Stetigkeit nachprüfen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:40 So 15.03.2009 | | Autor: | Tensor |
| Aufgabe | | Zeige dass die Abbildung f: S1 -> SO2 f(x,y) := [mm] \pmat{ y & x \\ -x & y } [/mm] ein Homöomorphismus ist. |
Hallo alle miteinander. Im Prinzip ist es ja sehr klar was zu tun ist. Ich weiss nur nicht wie ich die Stetigkeit nachprüfen soll. Ich habe hin und her überlegt, aber mir fällt kein topologisches Argument ein wie ich das zeigen könnte. Ich habe folgende Strategie: ich schreibe mal die Umkehrabbildung hin und habe somit eine Abbilung von einem kompakten Raum in einen T2-Raum. Danach würde mir die Stetigkeit der Umkehrabbildung geschenkt werden auf Grund eines Satzes in der Topologie. Allerdings brauche ich noch immer die Stetigkeit in eine Richtung.
Wäre echt toll, wenn mir wer weiterhelfen könntet.
Schöne Grüsse,
Tensor ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
Welche Topologien tragen denn die Räume?
Ich denke mal, dass [mm] S^1 [/mm] die Teilraumtopologie von [mm] \IC [/mm] trägt.
Aber was für eine Topologie hast du bei SO(2) gegeben? Die Teilraumtopologie von [mm] \IR^4?
[/mm]
edit: Wegen der Stetigkeit... ich würde es einfach mit der Folgenstetigkeit versuchen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Tensor |
Ja es sollen die üblichen Teilraumtopologien sein, also S1 trägt die Teilraumtopologie des R2 und SO2 trägt die Teilraumtopologie von R4. Wie würdest du die Folgenstetigkeit anwenden? Ich habe auch schon daran gedacht, bin aber nicht wirklich zu einer Lösung gekommen :(!!
Danke auf jeden Fall vielmals für deine schnelle Antwort.
LG, Tensor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Di 17.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Es gilt doch:
Stetigkeit = koordinatenweise Stetigkeit
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Tensor |
Ja das funktioniert natürlich auch :))
dankeschön für den Tipp!!!!
LG, Tensor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 Fr 20.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Könntest du dieses Argument für mich genauer erklären? Mir ist klar, dass mit der üblichen Topologie auf [mm] $\IR^n$ [/mm] eine Abbildung [mm] $X\to\IR^n$ [/mm] auf einem metrischen Raum X stetig ist genau dann, wenn die [mm] $f^i$ [/mm] stetig sind für [mm] $1\le i\le [/mm] n$. Aber in diesem Beispiel... wie genau müsste man da argumentieren?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Sa 21.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist $f(x,y) := [mm] \pmat{ y & x \\ -x & y } [/mm] = [mm] \pmat{ f_1(x,y) & f_2(x,y) \\ -f_2(x,y) & f_1(x,y) } [/mm] $
mit [mm] $f_1(x,y) [/mm] = y, [mm] f_2(x,y)= [/mm] x$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Sa 21.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja ok, soweit war mir das ja auch klar. Ich war mir nur nicht sicher ob beim Einschränken auf [mm] S^1 [/mm] bzw. $SO(2)$ nicht noch irgendwas kaputt geht, aber jetzt habe ich es verstanden.
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