Stetigkeit mehrdim. Fkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die Funktion f: [mm] \IR^2\rightarrow \IR, [/mm]
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^3y^2+x^2y^3}{x^4+y^4}, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
im Nullpunkt stetig ist. |
Hallo,
ich weiß leider nicht mehr so genau, wie das mit der Stetigkeit bei dieser Sorte Funktionen war. Im Grunde ja aber genau so wie im eindimensionalen, oder? Ich versuche hier also zu zeigen, dass meine Funktion für [mm] (x,y)\rightarrow [/mm] (0,0) auch gegen 0 geht. (Widerlegen durch Folgen habe ich nicht hinbekommen)
Ich habe schon verschiedene Dinge versucht, aber ich komme im Wesentlichen nicht weiter als:
[mm] \frac{x^3y^2+x^2y^3}{x^4+y^4}=x^2y^2\frac{x+y}{x^4+y^4}
[/mm]
Mir wäre an der Stelle schon sehr geholfen, wenn ich zeigen könnte, dass [mm] \frac{x+y}{x^4+y^4} [/mm] in irgendeiner Form beschränkt ist. Aber auch das bekomme ich irgendwie nicht hin. Denn angenommen [mm] \frac{x+y}{x^4+y^4} [/mm] ist kleinergleich irgendeiner Konstanten c, dann bekomme ich ja:
[mm] x+y\leq cx^4+cy^4
[/mm]
also [mm] x\leq [/mm] c [mm] x^4 \Rightarrow 1\leq cx^3 [/mm] UND [mm] y\leq cy^4 \Rightarrow 1\leq cy^3
[/mm]
Beides gilt aber nur für [mm] x\geq \frac{1}{c} [/mm] und [mm] y\geq\frac{1}{c}, [/mm] also gerade im interessanten Bereich nicht. Und damit fehlen mir irgendwie die Ideen.
Kann mir irgendwer weiterhelfen?
Danke schonmal 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Do 21.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie im 1 d ist nicht so korrekt, allerdings kannst du benutzen, wenn es für JEDE Folge [mm] (x_n,y_n) [/mm] gegen (0,0)gegen f(0,0) konvergiert ist es stetig. Für Unstetigkeit musst du also nur eine spezielle Folge finden, die nicht gegen f(0,0) konvergiert, oder 2 Folgen mit versch. GW. für stetigkeit kann man praktisch nie ALLE folgen untersuchen, also brauchst du die /epsilon,/delta Stetigkeit. du musst z jedem [mm] \epsilon [/mm] eine [mm] \delta [/mm] Umgebung von (0,0) finden ind der |f(x,y)-f(0,0)|< [mm] \epsilon..
[/mm]
am einfachsten machst du das mit x=rcos(t), y=rsin(t) lässt r gegen 0 laufen, der GW muss dann unabh. von t sein.
dein Ansatz mit der Trennung in ein produkt geht nicht, denn dein rechter Teil geht einzeln gegen [mm] \infty, [/mm] der linke gegen 0!
also probier meinen Vorschlag.
gruss leduart
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> am einfachsten machst du das mit x=rcos(t), y=rsin(t)
> lässt r gegen 0 laufen, der GW muss dann unabh. von t
> sein.
Hallo leduard,
ich habe das jetzt mal versucht:
[mm] x_n=rcos(t); y_n=rsin(t) [/mm] (wobei für wachsendes n r gegen null geht)
dann bekomme ich:
[mm] f(rcos(t),rsin(t)=r^4sin^2(t)cos^2(t)\frac{sin(t)+cos(t)}{r^4(sin^4(t)+cos^4(t))}=r\cdot sin^2(t)cos^2(t)\frac{sin(t)+cos(t)}{sin^4(t)+cos^4(t)}
[/mm]
das [mm] sin^2(t)cos^2(t)\frac{sin(t)+cos(t)}{sin^4(t)+cos^4(t)} [/mm] ist eine konstante Zahl und wenn jetzt r gegen 0 geht, geht mein gesamter Ausdruck gegen 0. Und das möchte ich in diesem Fall ja eigentlich nicht.
Oder verstehe ich gerade bloß nicht, was du meinst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Do 21.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, dein Ausdruck $ [mm] sin^2(t)cos^2(t)\frac{sin(t)+cos(t)}{sin^4(t)+cos^4(t)} [/mm] $
ist sicher keine konstante Zahl, da t in dem Kreis um 0 jeden Wert annehmen kann. aber der Nenner ist >0 denn sint und cost sind nie gleichzeitig 0, der Zähler beschränkt , also geht das ganze für r gegen 0 gegen 0
gruss leduart
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> Hallo
> Nein, dein Ausdruck
> [mm]sin^2(t)cos^2(t)\frac{sin(t)+cos(t)}{sin^4(t)+cos^4(t)}[/mm]
> ist sicher keine konstante Zahl, da t in dem Kreis um 0
> jeden Wert annehmen kann.
ich meinte, für jedes t ist der Ausdruck eine konstante Zahl, da ja meine Folge in r läuft und sich t nicht mehr verändert.
aber der Nenner ist >0 denn sint
> und cost sind nie gleichzeitig 0, der Zähler beschränkt ,
> also geht das ganze für r gegen 0 gegen 0
Aber wir haben dann doch jetzt bloß eine Folge gefunden, für die das ganze gegen 0 geht. Wir haben also keinen Widerspruch zur Stetigkeit und wir haben auch nicht die Stetigkeit bewiesen, da nicht jede Folge [mm] (x_n,y_n) [/mm] die oben angegebene Form (rsin(t), rcos(t)) hat.
Also hat uns das doch irgendwie gar nichts gebracht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Fr 22.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Doch, wir haben gezeigt, dass für jedes [mm] \delta=r |f(x,y)-0|<\epsilon [/mm]
wir haben hier nicht die folgenstetigkeit benutzt, sondern den Abstand r
der punkte (x,y) von 0 benutzt um |f(x,y)-0| abzuschätzen.
gruss leduart
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