metrik man $X [mm] \times [/mm] X$ ausstattet, ist die obige Aussage schlichtweg falsch.
P.P.S.:
Ich gehe aber mal davon aus, dass entweder aus der Aufgabe, oder aber aus der Vorlesung, hervorgeht, mit welcher Metrik ihr $X [mm] \times [/mm] X$ versehen sollt, so dass die Aussage doch richtig bleibt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
> c) Die Produkttopologie auf X [mm]\times[/mm] Y wir duch die Metrik
>
> [mm]d_{X \times Y}((x,y),(x_0,y_0))[/mm] = [mm]d_X(x,x_0)[/mm] + [mm]\red{d_Y(x_0,y_0)}[/mm]
> erzeugt.
sollte hier nicht sinnvollerweise
[mm] $d_{X \times Y}((x,y),(x_0,y_0))= d_X(x,x_0) [/mm] + [mm] d_Y(y,y_0)$
[/mm]
stehen?
Ansonsten mal zu einer anderen Frage, wo Du fragst:
"Wenn [mm] $d(Tx_n,Tx) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] warum folgt daraus, dass [mm] $Tx_n \to [/mm] Tx$?"
Nun, auch das ist einfach per Definitionem so:
In einem metrischen Raum $(X,d)$ sagt man:
Eine Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN} \in X^{\IN}$ [/mm] (d.h. eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in $X$) konvergiert genau dann, wenn es ein $x [mm] \in [/mm] X$ so gibt, dass [mm] $d(x_n,x) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$; [/mm] und dann schreibt man auch [mm] $x=:\lim_{n \to \infty}x_n$ [/mm] und/oder sagt: [mm] $(x_n)_n$ [/mm] konvergiert gegen $x$.
(Alternativ, was aber genau das gleiche ist:
..., wenn es ein $x [mm] \in [/mm] X$ so gibt, dass gilt:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists N=N_\varepsilon$: $\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$: [mm] $d(x_n,x) \le \varepsilon$; [/mm] und dann schreibt ....
Beachte hierbei bitte auch: $d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x,y [mm] \in [/mm] X$.)
(In Worten:
Eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in $X$ ist genau dann konvergent gegen ein $x [mm] \in [/mm] X$ - und dann schreibt man [mm] $\lim_{n \to \infty}x_n:=x$ [/mm] - wenn die zugehörige "Abstandsfolge" [mm] $(d(x_n,x))_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge in [mm] $\IR$ [/mm] ist.)
(Wichtig: In einem metrischen Raum ist der Grenzwert eindeutig bestimmt. Das ist z.B. in halbmetrischen Räumen nicht mehr der Fall.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:02 Mi 14.05.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hi, vielen dank euch beiden. echt nett.
den letzten beitrag von dir muss ich nochmal in ruhe überdenken, aber dass, was du geschrieben hast, hat sich eigentlich logisch angehört. nochmal drüber nachdenken.
danke und gruß
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