Stetigkeit rationaler Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Di 13.07.2010 | | Autor: | denzil |
| Aufgabe | | [mm]f:\IQ\to\IQ[/mm] mit der Zuordnung [mm] x\mapsto\begin{cases} -1 & \mbox{für } x < \sqrt{2}\\ 1 & \mbox{für } x > \sqrt{2}\end{cases}[/mm]. |
Diese Funktion soll angeblich stetig sein. Mir ist nur nicht klar warum... Betrachte ich die Funktion auf ihrem Definitionsbereich [mm] \IQ [/mm] und überprüfe die Stetigkeit in [mm]x_0 = \sqrt{2} [/mm] mittels des Folgenkriteriums erhalte ich doch mit [mm]f(a_b)=-1[/mm], bzw. [mm]f(b_n)=1[/mm] zwei komplett unterschiedliche Grenzwerte.
Kann mir das jemand bitte kurz erklären?
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Huhu,
das Folgenkriterium kannst du hier an der Stelle [mm] \sqrt{2} [/mm] nicht anwenden. Damit f nach Folgenkriterium stetig ist, muss ja für alle [mm] $x_0 \in [/mm] D(f)$ gelten:
[mm] $\limes_{x_n\rightarrow x_0}f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_0)$
[/mm]
Offensichtlich gilt das für alle [mm] x_0 [/mm] aus dem Definitionsbereich (warum?)
Fang dazu einfach ganz formal an:
Sei [mm] $x_0 \in [/mm] D(f)$, dann Fallunterscheidung und bedenke, dass wenn x < y es immer ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt, so dass auch $x + [mm] \varepsilon [/mm] < y$.
Und da [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] gilt, gilt für ausreichend große n insbesonder was für die [mm] x_n [/mm] ?
Ebenso beim [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium.
[/mm]
Da nutzt man die gleiche Eigenschaft, dass [mm] $x+\varepsilon [/mm] < y$
Fang einfach mal an 
MFG,
Gono.
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