Stetigkeit und differenzierbar < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Piatty |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] gegeben durch [mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \le 0\mbox{ } \\ x^{2}, & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeige, dass f stetig auf [mm] \IR [/mm] ist, aber nicht differenzierbar in x=0 |
Ich habe keine Ahnung wie ich dies zeigen soll... Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke schonmal
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Hallo!
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] gegeben durch [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \le 0 \\ x^{2}, & \mbox{für } x >0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeige, dass f stetig auf [mm]\IR[/mm] ist, aber nicht
> differenzierbar in x=0
Es steht ja im Grunde da, was zu tun ist. Da die Funktionen x und [mm] x^{2} [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig sind, muss nur untersucht werden, was an der Stelle 0 passiert. Dort musst du also prüfen, ob der linksseitige Grenzwert von f(x) für x [mm] \to [/mm] 0- mit dem rechtsseitigen Grenzwert f(x) für x [mm] \to [/mm] 0+ übereinstimmt und insbesondere mit dem Funktionswert an der Stelle übereinstimmt. Zeige also:
1. Der Grenzwert von f(x) bei x=0 existiert, d.h. [mm] $\limes_{x\rightarrow 0-}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)$
[/mm]
2. Es gilt $f(0) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)$.
[/mm]
Für die Differenzierbarkeit ist zunächst genauso zu schlussfolgern, dass x und [mm] x^{2} [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar sind, wir müssen also nur am Übergang prüfen, ob es Probleme gibt. Anschaulich ist eine Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar, wenn die Steigungen nicht reibungslos ineinander übergehen. Wir müssen also nachsehen, ob der Differenzialquotient für h [mm] \to [/mm] 0+ (von rechts) und [mm] h\to [/mm] 0- (von links) dieselben Werte annimmt, d.h überprüfe, ob
[mm] $\lim_{h\to 0-}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0+}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
Beachte bei beiden Aufgabem, dass beim Nähern der Null von links du die Funktion x benutzen musst, beim Nähern von rechts [mm] x^{2} [/mm] (siehe Funktionsvorschrift).
Grüße, Stefan.
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