Stetigkeit mit Epsilon-Delta < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mi 03.10.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | Hi Leute, beim Auffrischen des Themas Stetitigkeit ist mir diese Frage gekommen: warum muss $ [mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ gelten bzw. muss das überhaupt gelten? (ich hab grad ein paar beweise vor mir wo $ [mm] \delta [/mm] $ immer kleiner $ [mm] \varepsilon [/mm] $ ist). |
z.b. bei einer konstanten Funktion könnte ich doch $ [mm] \delta [/mm] $ beliebig groß wählen, $ [mm] f\left(U_{x_o}\right)=f\left(\{x\ :\ x_0-\delta < x < x_0+\delta \}\right) [/mm] $ ist doch immer Teilmenge von $ [mm] U_{f(x_o)} [/mm] $
oder nicht?
Versteht ihr mein problem?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
edit: den Käse von eben hab' ich "wegeditiert"!!
> Hi Leute, beim Auffrischen des Themas Stetitigkeit ist mir
> diese Frage gekommen: warum muss [mm]\delta < \varepsilon[/mm]
> gelten bzw. muss das überhaupt gelten?
nein, nimm' einfach eine konstante Funktion... ach, unten machst Du's ja
selbst!
> (ich hab grad ein
> paar beweise vor mir wo [mm]\delta[/mm] immer kleiner [mm]\varepsilon[/mm]
> ist).
> z.b. bei einer konstanten Funktion könnte ich doch [mm]\delta[/mm]
> beliebig groß wählen, [mm]f\left(U_{x_o}\right)=f\left(\{x\ :\ x_0-\delta < x < x_0+\delta \}\right)[/mm]
> ist doch immer Teilmenge von [mm]U_{f(x_o)}[/mm]
>
> oder nicht?
Ja. Denn bei einer konstanten Funktion, mit [mm] $x_0$ [/mm] im Definitionsbereich,
ENTHÄLT doch einfach JEDE Umgebung von [mm] $f(x_0)$ [/mm] natürlich insbesondere
[mm] $f(x_0)$ [/mm] - also gilt [mm] $\{f(x_0)\} \subseteq U_{f(x_0)}$
[/mm]
- wobei ich allerdings Deine Umgebungsnotation merkwürdig finde.
Zudem ist
[mm] $f(U_{x_0})=\{f(x_0)\}$ [/mm] - letztstehende Gleichheit muss gelten, weil [mm] $f\,$ [/mm]
konstant ist!
(Zur Notation:
Man schreibt normalerweise
[mm] $$U(f(x_0))$$
[/mm]
und nicht [mm] $U_{f(x_0)}\,,$ [/mm] insbesondere bei [mm] "$r\,$-Umgebungen" [/mm] ($r > [mm] 0\,$) [/mm] um einen Punkt [mm] $m\,$ [/mm] (oder reden wir besser einfach von offenen
Bällen mit Mittelpunkt [mm] $m\,$ [/mm] und Radius [mm] $r\,$):
[/mm]
[mm] $$U_r(m)=\{y \in M:\;d(y,m) < r\}$$
[/mm]
wenn wir einem metrischen Raum [mm] $(M,d)\,$ [/mm] haben und $m [mm] \in M\,.$) [/mm]
> Versteht ihr mein problem?
Ja, aber [mm] $\delta [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] fordert man - sinnigerweise - NICHT!
Außerdem:
Betrachte doch mal ein paar Geraden und mach' Dir Gedanken, bei welchen
Steigungen man sicher nicht zwangsweise [mm] $\delta \le \varepsilon$ [/mm] haben
muss.
Beispiel:
[mm] $$f(x)=\frac [/mm] 1 2*x$$
Die Funktion ist glm. stetig. Man kann zu beliebigen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$
einfach [mm] $\delta:=2\varepsilon$ [/mm] (oder, wenn bei Euch irgendwas mit
[mm] $<\,$ [/mm] in der Definition steht, meinetwegen auch [mm] $\frac [/mm] 3 2 [mm] \varepsilon$)
[/mm]
wählen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Mi 03.10.2012 | | Autor: | saendra |
soll ich kurz warten bis du fertig bist? 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> soll ich kurz warten bis du fertig bist?
ja, da stand "unüberlegtes", was entsprechend falsch war. 5 Minuten?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
>
> Also wir haben das so im Skript: [mm]U_{x_o}=\{x\ :\ |x-x_0|<\delta\}[/mm]
> und [mm]U_{f(x_o)}=\{f(x)\ :\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\}[/mm]
uhhhh... klar, bei Stetigkeit ist immer klar, "welche" Umgebungen man
meint. Aber schreib' Dir lieber auch immer das [mm] $\varepsilon$ [/mm] und
[mm] $\delta$ [/mm] mit dran: Generell ändern sich ja die [mm] $U\,$'s [/mm] auch mit denen.
Um nicht ganz von Eurer Notation abzuweichen würde ich dann sowas
vorschlagen:
Anstatt [mm] $U_{x_0}$ [/mm] schreibe besser [mm] $U_{x_0,\delta}$ [/mm] und anstatt
[mm] $U_{f(x_0)}$ [/mm] analog [mm] $U_{f(x_0),\varepsilon}\,.$
[/mm]
> Kann ich grad bei meiner Notation bleiben? Mit schwirrt
> nämlich schon seit Tagen der Kopf mit lauter Zeichen,
> Symbolen, Definitionen, Beweisen, ...
Jein. Ich finde sie ungünstig. Man erkennt ja gar nicht "die Intervalllänge"
in Eurer Notation.
> Die Sache mit den Geraden habe ich mir genau so auch
> gestellt und daher bin ich sicher, dass ich es jetzt
> verstanden habe und weiß wie es geht.
>
>
> Also es geht ja darum, dass man einen (offenen, nicht
> abgeschlossenen) [mm]\varepsilon[/mm]-Schlauch um [mm]f(x_0)[/mm] legt und
> dann versucht ein [mm]\delta[/mm]-Schlauch mit in der Regel von
> [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]x_0[/mm] abhängigem [mm]\delta[/mm] zu finden, so dass
> die Schnittpunkte vom [mm]\delta[/mm]-Schlauchrand und dem Graph und
> alle Funktionswerte zwischen diesen innerhalb
> [mm]\varepsilon[/mm]-Schlauch liegen, oder?
öhm... ob man jetzt den Rand des Schlauches mitnimmt oder nicht, ist ein
wenig Definitionssache. Was meinst Du mit den Schnittpunkten? Man kann
es sich so denken (ich lasse das Gerede mit dem Schlauch mal):
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $x_0$ [/mm] ist, dann kannst Du an den Punkt [mm] $(x_0,f(x_0))$
[/mm]
des Graphen gehen - wir stellen uns das mal alles im karteischen [mm] $\IR^2$
[/mm]
veranschaulicht vor - und nun kann man sagen: Wenn ich mir eine Zahl
[mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vorgebe - diese wird später als halbe Rechteckhöhe
zu interpretieren sein - dann finde ich ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ - das ist die halbe
Rechteckbreite, so dass das Rechteck mit Mittelpunkt [mm] $(x_0,f(x_0))$
[/mm]
alle Punkte des Graphen enthält, deren [mm] $x\,$-Koordinate [/mm] innerhalb
des Intervalls mit Mittelpunkt [mm] $x_0$ [/mm] und "Radius" [mm] $\delta$ [/mm] liegt -
dieses Intervall "sieht" man, wenn man die Seite des Rechtecks, die
parallel zur [mm] $x\,$-Achse [/mm] aufzufinden ist, auf die [mm] $x\,$-Achse [/mm] projiziert.
Bei [mm] $f(x)=x^2\,,$ [/mm] (betrachten wir die Funktion nur mal auf $x [mm] \ge [/mm] 0$)
würdest Du "sehen", dass die Funktion stetig ist. Sie ist aber nicht glm.
stetig. Hier ist es sogar klar, dass, wenn man [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ festhält, aber [mm] $x_0$ [/mm] variiert,
das [mm] $\delta$ [/mm] anpassen MUSS - jedenfalls rein anschaulich (und bei der glm. Stetigkeit
darf das [mm] $\delta$ [/mm] maximal von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen):
Wenn ich nur mit dem [mm] $x_0$ [/mm] weit genug nach rechts gehe, muss ich
mein Rechteck irgendwann wohl stark schmaler machen.
> Was bedeutet gleichmäßige Stetigkeit eigentlich
> anschaulich? Warum darf das [mm]\delta[/mm] da nicht vom [mm]x_0[/mm]
> abhängen?
Zur letzten Frage: Weil man das so definiert. Zur ersten Frage:
Man findet quasi immer ein Rechteck, wenn man dessen Höhe
[mm] $2\varepsilon$ [/mm] fordert, mit einer Breite $2 [mm] \delta$ [/mm] so, dass man weiß:
Wenn ich das Rechteck immer so verschiebe, dass der Mittelpunkt
auf dem Graphen liegt, dann hat der Graph der Funktion an den Stellen,
wo die [mm] $x\,$-Koordinate [/mm] zu dem Intervall, dass man auf der [mm] $x\,$-
[/mm]
Achse findet, wenn man die Rechteckseite parallel zur [mm] $x\,$-Achse [/mm]
auf die [mm] $x\,$-Achse [/mm] projiziert, immer nur Punkte, die von dem Rechteck
eingefangen werden. Und egal, wo ich mit dem Rechteck hinlaufe
(egal, welche Stellen auf der [mm] $x\,$-Achse [/mm] ich als Koordinate für den
Rechteckmittelpunkt wähle): Die Rechteckbreite muss ich niemals
verkleinern, wenn ich ein "zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ passendes "glm.
Stetigkeitsbedingung-erfüllendes [mm] $\delta [/mm] > 0$" gefunden habe"!
Ich hoffe, es ist klar, was ich meine. In anschaulichen Erklärungen
bin ich nicht so gut, insbesondere fehlt mir hier ein Mittel zur
Veranschaulischung, wie etwa ein Whiteboard oder eine Tafel!
Dabei kann man's eigentlich schön zeigen, wenn man einen Graphen
einer Funktion zeichnet, und das [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] mit
Fingern andeutet, indem man den Graphen "entlangfährt". Das
[mm] $\varepsilon$ [/mm] bleibt aber "fest". Bei nicht glm. Stetigkeit sieht man dann,
dass man das mit den Fingern angedeutete [mm] $\delta$ [/mm] ja nach [mm] $x\,$-Position
[/mm]
verkleinern muss im Vergleich zu einer anderen Position, bei glm. Stetigkeit
bleibt das angedeutete [mm] $\delta$ [/mm] beim "Entlangfahren des Graphen" 'starr'.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hiho,
eine Sache ist mir aber bisher untergegangen bei Marcels Antwort, daher nochmal nachgeschoben:
> (ich hab grad ein paar beweise vor mir wo [mm] \delta [/mm] immer kleiner [mm] \varepsilon [/mm] ist).
Und trotzdem sind deine Beweise nicht falsch!
Denn man kann oBdA annehmen, dass [mm] $\delta [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt.
Denn mach dir mal folgendes klar: Finde ich ein [mm] \delta [/mm] zu einem gesuchten [mm] $\varepsilon$, [/mm] so erfüllt auch jedes kleinere die Stetigkeitsbedingung.
D.h die generelle Annahme [mm] $\delta [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] macht aus der Stetigkeitsdefinition nichts anderes, sie bleibt äquivalent. Und wenn es in einigen Beweisen sinnvoll ist, kann man das gerne noch hinzunehmen.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> eine Sache ist mir aber bisher untergegangen bei Marcels
> Antwort, daher nochmal nachgeschoben:
>
> > (ich hab grad ein paar beweise vor mir wo [mm]\delta[/mm] immer
> kleiner [mm]\varepsilon[/mm] ist).
>
> Und trotzdem sind deine Beweise nicht falsch!
> Denn man kann oBdA annehmen, dass [mm]\delta < \varepsilon[/mm]
> gilt.
> Denn mach dir mal folgendes klar: Finde ich ein [mm]\delta[/mm] zu
> einem gesuchten [mm]\varepsilon[/mm], so erfüllt auch jedes
> kleinere die Stetigkeitsbedingung.
> D.h die generelle Annahme [mm]\delta < \varepsilon[/mm] macht aus
> der Stetigkeitsdefinition nichts anderes, sie bleibt
> äquivalent. Und wenn es in einigen Beweisen sinnvoll ist,
> kann man das gerne noch hinzunehmen.
da hast Du natürlich Recht. Genauso, wie man auch immer in den Beweisen
o.E [mm] $\varepsilon$ [/mm] schon kleiner als irgendein $r > 0$ annehmen kann,
etwa stets [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$ oder sogar [mm] $\varepsilon [/mm] < [mm] 1/(10^{(27^8)})\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mi 03.10.2012 | | Autor: | saendra |
Vielen Dank! Also wenn ein Beweis so geht:
$ [mm] \cdots \leq 5\delta [/mm] $. Dann kann ich immer so weitermachen?:
$ [mm] \cdots 5\delta [/mm] < [mm] \varepsilon \iff \delta [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{5}\quad \Rightarrow [/mm] $ wähle $ [mm] \delta=\bruch{\varepsilon}{6} [/mm] $
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank! Also wenn ein Beweis so geht:
>
> [mm]\cdots \leq 5\delta [/mm]. Dann kann ich immer so
> weitermachen?:
>
>
> [mm]\cdots 5\delta < \varepsilon \iff \delta < \bruch{\varepsilon}{5}\quad \Rightarrow[/mm]
> wähle [mm]\delta=\bruch{\varepsilon}{6}[/mm]
das ist ein wenig zu wenig an Information, um Deine Frage vernünftig zu
beantworten, denn es ist nicht klar, was da alles steht. Aber vielleicht
meinst Du es so:
Wenn aus dem Beweis irgendwie rauskommt:
[mm] $$|f(x)-f(x_0)| [/mm] < 5 [mm] \delta$$
[/mm]
für alle [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta\,,$ [/mm] dann wäre es schon HINREICHEND,
einfach nur
$$5 [mm] \delta \le \varepsilon$$
[/mm]
zu haben. (Neben [mm] $\delta [/mm] > 0$!)
Man könnte also jedes [mm] $\delta$ [/mm] mit $0 < [mm] \delta \le \varepsilon/5$ [/mm] wählen,
um dann die Stetigkeit in [mm] $x_0$ [/mm] einzusehen.
Ich würde insbesondere dann nicht schreiben, dass daraus folgt, dass
[mm] $\delta=\varepsilon/6$ [/mm] zu wählen sei. Sondern eher, dass deswegen
die Wahl [mm] $\delta:=\varepsilon/6$ [/mm] HINREICHEND ist, um das in der
Stetigkeitsdefinition geforderte einzusehen. (Man muss ja eben nicht
notwendigerweise das [mm] $\delta$ [/mm] so wählen, wie Du es vorgeschlagen
hast - ich könnte auch [mm] $\delta:=1/e^{634756384658}$ [/mm] setzen,
das wäre dann auch ein "Stetigkeitsdelta". Das [mm] $\delta:=\varepsilon/3$
[/mm]
vielleicht auch ginge, könnte ich aber, wenn ich nur die obigen
Abschätzungen so hingeschrieben hätte, und nicht irgendwie weitere
zur Hand hätte, natürlich nicht einfach behaupten. Natürlich könnte das
sein, es müßte aber nicht sein.
Das einfachste Beispiel: Bei konstanten Funktion kann ich die Stetigkeit
mit der Wahl [mm] $\delta:=\varepsilon*(|x_0|+1)$ [/mm] einsehen, aber auch mit der
Wahl [mm] $\delta:=10^{27}!$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Do 04.10.2012 | | Autor: | saendra |
Hi Marcel,
ich bin mir jetzt ziemlich sicher, dass ich es verstanden habe, danke dir! Das einzige was noch fehlt ist Übung, vor allem im Abschätzen um solche Beweise auch durchzuführen.
Also mache ich mich am besten da noch ran
Und vielen Dank noch mal für alles!
|
|
|
|
