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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Di 04.05.2010 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Sei f:X->Y eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen.Beweisen oder widerlegen sie:
i) Sei A [mm] \subset [/mm] eine abgeschlossene Menge. Dann ist f(A) abgeschlossen.
ii) Sei B [mm] \subset [/mm] Y eine abgeschlossene Menge. Dann ist [mm] f^{-1}(B) [/mm] abgesclossen. |
Hallo.
Ich brauche etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.Ich habe dazu schon etwas in einem Buch gefunden. Danach wäre i) falsch und ii) wahr.
Zu i) ist da das Beispiel der stetigen Sinusfunktion angegeben, welche die abgeschlossene Menge [mm] \{2n\pi+1/n| n \in \IN\} [/mm] auf die offene Menge [mm] \{sin(1/n)|n \in \IN\} [/mm] abbildet.
Kann man da nochmal jemand erklären, warum [mm] \{2n\pi+1/n| n \in \IN\} [/mm] abgeschlossen ist? Ist sie nicht offen, weil sie nicht Umgebung vom Punkt 2 [mm] \pi [/mm] ist?, das wäre ja der kleinste Wert in der Menge. Und da nicht offen, ist sie dann abgeschlossen?
Und wieso ist [mm] \{sin(1/n)|n \in \IN\} [/mm] offen? Ich kann meine Definition von Offenheit und Abgeschlossenheit hier irgendwie nicht anwenden.
ii) So da hab ich jetzt was zum Beweis gefunden, dass das Urbild jeder offenen Menge wieder offen ist und das will ich jetzt durch Komplementbildung auf meine Aufgabe übertragen. Ich schreib erstmal auf was ich habe.
Sei V⊂Y offen, dann ist [mm] B=Y\backslash [/mm] V abgeschlossen. Gezeigt wird nun, dass [mm] f^{-1} [/mm] (V) offen in X ist und folglich [mm] X\backslash f^{-1} [/mm] (V) abgeschlossen in X ist.
Sei nun [mm] a∈f^{-1} [/mm] (V) beliebig.
Da V Umgebung von f(a)∈V ist, gibt es, da f stetig ist, eine Umgebung U von a mit f(U)⊂V.
⇒ [mm] U\subset f^{-1} [/mm] (V) .
⇒ [mm] f^{-1} [/mm] (V) ist Umgebung von a.
⇒ [mm] f^{-1} [/mm] (V) ist offen und somit ist X [mm] \backslash f^{-1}(V)abgeschlossen.
[/mm]
So ich müsste am Ende aber doch stehen haben, dass [mm] f^{-1}(B) [/mm] abgeschlossen ist. Wie kann ich dahin kommen? Gibt es da noch irgendeine Umformung oder ist das mit der Komplementbildung schon falsch gelaufen. Ich war etwas verwirrt, weil ja einmal ein Komplement in X und einmal in Y betrachtet wird.
Wäre super, wenn mir da jemand helfen kann.
Mit vielen Grüßen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Di 04.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei f:X->Y eine stetige Abbildung zwischen metrischen
> Räumen.Beweisen oder widerlegen sie:
> i) Sei A [mm]\subset[/mm] eine abgeschlossene Menge. Dann ist f(A)
> abgeschlossen.
> ii) Sei B [mm]\subset[/mm] Y eine abgeschlossene Menge. Dann ist
> [mm]f^{-1}(B)[/mm] abgesclossen.
> Hallo.
> Ich brauche etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.Ich habe dazu
> schon etwas in einem Buch gefunden. Danach wäre i) falsch
> und ii) wahr.
> Zu i) ist da das Beispiel der stetigen Sinusfunktion
> angegeben, welche die abgeschlossene Menge [mm]\{2n\pi+1/n| n \in \IN\}[/mm]
> auf die offene Menge [mm]\{sin(1/n)|n \in \IN\}[/mm] abbildet.
> Kann man da nochmal jemand erklären, warum [mm]\{2n\pi+1/n| n \in \IN\}[/mm]
> abgeschlossen ist? Ist sie nicht offen, weil sie nicht
> Umgebung vom Punkt 2 [mm]\pi[/mm] ist?, das wäre ja der kleinste
> Wert in der Menge. Und da nicht offen, ist sie dann
> abgeschlossen?
> Und wieso ist [mm]\{sin(1/n)|n \in \IN\}[/mm] offen? Ich kann meine
> Definition von Offenheit und Abgeschlossenheit hier
> irgendwie nicht anwenden.
Das Komplement des Urbilds ist die Vereinigung von offenen Intervallen. Das Bild enthält nicht den Häufungspunkt 0.
>
> ii) So da hab ich jetzt was zum Beweis gefunden, dass das
Die Operation der Bildung des Urbildes ist abgeschlossen gegen mengentheoretische Operationen. Deswegen: Sei A abgeschlossen [mm] :\gdw A^C [/mm] offen [mm] \gdw f^{-1}(A^C) [/mm] offen [mm] \gdw (f^{-1}(A))^C [/mm] offen.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 04.05.2010 | | Autor: | aly19 |
danke für deine Antwort.
Also zu ii)
Wäre der Beweis dann mit folgendem Schluss schon richtig???
Sei V⊂Y offen, dann ist [mm] B=Y\backslash [/mm] V abgeschlossen. Gezeigt wird nun, dass [mm] f^{-1} [/mm] (V) offen in X ist und folglich [mm] X\backslash f^{-1} [/mm] (V) abgeschlossen in X ist.
Sei nun [mm] a∈f^{-1} [/mm] (V) beliebig.
Da V Umgebung von f(a)∈V ist, gibt es, da f stetig ist, eine Umgebung U von a mit f(U)⊂V.
⇒ [mm] U\subset f^{-1} [/mm] (V) .
⇒ [mm] f^{-1} [/mm] (V) ist Umgebung von a.
⇒ [mm] f^{-1} [/mm] (V) ist offen und somit ist X [mm] \backslash f^{-1}(V)=f^{-1}(V^C)=f^{-1}(Y\backslash V)=f^{-1}(B) [/mm] abgeschlossen.
Wäre super wenn mir jemand sagt, ob das so stimmt.
und zu i)
@gfm kann dein Kommentar leider nciht ganz zuordnen, kannst du das vll noch etwas erklären, bzw. sagen auf welche von meinen Fragen sich das bezieht?
Wäre Super.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Di 04.05.2010 | | Autor: | gfm |
> danke für deine Antwort.
> Also zu ii)
> Wäre der Beweis dann mit folgendem Schluss schon
> richtig???
> Sei V⊂Y offen, dann ist [mm]B=Y\backslash[/mm] V abgeschlossen.
> Gezeigt wird nun, dass [mm]f^{-1}[/mm] (V) offen in X ist und
> folglich [mm]X\backslash f^{-1}[/mm] (V) abgeschlossen in X ist.
> Sei nun [mm]a∈f^{-1}[/mm] (V) beliebig.
> Da V Umgebung von f(a)∈V ist, gibt es, da f stetig ist,
> eine Umgebung U von a mit f(U)⊂V.
> ⇒ [mm]U\subset f^{-1}[/mm] (V) .
> ⇒ [mm]f^{-1}[/mm] (V) ist Umgebung von a.
> ⇒ [mm]f^{-1}[/mm] (V) ist offen und somit ist X [mm]\backslash f^{-1}(V)=f^{-1}(V^C)=f^{-1}(Y\backslash V)=f^{-1}(B)[/mm]
> abgeschlossen.
>
> Wäre super wenn mir jemand sagt, ob das so stimmt.
Das sieht gut aus.
Was ich meinte war: Es gilt [mm]f^{-1}(M^C)=(f^{-1}(M))^C[/mm] für beliebige Mengen [mm]M[/mm] und eine beliebige Abbildung [mm]f:X\to Y[/mm]. Wenn [mm]f[/mm] nun stetig ist, ist [mm]f^{-1}(O)[/mm] für ein offenes [mm]O[/mm] offen. Für ein abgeschlossenes [mm]A[/mm] ist [mm]A^C[/mm] offen und damit auch [mm]f^{-1}(A^C)=f^{-1}(A)^C[/mm]. Somit muss [mm]f^{-1}(A)[/mm], deren Komplement ja offen ist, abgeschlossen sein.
>
> und zu i)
> @gfm kann dein Kommentar leider nciht ganz zuordnen, kannst
> du das vll noch etwas erklären, bzw. sagen auf welche von
> meinen Fragen sich das bezieht?
> Wäre Super.
Mit [mm]A:=\{2\pi n+1/n:n\in\IN\}[/mm] und [mm]O:=(-\infty,2\pi+1)\cup(2\pi+1,4\pi+1/2)\cup(6\pi+1/3)\cup...\cup(2\pi n+1/n,2\pi(n+1)+1/(n+1))\cup...[/mm] gilt, dass [mm]O[/mm] als Komplement von [mm]A[/mm] offen ist. Demnach ist [mm]A[/mm] abgeschlossen.
Sei nun [mm]B:=\sin(A)=\{\sin(2\pi n+1/n):n\in\IN\}=\{\sin(1/n):n\in\IN\}[/mm].
Es gilt dann [mm]0\not\in B[/mm] aber [mm]\forall U(0):\exists y\in B:y\in U(0)[/mm]. Das heißt [mm]0[/mm] ist ein nicht in [mm]B[/mm] enthaltener Häufungspunkt von [mm]B[/mm].
B ist also ein nicht abgeschlossenes Bild einer abgeschlossenen Menge.
LG
gfm
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> Viele Grüße
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