Stetigkeit und Differenzierbar < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mi 28.05.2008 | | Autor: | kasymir |
Hallo!
Bin gerade dabei folgende Frage zu beantworten. Ich habe Funtkionsgraphen von versch Funktionen erstellt und soll sie bezüglich der stetigkeit /dirfferenzierbarkeit im Raum um die NUllstelle überprüfen.
wir haben allerdings die Dinge Formal nicht durchgenommen und sollen sie daher so gut wie es geht beschreiben.
Haben folgende Funktionen
sin (1/x)
xsin(1/x)
[mm] x^2 [/mm] sin (1/x)
und 1/x sin (1/x)
Die Funktionen sind im Nullbereich sehr kreuz und quer . Bis auf c) die verläuft auf der x achse. Ist diese Funktion z.B. dann nur stetig aber in diesem Beriech nicht Differenzierbar?
Verstehe leider die Wikki-Einträge nciht.
Kann mir jemand gute Erklärungen geben?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hallo!
Hey!
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> Bin gerade dabei folgende Frage zu beantworten. Ich habe
> Funtkionsgraphen von versch Funktionen erstellt und soll
> sie bezüglich der stetigkeit /dirfferenzierbarkeit im Raum
> um die NUllstelle überprüfen.
> wir haben allerdings die Dinge Formal nicht durchgenommen
> und sollen sie daher so gut wie es geht beschreiben.
>
> Haben folgende Funktionen
> sin (1/x)
> xsin(1/x)
> [mm]x^2[/mm] sin (1/x)
> und 1/x sin (1/x)
>
So sind die Funktionen aber nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert. Ich gehe mal davon aus, dass gilt 0 für x=0 bei allen Funktionen.
> Die Funktionen sind im Nullbereich sehr kreuz und quer .
> Bis auf c) die verläuft auf der x achse. Ist diese Funktion
> z.B. dann nur stetig aber in diesem Beriech nicht
> Differenzierbar?
> Verstehe leider die Wikki-Einträge nciht.
> Kann mir jemand gute Erklärungen geben?
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Also zunächst zur Stetigkeit.
Das a.) im Nullpunkt nicht stetig ist, kannst du mit dem Folgenkriterium zeigen. Suche dir eine Nullfolge [mm] x_n [/mm] und zeigen, dass [mm] f(x_n) \not= [/mm] 0 für n [mm] \rightarrow \infty. [/mm]
b.) Hier kannst du die Stetigkeit mit dem Folgenkriterium zeigen. Ich mache mal den Anfang:
Sei [mm] x_n [/mm] eine beliebige Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=0. [/mm] Dann folgt [mm] $|f(x_n)|= |x_n \cdot \sin \left( \frac{1}{x_n} \right) [/mm] |$ [mm] \le [/mm] ...
Jetzt bist du dran. Nutze aus, dass |sin(x)| [mm] \le [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR.
[/mm]
Schaffst du jetzt auch c.) und d.)?
Nun zur Differenzierbarkeit.
a.) sollte nun klar sein, denn die Funktion ist ja im Nullpunkt nicht stetig.
Ansonsten arbeite mit der Definition der Differenzierbarkeit!! Nur damit kommst du weiter. Also z.B. für Teil b.)
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \frac{h*sin(\frac{1}{h})-0}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty} sin(\frac{1}{h})
[/mm]
untersuche jetzt ob der Grenzwert existiert.
Viele Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 28.05.2008 | | Autor: | kasymir |
Ohhhhhh... langsam, wir sollen nur von unserem Gefühl ausgehen, ob sie stetig ist oder nicht und ob sie differenzierbar ist.
Die ganzen Formeln samt HIntergrund haben wir nciht besprochen daher ist alles für mich nur kauderwelsch.
gibt es irgendwelche einfachen kriterein die ich ablesen kann?
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> Ohhhhhh... langsam, wir sollen nur von unserem Gefühl
> ausgehen, ob sie stetig ist oder nicht und ob sie
> differenzierbar ist.
> Die ganzen Formeln samt HIntergrund haben wir nciht
> besprochen daher ist alles für mich nur kauderwelsch.
> gibt es irgendwelche einfachen kriterein die ich ablesen
> kann?
Hallo kasymir,
irgendwie ja noch nett, dass man euch im Mathe-Unterricht
auf eure Gefühle anspricht...
Allerdings sind gerade solche Beispiele etwas exotischer
Fälle bezüglich Stetigkeit und Differenzierbarkeit nicht
gerade sehr geeignet für intuitives Vorgehen. Falls die
formalen Definitionen noch nicht vorliegen (vielleicht
ist es ja Absicht, euch spüren zu lassen, dass man hier
etwas abstraktere Begriffe wirklich braucht, um sich im
teilweisen Chaos zu orientieren), würde ich vorschlagen,
einfach einmal (mit dem grafischen Taschenrechner) in
die heiklen Gebiete rein zu zoomen und einfach mit deinen
Worten (und Gefühlen?) zu beschreiben, was sich da
mit den Graphen abspielt...
LG al-Chwarizmi
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