Stetigkeit über R bestimmen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leutz!
Habe hier die [mm] fx=3x^3+5x+1/(x^2+2)! [/mm] Habe die Angelegenheit mit [mm] 1/x^3 [/mm] multipliziert und komme, dann auf eine Division durch 0. Damit ist die Funktion nicht stetig! Liege ich hier richtig?
Gruß
Heiko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Heiko,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hi Leutz!
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> Habe hier die [mm]fx=3x^3+5x+1/(x^2+2)![/mm] Habe die Angelegenheit
> mit [mm]1/x^3[/mm] multipliziert und komme, dann auf eine Division
> durch 0. Damit ist die Funktion nicht stetig! Liege ich
> hier richtig?
Schade, dass du den Formeleditor nicht benutzt hast. Dann wäre klar, welche Funktion du meinst. Ich gehe davon aus, dass du die Funktion
[mm] f(x) = \bruch{3x^3+5x+1}{x^2+2} [/mm]
Diese Funktion ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert (der Nenner wird für kein [mm] x \in \IR [/mm] gleich 0) und als gebrochenrationale Funktion auch stetig.
Bei deiner Idee mit [mm] \bruch{1}{x^3} [/mm] meinst du wohl erweitern, oder? Das bringt dich aber nicht weiter. Ich weiß auch nicht, wie du dabei auf eine Division durch 0 kommst.
>
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Mo 13.06.2005 | | Autor: | mathedoof |
Hi Leutz!
Habe hier die [mm] fx=3x^3+5x+1/(x^2+2)! [/mm] Habe die Angelegenheit mit [mm] 1/x^3 [/mm] multipliziert und komme, dann auf eine Division durch 0. Damit ist die Funktion nicht stetig! Liege ich hier richtig?
Gruß
Heiko
Hi Sigrid!
Bin neu hier und werde mich hinsichtlich meiner Ausführungen bessern. Prinzipiell liegst Du mit Deinen Vermutungen richtig. Wie ich auf die Division durch 0 komme! Bei meiner Erweiterung mit [mm] 1/x^3 [/mm] erhalte ich bei der Limesbetrachtung 0!
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Hallo Heiko,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Habe hier die [mm]fx=3x^3+5x+1/(x^2+2)![/mm] Habe die Angelegenheit
> mit [mm]1/x^3[/mm] multipliziert und komme, dann auf eine Division
> durch 0. Damit ist die Funktion nicht stetig! Liege ich
> hier richtig?
>
du meinst wohl
[mm]f(x)=\bruch{3x^3+5x+1}{x^2+2}[/mm] ??
und willst durch die höchste Potenz des Nenners kürzen?
Damit kannst du dann die Asymptote dieser Funktion ermitteln.
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Hm, sorry, wenn ich hier als absolut Unwissender in diesem Forum aufschlage...
Aber was muß ich denn machen, wenn die Aufgabenstellung für eine ähnliche Funktion lautet, "untersuchen Sie diese Funktion auf Stetigkeit über R" ???
Würde es dann denn schon ausreichen zu schreiben, dass die Eigenschaft einer stetigen Funktion ist, dass f(x) für jedes x definiert ist. Und da der Nenner dieser Funktion für jedes x ungleich Null ist, kann diese Funktion ergo keine Definitionslücke aufweise. Somit sie dann stetig wäre.
Oder mache ich mir das damit zu einfach ???
Schon mal Danke für Eure Hilfe!
alienleader
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Di 05.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Alien
Willst du die Funktion genauer untersuchen oder nur die Stetigkeit?
Wenn du mehr willst, solltest du die ganze Aufgabe posten.
Das Multiplizieren mit irgendwas hilft bei Stetigkeit nicht. Was wolltest du damit erreichen? jede Fkt, die man mit 0/0 erweitert wird dadurch bei 0 undefiniert!
Wenn es um die Stetigkeit geht, kommt es darauf an, welche Sätze ihr bewiesen habt.
i.A. hat man :1. Summe und Prudukt stetiger Fkt sind Stetig
2. ist f stetig und f(x) [mm] \not= [/mm] 0 dann ist [mm] \bruch{1}{f} [/mm] stetig.
Als letztes [mm] x^{n}stetig.
[/mm]
wenn du das alles aus der Vorlesung wissen darfst, dann musst du nur zeigen, dass der Nenner ungleich 0ist und die entsprechenden Sätze zitieren.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
zunächst Danke für die Antwort.
Es geht auch bei mir um mathedoofs Funktion
$ f(x) = [mm] \bruch{3x^3+5x+1}{x^2+2} [/mm] $
und es geht nur um die Stetigkeit über [mm] \IR [/mm] und keine weiteren oder eingehenderen Diskussionen der Funktion. Mehr als die Funktion ist nicht gegeben. Wie gesagt, habe ich von Mathe (seit dem Abi vor 20 Jahren) keinen Plan und keine Berührung mehr. Daher stelle ich mich wahrscheinlich auch einfach nur irre dämlich und begriffsstutzig an. Und es soll mir keiner die Aufgabe rechnen, sondern mir nur verstehen helfen, was ich bei so einer Aufgabenstellung machen muß.
Wie gesagt habe ich noch soviel verstanden, dass Stetigkeit bedeutet, dass es zu jedem x auch einen entsprechenden Funktionswert geben muß. Gibt´s diesen nicht haben wir eine Sprungstelle (oder was auch immer) der Funktion. Um die Stetigkeit nachzuweisen müßte ich dann sämtlich Werte von - [mm] \infty [/mm] bis + [mm] \infty [/mm] durch die Funktion schicken, um die Stetigkeit nachzuweisen. Das kann es aber doch wohl nicht sein.
Daher immer noch meine Frage, wie weise ich begründe ich die Stetigkeit dieser Funktion?
ein mathematisch dämlicher
alienleader
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Hi, alienleader,
> Es geht auch bei mir um mathedoofs Funktion
> [mm]f(x) = \bruch{3x^3+5x+1}{x^2+2}[/mm]
> und es geht nur um die
> Stetigkeit über [mm]\IR[/mm] und keine weiteren oder eingehenderen
> Diskussionen der Funktion. Mehr als die Funktion ist nicht
> gegeben.
>
> Wie gesagt habe ich noch soviel verstanden, dass Stetigkeit
> bedeutet, dass es zu jedem x auch einen entsprechenden
> Funktionswert geben muß. Gibt´s diesen nicht haben wir eine
> Sprungstelle (oder was auch immer) der Funktion.
Selbst wenn der Funktionswert existiert, kann die Funktion an einer Stelle unstetig sein!
Einfaches Beispiel:
f(x) = [mm] \begin{cases} 0, &\mbox{für }x < 0 \\ 1, & \mbox{für }x\ge0 \end{cases}
[/mm]
Diese Funktion ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert
und besitzt bei x=0 den Funktionswert f(0)=1.
Dennoch ist die Funktion unstetig bei x=0.
> Um die Stetigkeit nachzuweisen müßte ich dann sämtlich Werte von -
> [mm]\infty[/mm] bis + [mm]\infty[/mm] durch die Funktion schicken, um die
> Stetigkeit nachzuweisen. Das kann es aber doch wohl nicht
> sein.
Sicher nicht! Beim Stetigkeitsbeweis gibt es im Grunde nur 2 Aufgabentypen:
1. Beweise, dass die Funktion AN EINER BESTIMMTEN STELLE (un-)stetig ist.
2. Beweise, dass eine Funktion in einem bestimmten Intervall oder in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist.
In Deinem Fall liegt der 2. Aufgabentyp vor.
Solche Stetigkeitsbeweise erfolgen mit Hilfe der STETIGKEITSSÄTZE,
d.h. im Prinzip:
Man zeigt, dass die Funktion aus bekanntermaßen stetigen Funktionen "aufgebaut" ist.
Der wichtigste Stetigkeitssatz wird meist "Verknüpfungssatz" genannt und lautet in etwa so:
" Sind 2 Funktionen f und g in einem gemeinsamen Intervall J (kann auch ganz [mm] \IR [/mm] sein!) stetig, so sind auch die Funktionen f+g, f-g, f*g und, falls g(x) [mm] \not=0 [/mm] in J gilt, auch [mm] \bruch{f}{g} [/mm] in J stetig."
Nun zu Deinem Beispiel:
Zähler und Nenner Deiner Funktion sind ganzrational.
Dass ganzrationale Funktionen in ihrer gesamten Definitionsmenge stetig sind, lernt man schon in der Mittelstufe, brauchst Du demnach nicht mehr zu beweisen.
Dass Deine Nennerfunktion [mm] \not= [/mm] 0 ist, ist ebenfalls leicht nachweisbar.
Daher folgt aus obigem Verknüpfungssatz: Die ganze Funktion ist in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.
Das war's!
Übrigens: So richtig interessant ist natürlich der andere Aufgabentyp, wo die (Un-)Stetigkeit an einer bestimmten Stelle nachzuweisen ist!
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