Stetigkeit und offene/abg. TM < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Fr 30.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe 1 | Es sei M [mm] \subset \IR [/mm] und f: M [mm] \to \IR [/mm] eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) f ist stetig
(ii) Zu jeder offenen Teilmenge U [mm] \subset \IR [/mm] existiert eine offene Teilmenge V [mm] \subset \IR, [/mm] so dass [mm] f^{-1}(U)= [/mm] V [mm] \cap [/mm] M. |
| Aufgabe 2 | | Es sei M [mm] \subset \IR [/mm] abgeschlossen, c [mm] \in \IR [/mm] und f: M [mm] \to \IR [/mm] sei eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die Menge [mm] N_c [/mm] :={x [mm] \in [/mm] M | f(x) [mm] \le [/mm] c} abgeschlossen ist. |
Hallo zusammen,
über die freien Tage wollte ich mich nochmal an ein paar Beweisaufgaben ranwagen, leider bisher ohne großen Erfolg. Ich sitze nun schon seit einiger Zeit an der oben genannten Aufgabe.
Ich denke, dass ich den zweiten Aufgabenteil, mit Hilfe des ersten Teils lösen kann, jedoch muss ich dafür ja zunächst einmal den ersten Teil hinbekommen.
Dazu meine Überlegungen, die mich allerdings bisher leider nicht wirklich weiter bringen:
Für die Äquivalenz muss ich Hin- und Rückrichtung zeigen, also
1.) f ist stetig, U [mm] \subset \IR [/mm] offen, z.z. [mm] \exists [/mm] offene Teilmenge V [mm] \subset \IR, [/mm] so dass [mm] f^{-1}(U)=V \cap [/mm] M
2.) [mm] f^{-1}(U) [/mm] = V [mm] \cap [/mm] M mit U [mm] \subset \IR [/mm] und V [mm] \subset \IR [/mm] offen, z.z. f ist stetig.
Leider bekomm ich das alles nicht so ganz auf die Reihe...
Ich habe überlegt irgendwie 1 mit einer Folge versuchen zu zeigen.
Also sei [mm] (x_n) [/mm] konvergente Folge in [mm] f^{-1}(U) [/mm] mit Grenzwert [mm] \psi...
[/mm]
Wobei wenn ich das gerade so schreibe ist der Ansatz schon schwachsinn, oder? Weil wenn U ja offen ist, dann dürfte die Folge gar nicht konvergieren, oder?
Oh mann, Verzweiflung...
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte und mit mir gemeinsam ein wenig Licht in die Dunkelheit bringen würde.
Danke schonmal im Voraus!
Viele Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Fr 30.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Es sei M [mm]\subset \IR[/mm] und f: M [mm]\to \IR[/mm] eine Abbildung.
> Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
> (i) f ist stetig
> (ii) Zu jeder offenen Teilmenge U [mm]\subset \IR[/mm] existiert
> eine offene Teilmenge V [mm]\subset \IR,[/mm] so dass [mm]f^{-1}(U)=[/mm] V
> [mm]\cap[/mm] M.
> Es sei M [mm]\subset \IR[/mm] abgeschlossen, c [mm]\in \IR[/mm] und f: M [mm]\to \IR[/mm]
> sei eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die Menge [mm]N_c[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> :={x [mm]\in[/mm] M | f(x) [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
c} abgeschlossen ist.
> Hallo zusammen,
>
> über die freien Tage wollte ich mich nochmal an ein paar
> Beweisaufgaben ranwagen, leider bisher ohne großen Erfolg.
> Ich sitze nun schon seit einiger Zeit an der oben genannten
> Aufgabe.
> Ich denke, dass ich den zweiten Aufgabenteil, mit Hilfe des
> ersten Teils lösen kann, jedoch muss ich dafür ja
> zunächst einmal den ersten Teil hinbekommen.
>
> Dazu meine Überlegungen, die mich allerdings bisher leider
> nicht wirklich weiter bringen:
> Für die Äquivalenz muss ich Hin- und Rückrichtung
> zeigen, also
> 1.) f ist stetig, U [mm]\subset \IR[/mm] offen, z.z. [mm]\exists[/mm] offene
> Teilmenge V [mm]\subset \IR,[/mm] so dass [mm]f^{-1}(U)=V \cap[/mm] M
> 2.) [mm]f^{-1}(U)[/mm] = V [mm]\cap[/mm] M mit U [mm]\subset \IR[/mm] und V [mm]\subset \IR[/mm]
> offen, z.z. f ist stetig.
>
> Leider bekomm ich das alles nicht so ganz auf die Reihe...
> Ich habe überlegt irgendwie 1 mit einer Folge versuchen
> zu zeigen.
> Also sei [mm](x_n)[/mm] konvergente Folge in [mm]f^{-1}(U)[/mm] mit
> Grenzwert [mm]\psi...[/mm]
> Wobei wenn ich das gerade so schreibe ist der Ansatz schon
> schwachsinn, oder? Weil wenn U ja offen ist, dann dürfte
> die Folge gar nicht konvergieren, oder?
>
> Oh mann, Verzweiflung...
Nicht verzagen!
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte und mit mir gemeinsam ein wenig Licht in die
> Dunkelheit bringen würde.
>
> Danke schonmal im Voraus!
>
> Viele Grüße!
Ich nehme mal [mm] $x\in f^{-1}(U)$. [/mm] Dann ist [mm] $f(x)\in [/mm] U$, welches offen ist. Folglich existiert [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $B_{\varepsilon}(f(x))\subseteq [/mm] U$. Nach [mm] $\varepsilon-\delta$- [/mm] Definition der Stetigkeit existiert [mm] $\delta>0$ [/mm] mit [mm] $f(B_{\delta}(x)\cap M)\subseteq B_{\varepsilon}(f(x))\subseteq [/mm] U$. Versuche jetzt die Behauptung zu zeigen, indem Du als $V$ die Vereinigung aller moeglichen [mm] $B_{\delta}(x)$ [/mm] waehlst...
Solltest Du noch unsicher sein, dann koenntest Du vielleicht einmal Deinen Beweisversuch zeigen; dann laesst sich leichter helfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Fr 30.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]M \subset \IR[/mm] und [mm]f: M \to \IR[/mm] eine Abbildung.
> Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
> (i) f ist stetig
> (ii) Zu jeder offenen Teilmenge[mm] U \subset \IR[/mm] existiert
> eine offene Teilmenge [mm]V \subset \IR,[/mm] so dass [mm]f^{-1}(U)= V \cap M[/mm].
> Es sei [mm] M \subset \IR[/mm] abgeschlossen, [mm]c \in \IR[/mm] und [mm]f: M \to \IR[/mm]
> sei eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die Menge [mm]N_c :=\{x \in M \mid f(x) \le c\}[/mm] abgeschlossen ist.
> Hallo zusammen,
>
> über die freien Tage wollte ich mich nochmal an ein paar
> Beweisaufgaben ranwagen, leider bisher ohne großen Erfolg.
> Ich sitze nun schon seit einiger Zeit an der oben genannten
> Aufgabe.
> Ich denke, dass ich den zweiten Aufgabenteil, mit Hilfe des
> ersten Teils lösen kann, jedoch muss ich dafür ja
> zunächst einmal den ersten Teil hinbekommen.
>
> Dazu meine Überlegungen, die mich allerdings bisher leider
> nicht wirklich weiter bringen:
> Für die Äquivalenz muss ich Hin- und Rückrichtung
> zeigen, also
> 1.) f ist stetig, U [mm]\subset \IR[/mm] offen, z.z. [mm]\exists[/mm] offene
> Teilmenge V [mm]\subset \IR,[/mm] so dass [mm]f^{-1}(U)=V \cap[/mm] M
> 2.) [mm]f^{-1}(U)[/mm] = V [mm]\cap[/mm] M mit U [mm]\subset \IR[/mm] und V [mm]\subset \IR[/mm]
> offen, z.z. f ist stetig.
>
> Leider bekomm ich das alles nicht so ganz auf die Reihe...
> Ich habe überlegt irgendwie 1 mit einer Folge versuchen
> zu zeigen.
> Also sei [mm](x_n)[/mm] konvergente Folge in [mm]f^{-1}(U)[/mm] mit
> Grenzwert [mm]\psi...[/mm]
> Wobei wenn ich das gerade so schreibe ist der Ansatz schon
> schwachsinn, oder? Weil wenn U ja offen ist, dann dürfte
> die Folge gar nicht konvergieren, oder?
Du solltest dir erst einmal klarmachen, was die übliche Definition der Stetigkeit mit offenen Mengen zu tun hat.
f ist stetig in [mm] $x_0$, [/mm] wenn es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] gibt, sodass
[mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm], wenn [mm] $|x-x_0|<\delta$.
[/mm]
Nun bedeutet [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm], dass $f(x)$ in einer [mm] $\varespilon$-Umgebung $U_\varepsilon(f(x_0))$ [/mm] liegt, und [mm] $|x-x_0|<\delta$, [/mm] dass x in einer [mm] $\delta$-Umgebung $U_\delta(x_0)$.
[/mm]
Mit diesen Umgebungen lautet die Definition der Stetigkeit also:
f ist stetig in [mm] $x_0$, [/mm] wenn es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] gibt, sodass
[mm] f(U_\delta(x_0)) \subset U_\varepsilon(f(x_0)) [/mm] .
Das kommt der gewünschten Aussage (ii) schon näher, allerdings nur für spezielle offene Mengen U (nämlich [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] von Punkten im Wertebereich von f). Jetzt musst du auf beliebige offene Mengen verallgemeinern. Tipp: jede offene Menge U enthält [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] um einen jeden ihrer Punkte.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Fr 30.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
Erst mal vielen Dank für die schnellen Antworten!
> f ist stetig in [mm]x_0[/mm], wenn es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein
> [mm]\delta>0[/mm] gibt, sodass
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm], wenn [mm]|x-x_0|<\delta[/mm].
>
> Nun bedeutet [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm], dass [mm]f(x)[/mm] in einer
> [mm]\varespilon[/mm]-Umgebung [mm]U_\varepsilon(f(x_0))[/mm] liegt, und
> [mm]|x-x_0|<\delta[/mm], dass x in einer [mm]\delta[/mm]-Umgebung
> [mm]U_\delta(x_0)[/mm].
>
> Mit diesen Umgebungen lautet die Definition der Stetigkeit
> also:
>
> f ist stetig in [mm]x_0[/mm], wenn es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein
> [mm]\delta>0[/mm] gibt, sodass
>
> [mm]f(U_\delta(x_0)) \subset U_\varepsilon(f(x_0))[/mm] .
>
Bis hierhin habe ich glaube ich alles verstanden!
> Jetzt musst du auf beliebige offene Mengen verallgemeinern.
> Tipp: jede offene Menge U enthält [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebungen
> um einen jeden ihrer Punkte.
Das bekomme ich allerdings noch nicht wirklich hin.
Mit hippias Vorschlag könnte ich doch jetzt folgendermaßen fortfahren
Nehme x [mm] \in f^{-1}(U). [/mm] Dann ist f(x) [mm] \in [/mm] U, welches nach Voraussetzung offen ist. Folglich existiert [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit [mm] B_{\varepsilon}(f(x)) \subset [/mm] U.
Nach der [mm] \varepsilon-\delta-Definition [/mm] der Stetigkeit existiert [mm] \delta [/mm] >0 mit [mm] f(B_{\delta}(x) \cap [/mm] M) [mm] \subset B_{\epsilon}(f(x)) \subset [/mm] U.
Den letzten Schritt verstehe ich allerdings noch nicht so ganz... Kann mir den nochmal jemand erläutern?
Und ich muss zugeben, dass ich damit immer noch zu keinem Ergebnis komme... :(
Aus dem letzten Schritt könnte ich ja theoretisch folgern, dass
[mm] B_{\delta}(x) \cap [/mm] M [mm] \subset f^{-1}(B_{\varepsilon}(f(x))) \subset f^{-1}(U) [/mm] ist, oder?
Aber nun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Fr 30.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Erst mal vielen Dank für die schnellen Antworten!
>
> > f ist stetig in [mm]x_0[/mm], wenn es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein
> > [mm]\delta>0[/mm] gibt, sodass
> >
> > [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm], wenn [mm]|x-x_0|<\delta[/mm].
> >
> > Nun bedeutet [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm], dass [mm]f(x)[/mm] in einer
> > [mm]\varespilon[/mm]-Umgebung [mm]U_\varepsilon(f(x_0))[/mm] liegt, und
> > [mm]|x-x_0|<\delta[/mm], dass x in einer [mm]\delta[/mm]-Umgebung
> > [mm]U_\delta(x_0)[/mm].
> >
> > Mit diesen Umgebungen lautet die Definition der Stetigkeit
> > also:
> >
> > f ist stetig in [mm]x_0[/mm], wenn es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein
> > [mm]\delta>0[/mm] gibt, sodass
> >
> > [mm]f(U_\delta(x_0)) \subset U_\varepsilon(f(x_0))[/mm] .
> >
>
> Bis hierhin habe ich glaube ich alles verstanden!
>
> > Jetzt musst du auf beliebige offene Mengen verallgemeinern.
> > Tipp: jede offene Menge U enthält [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebungen
> > um einen jeden ihrer Punkte.
>
> Das bekomme ich allerdings noch nicht wirklich hin.
> Mit hippias Vorschlag könnte ich doch jetzt
> folgendermaßen fortfahren
> Nehme x [mm]\in f^{-1}(U).[/mm] Dann ist f(x) [mm]\in[/mm] U, welches nach
> Voraussetzung offen ist. Folglich existiert [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> mit [mm]B_{\varepsilon}(f(x)) \subset[/mm] U.
> Nach der [mm]\varepsilon-\delta-Definition[/mm] der Stetigkeit
> existiert [mm]\delta[/mm] >0 mit [mm]f(B_{\delta}(x) \cap[/mm] M) [mm]\subset B_{\epsilon}(f(x)) \subset[/mm]
> U.
> Den letzten Schritt verstehe ich allerdings noch nicht so
> ganz... Kann mir den nochmal jemand erläutern?
>
> Und ich muss zugeben, dass ich damit immer noch zu keinem
> Ergebnis komme... :(
> Aus dem letzten Schritt könnte ich ja theoretisch
> folgern, dass
> [mm]B_{\delta}(x) \cap[/mm] M [mm]\subset f^{-1}(B_{\varepsilon}(f(x))) \subset f^{-1}(U)[/mm]
> ist, oder?
> Aber nun?
Genau richtig! Du hast [mm] $x\in B_{\delta}(x) \cap [/mm] M [mm] \subset f^{-1}(U)$. [/mm] Wie bereits angedeutet, fahre nun so fort: Sei $V:= [mm] \cup_{x\in f^{-1}(U)} B_{\delta(x)}(x)$ [/mm] (das [mm] $\delta$ [/mm] haengt ja auch von $x$ ab). Dieses $V$ hat die geforderten Eigenschaften, d.h. Du musst Dir ueberlegen, dass $V$ offen ist und die Beziehung [mm] $M\cap [/mm] V= [mm] f^{-1}(U)$ [/mm] erfuellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
> > Erst mal vielen Dank für die schnellen Antworten!
> >
> > > f ist stetig in [mm]x_0[/mm], wenn es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein
> > > [mm]\delta>0[/mm] gibt, sodass
> > >
> > > [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm], wenn [mm]|x-x_0|<\delta[/mm].
> > >
> > > Nun bedeutet [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm], dass [mm]f(x)[/mm] in einer
> > > [mm]\varespilon[/mm]-Umgebung [mm]U_\varepsilon(f(x_0))[/mm] liegt, und
> > > [mm]|x-x_0|<\delta[/mm], dass x in einer [mm]\delta[/mm]-Umgebung
> > > [mm]U_\delta(x_0)[/mm].
> > >
> > > Mit diesen Umgebungen lautet die Definition der Stetigkeit
> > > also:
> > >
> > > f ist stetig in [mm]x_0[/mm], wenn es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein
> > > [mm]\delta>0[/mm] gibt, sodass
> > >
> > > [mm]f(U_\delta(x_0)) \subset U_\varepsilon(f(x_0))[/mm] .
> > >
> >
> > Bis hierhin habe ich glaube ich alles verstanden!
> >
> > > Jetzt musst du auf beliebige offene Mengen verallgemeinern.
> > > Tipp: jede offene Menge U enthält [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebungen
> > > um einen jeden ihrer Punkte.
> >
> > Das bekomme ich allerdings noch nicht wirklich hin.
> > Mit hippias Vorschlag könnte ich doch jetzt
> > folgendermaßen fortfahren
> > Nehme x [mm]\in f^{-1}(U).[/mm] Dann ist f(x) [mm]\in[/mm] U, welches
> nach
> > Voraussetzung offen ist. Folglich existiert [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> > mit [mm]B_{\varepsilon}(f(x)) \subset[/mm] U.
> > Nach der [mm]\varepsilon-\delta-Definition[/mm] der Stetigkeit
> > existiert [mm]\delta[/mm] >0 mit [mm]f(B_{\delta}(x) \cap[/mm] M) [mm]\subset B_{\epsilon}(f(x)) \subset[/mm]
> > U.
> > Den letzten Schritt verstehe ich allerdings noch nicht so
> > ganz... Kann mir den nochmal jemand erläutern?
> >
> > Und ich muss zugeben, dass ich damit immer noch zu keinem
> > Ergebnis komme... :(
> > Aus dem letzten Schritt könnte ich ja theoretisch
> > folgern, dass
> > [mm]B_{\delta}(x) \cap[/mm] M [mm]\subset f^{-1}(B_{\varepsilon}(f(x))) \subset f^{-1}(U)[/mm]
> > ist, oder?
> > Aber nun?
> Genau richtig! Du hast [mm]x\in B_{\delta}(x) \cap M \subset f^{-1}(U)[/mm].
> Wie bereits angedeutet, fahre nun so fort: Sei [mm]V:= \cup_{x\in f^{-1}(U)} B_{\delta(x)}(x)[/mm]
> (das [mm]\delta[/mm] haengt ja auch von [mm]x[/mm] ab). Dieses [mm]V[/mm] hat die
> geforderten Eigenschaften, d.h. Du musst Dir ueberlegen,
> dass [mm]V[/mm] offen ist und die Beziehung [mm]M\cap V= f^{-1}(U)[/mm]
> erfuellt.
Ok, dass V auch offen ist, kann ich im Grunde aus diesem Satz folgern:
Ist [mm] U_i \subset \IR [/mm] offen für jedes i [mm] \in [/mm] I, I [mm] \not= \emptyset, [/mm] so ist [mm] \bigcup_{i \in I} U_i [/mm] offen.
denn [mm] B_{\delta(x)}(x) [/mm] ist ja offen und [mm] f^{-1}(U) \not= \emptyset [/mm] .
Aber wie zeige ich die Beziehung [mm] M\cap [/mm] V= [mm] f^{-1}(U)?
[/mm]
Oder bin ich nun auf dem Holzweg?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Sa 31.12.2011 | | Autor: | hippias |
>
> Ok, dass V auch offen ist, kann ich im Grunde aus diesem
> Satz folgern:
> Ist [mm]U_i \subset \IR[/mm] offen für jedes i [mm]\in[/mm] I, I [mm]\not= \emptyset,[/mm]
> so ist [mm]\bigcup_{i \in I} U_i[/mm] offen.
Richtig.
> denn [mm]B_{\delta(x)}(x)[/mm] ist ja offen und [mm]f^{-1}(U) \not= \emptyset[/mm]
>
Uebrigens: Wie koennte man $V$ waehlen, wenn [mm] $f^{-1}(U)= \emptyset$ [/mm] waere?
>
> Aber wie zeige ich die Beziehung [mm]M\cap[/mm] V= [mm]f^{-1}(U)?[/mm]
>
> Oder bin ich nun auf dem Holzweg?!
Neinnein, bist Du nicht. Zeige, dass die linke Seite in der rechten enthalten ist und umgekehrt. Z.B. Sei [mm] $x\in V\cap [/mm] M$. Nach Definition von $V$ existiert [mm] $y\in f^{-1}(U)$ [/mm] so, dass [mm] $x\in B_{\delta(y)}(y)$. [/mm] Nach Konstruktion von [mm] $B_{\delta(y)}(y)$ [/mm] folgt [mm] $f(...)\in [/mm] U$ und damit [mm] $x\in [/mm] ...$.
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 01.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
Erstmal ein frohes neues jahr :)
> >
> > Ok, dass V auch offen ist, kann ich im Grunde aus diesem
> > Satz folgern:
> > Ist [mm]U_i \subset \IR[/mm] offen für jedes i [mm]\in[/mm] I, I [mm]\not= \emptyset,[/mm]
> > so ist [mm]\bigcup_{i \in I} U_i[/mm] offen.
> Richtig.
>
> > denn [mm]B_{\delta(x)}(x)[/mm] ist ja offen und [mm]f^{-1}(U) \not= \emptyset[/mm]
> >
> Uebrigens: Wie koennte man [mm]V[/mm] waehlen, wenn [mm]f^{-1}(U)= \emptyset[/mm]
> waere?
Wenn man V= [mm] \emptyset [/mm] wählen würde, dann wäre [mm] f^{-1}(U)= \emptyset, [/mm] oder?
> >
> > Aber wie zeige ich die Beziehung [mm]M\cap[/mm] V= [mm]f^{-1}(U)?[/mm]
> >
> > Oder bin ich nun auf dem Holzweg?!
> Neinnein, bist Du nicht. Zeige, dass die linke Seite in
> der rechten enthalten ist und umgekehrt. Z.B. Sei [mm]x\in V\cap M[/mm].
> Nach Definition von [mm]V[/mm] existiert [mm]y\in f^{-1}(U)[/mm] so, dass
> [mm]x\in B_{\delta(y)}(y)[/mm]. Nach Konstruktion von
> [mm]B_{\delta(y)}(y)[/mm] folgt [mm]f(...)\in U[/mm] und damit [mm]x\in ...[/mm].
> >
Sei [mm]x\in V\cap M[/mm].
Nach Definition von [mm]V[/mm] existiert [mm]y\in f^{-1}(U)[/mm] so, dass
[mm]x\in B_{\delta(y)}(y)[/mm]. Nach Konstruktion von
[mm]B_{\delta(y)}(y)[/mm] folgt [mm]f(x)\in U[/mm] und damit [mm]x\in f^{-1}(U)[/[/mm].
So?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mo 02.01.2012 | | Autor: | hippias |
Genau.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
> Genau.
Ok, dann habe ich nun gezeigt, dass M [mm] \cap [/mm] V [mm] \subset f^{-1} [/mm] (U) ist. Fehlt also nun noch für die Richtung, dass M [mm] \cap [/mm] V [mm] \supset f^{-1} [/mm] (U).
Und die Rückrichtung von (ii) nach (i), wenn ich alles richtig verstanden habe, oder?
Für M [mm] \cap [/mm] V [mm] \supset f^{-1} [/mm] (U) fange ich also an mit
Sei x [mm] \in [/mm] M [mm] f^{-1} [/mm] (U) und muss dann irgendwie darauf kommen, dass x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] V ist. Wie ich das mache ist mir allerdings noch ein Rätsel...
Oder sollte man besser einen Widerspruchsbeweis machen? Also annehmen, dass Sei x [mm] \in [/mm] M [mm] f^{-1} [/mm] (U) und [mm] x\not\in [/mm] M [mm] \cap [/mm] V und das ganze dann zu einem Widerspruch führen?
Für die Rückrichtung, also von (ii) nach (i) muss ich im Grunde das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] zeigen, kann das sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mo 02.01.2012 | | Autor: | hippias |
> > Genau.
>
> Ok, dann habe ich nun gezeigt, dass M [mm]\cap[/mm] V [mm]\subset f^{-1}[/mm]
> (U) ist. Fehlt also nun noch für die Richtung, dass M [mm]\cap[/mm]
> V [mm]\supset f^{-1}[/mm] (U).
> Und die Rückrichtung von (ii) nach (i), wenn ich alles
> richtig verstanden habe, oder?
>
> Für M [mm]\cap[/mm] V [mm]\supset f^{-1}[/mm] (U) fange ich also an mit
> Sei x [mm]\in[/mm] M [mm]f^{-1}[/mm] (U) und muss dann irgendwie darauf
> kommen, dass x [mm]\in[/mm] M [mm]\cap[/mm] V ist. Wie ich das mache ist mir
> allerdings noch ein Rätsel...
> Oder sollte man besser einen Widerspruchsbeweis machen?
> Also annehmen, dass Sei x [mm]\in[/mm] M [mm]f^{-1}[/mm] (U) und [mm]x\not\in[/mm] M
> [mm]\cap[/mm] V und das ganze dann zu einem Widerspruch führen?
Halb so schlimm: Wenn Du Dir nocheinmal die Konstruktion von $V$ bzw. der [mm] $B_{\delta(x)}(x)$ [/mm] anschaust, dann siehst Du, dass wir [mm] $x\in f^{-1}(U)$ [/mm] beliebig gewaehlt hatten, und dass [mm] $x\in M\cap B_{\delta(x)}(x)\subseteq M\cap [/mm] V$ automatisch erfuellt war.
>
> Für die Rückrichtung, also von (ii) nach (i) muss ich im
> Grunde das [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium[/mm] zeigen, kann das
> sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
> Halb so schlimm: Wenn Du Dir nocheinmal die Konstruktion
> von [mm]V[/mm] bzw. der [mm]B_{\delta(x)}(x)[/mm] anschaust, dann siehst Du,
> dass wir [mm]x\in f^{-1}(U)[/mm] beliebig gewaehlt hatten, und dass
> [mm]x\in M\cap B_{\delta(x)}(x)\subseteq M\cap V[/mm] automatisch
> erfuellt war.
>
Oh, das ist wohl wahr... :) Also hab ich nun gezeigt, dass aus f stetig folgt: Zu jeder offenen Teilmenge U [mm] \subset \IR [/mm] existiert eine offene Teilmenge V [mm] \subset \IR, [/mm] so dass [mm] f^{-1}(U) [/mm] = V [mm] \cap [/mm] M
Jetzt muss ich noch die Rückrichtung zeigen, weil ich ja die Äquivalenz zeigen soll.
Ok, dazu habe ich folgende Überlegungen, die allerdings vermutlich noch in vernünftige Form und vor allem verfeinert werden müssen.
Ich will das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium zeigen. Dazu würde ich jetzt U definieren (vielleicht U:={y [mm] \in \IR [/mm] | [mm] |y-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon}. [/mm] Da U offen ist, ist [mm] f^{-1}(U) [/mm] auch offen (das ist ja die Voraussetzung.
[mm] f(x_0) \in [/mm] U, und daher ist [mm] x_0 \in f^{-1}(U) [/mm] und daraus folgt ja im Grunde, dass [mm] x_0 [/mm] innerer Punkt von [mm] f^{-1}(U) [/mm] ist.
=> [mm] \exists \delta [/mm] >0: {z [mm] \in \IR [/mm] | [mm] |z-x_0| [/mm] < [mm] \delta} \subset f^{-1}(U)
[/mm]
also existiert [mm] \delta, [/mm] so dass gilt:
z [mm] \in f^{-1}(U), [/mm] also f(z) [mm] \in [/mm] U
Und eigentlich hätte ich das Kriterium gezeigt, oder? Aber reicht das als Beweis?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Di 03.01.2012 | | Autor: | hippias |
> > Halb so schlimm: Wenn Du Dir nocheinmal die Konstruktion
> > von [mm]V[/mm] bzw. der [mm]B_{\delta(x)}(x)[/mm] anschaust, dann siehst Du,
> > dass wir [mm]x\in f^{-1}(U)[/mm] beliebig gewaehlt hatten, und dass
> > [mm]x\in M\cap B_{\delta(x)}(x)\subseteq M\cap V[/mm] automatisch
> > erfuellt war.
> >
>
> Oh, das ist wohl wahr... :) Also hab ich nun gezeigt, dass
> aus f stetig folgt: Zu jeder offenen Teilmenge U [mm]\subset \IR[/mm]
> existiert eine offene Teilmenge V [mm]\subset \IR,[/mm] so dass
> [mm]f^{-1}(U)[/mm] = V [mm]\cap[/mm] M
>
> Jetzt muss ich noch die Rückrichtung zeigen, weil ich ja
> die Äquivalenz zeigen soll.
> Ok, dazu habe ich folgende Überlegungen, die allerdings
> vermutlich noch in vernünftige Form und vor allem
> verfeinert werden müssen.
> Ich will das [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
- Kriterium zeigen. Dazu
> würde ich jetzt U definieren (vielleicht U:={y [mm]\in \IR[/mm] |
> [mm]|y-f(x_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon}.[/mm] Da U offen ist, ist [mm]f^{-1}(U)[/mm]
> auch offen (das ist ja die Voraussetzung.
> [mm]f(x_0) \in[/mm] U, und daher ist [mm]x_0 \in f^{-1}(U)[/mm] und daraus
> folgt ja im Grunde, dass [mm]x_0[/mm] innerer Punkt von [mm]f^{-1}(U)[/mm]
> ist.
> => [mm]\exists \delta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>0: {z [mm]\in \IR[/mm] | [mm]|z-x_0|[/mm] < [mm]\delta} \subset f^{-1}(U)[/mm]
>
> also existiert [mm]\delta,[/mm] so dass gilt:
> z [mm]\in f^{-1}(U),[/mm] also f(z) [mm]\in[/mm] U
> Und eigentlich hätte ich das Kriterium gezeigt, oder?
> Aber reicht das als Beweis?
Ich haette keine Einwaende. Gut gemacht!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Di 03.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
Oh super :) Vielen, lieben Dank!
Dann kann ich mich nun an den 2. Aufgabenteil wagen :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Di 03.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
"Es sei M [mm] \subset \IR [/mm] abgeschlossen, c [mm] \in \IR [/mm] und f: M [mm] \to \IR [/mm] sei eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die Menge [mm] N_c:={x \in M | f(x) \le c} [/mm] abgeschlossen ist."
So, habe mich nun mal an diesen Aufgabenteil gewagt.
Eigentlich hätte ich gedacht, dass ich die erste Aufgabe verwenden kann, denn daher wissen wir ja f stetig [mm] \rightarrow [/mm] Zu jeder offenen Teilmenge U [mm] \subset \IR [/mm] existiert eine offene Teilmenge V [mm] \subset \IR, [/mm] so dass [mm] f^{-1}(U) [/mm] = V [mm] \cap [/mm] M.
Aber so ganz bekomme ich das mit der Verwendung nicht hin.
Stattdessen habe ich mir überlegt, dass [mm] N_c \subset [/mm] M ist, weil dor ja x [mm] \in [/mm] M genommen werden. Gleichzeitig kam mir aber auch der Gedanke, dass [mm] N_c \subset f^{-1}(M) [/mm] ist, ist das möglich? Also dass [mm] N_c [/mm] sowohl [mm] \subset [/mm] M als auch [mm] f^{-1}(M) [/mm] ist? Oder wo ist mein Denkfehler?
wenn ich davon ausgehe, dass [mm] N_c \subset f^{-1}(M) [/mm]
Dann könnte ich ja im Grunde auch zeigen, dass [mm] f^{-1}(M) [/mm] abgeschlossen ist, weil dann wäre [mm] N_c [/mm] auch abgeschlossen, oder?
Dann hätte ich also f stetig, M [mm] \subset \IR [/mm] abgeschlossen und müsste zeigen, dass dann [mm] f^{-1}(M) [/mm] abgeschlossen ist.
So etwas ähnliches habe ich letzte Jahr schonmal beweisen müssen und habe mal versucht das Ganze irgendwie zu übertragen, und zwar wie folgt:
Sei [mm] (x_n) [/mm] konvergente Folge in [mm] f^{-1}(M); \alpha [/mm] := lim [mm] x_n \in \IR
[/mm]
Dann [mm] \alpha \in f^{-1}(M), [/mm] denn
Wegen der Stetigkeit [mm] f(x_n) \to f(\alpha) \Rightarrow f(\alpha) \in [/mm] M, da M abgeschlossen [mm] \Rightarrow \alpha \in f^{-1}(M)
[/mm]
Und damit habe ich dann gezeigt, dass [mm] f^{-1}(M) [/mm] abgeschlossen ist? Und somit dann auch [mm] N_c?
[/mm]
Ich bin gespannt auf eure Antworten! Vielen Dank schonmal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Di 03.01.2012 | | Autor: | hippias |
> "Es sei M [mm]\subset \IR[/mm] abgeschlossen, c [mm]\in \IR[/mm] und f: M [mm]\to \IR[/mm]
> sei eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die Menge
> [mm]N_c:={x \in M | f(x) \le c}[/mm] abgeschlossen ist."
>
> So, habe mich nun mal an diesen Aufgabenteil gewagt.
> Eigentlich hätte ich gedacht, dass ich die erste Aufgabe
> verwenden kann, denn daher wissen wir ja f stetig
> [mm]\rightarrow[/mm] Zu jeder offenen Teilmenge U [mm]\subset \IR[/mm]
> existiert eine offene Teilmenge V [mm]\subset \IR,[/mm] so dass
> [mm]f^{-1}(U)[/mm] = V [mm]\cap[/mm] M.
> Aber so ganz bekomme ich das mit der Verwendung nicht hin.
> Stattdessen habe ich mir überlegt, dass [mm]N_c \subset[/mm] M ist,
> weil dor ja x [mm]\in[/mm] M genommen werden. Gleichzeitig kam mir
> aber auch der Gedanke, dass [mm]N_c \subset f^{-1}(M)[/mm] ist, ist
> das möglich? Also dass [mm]N_c[/mm] sowohl [mm]\subset[/mm] M als auch
> [mm]f^{-1}(M)[/mm] ist? Oder wo ist mein Denkfehler?
Das ist wohlmoeglich, doch weiss ich nicht, ob das helfen wird.
>
> wenn ich davon ausgehe, dass [mm]N_c \subset f^{-1}(M)[/mm]
> Dann könnte ich ja im Grunde auch zeigen, dass [mm]f^{-1}(M)[/mm]
> abgeschlossen ist, weil dann wäre [mm]N_c[/mm] auch abgeschlossen,
> oder?
Nein, eine beliebige Teilmenge einer abgeschlossenen Menge muss keineswegs abgeschlossen sein.
>
> Dann hätte ich also f stetig, M [mm]\subset \IR[/mm] abgeschlossen
> und müsste zeigen, dass dann [mm]f^{-1}(M)[/mm] abgeschlossen ist.
>
> So etwas ähnliches habe ich letzte Jahr schonmal beweisen
> müssen und habe mal versucht das Ganze irgendwie zu
> übertragen, und zwar wie folgt:
>
> Sei [mm](x_n)[/mm] konvergente Folge in [mm]f^{-1}(M); \alpha[/mm] := lim [mm]x_n \in \IR[/mm]
>
> Dann [mm]\alpha \in f^{-1}(M),[/mm] denn
> Wegen der Stetigkeit [mm]f(x_n) \to f(\alpha) \Rightarrow f(\alpha) \in[/mm]
> M, da M abgeschlossen [mm]\Rightarrow \alpha \in f^{-1}(M)[/mm]
>
> Und damit habe ich dann gezeigt, dass [mm]f^{-1}(M)[/mm]
> abgeschlossen ist? Und somit dann auch [mm]N_c?[/mm]
>
> Ich bin gespannt auf eure Antworten! Vielen Dank schonmal!
Du kannst eigentlich ganz gut die erste Uebungsaufgabe anwenden, wenn Du mit Komplementen arbeitest (denn eine Menge ist ja genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist).
Also offensichtlich ist ja [mm] $\IR\setminus N_c=\{x \in M | f(x) > c\}$. [/mm] Versuche diese Menge als [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] auszudruecken, wobei das $U$ moeglichst offen sein sollte. Die vorherige Uebung liefert Dir dann das gewuenschte.
Es geht aber auch mit Folgen: Nimm eine konvergente Folge [mm] $(x_{n})$ [/mm] von Elementen aus [mm] $N_{c}$ [/mm] und zeige, dass dann auch [mm] $f(\alpha)\leq [/mm] c$ ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Di 03.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
> > "Es sei M [mm]\subset \IR[/mm] abgeschlossen, c [mm]\in \IR[/mm] und f: M [mm]\to \IR[/mm]
> > sei eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die Menge
> > [mm]N_c:={x \in M | f(x) \le c}[/mm] abgeschlossen ist."
> >
> > So, habe mich nun mal an diesen Aufgabenteil gewagt.
> > Eigentlich hätte ich gedacht, dass ich die erste Aufgabe
> > verwenden kann, denn daher wissen wir ja f stetig
> > [mm]\rightarrow[/mm] Zu jeder offenen Teilmenge U [mm]\subset \IR[/mm]
> > existiert eine offene Teilmenge V [mm]\subset \IR,[/mm] so dass
> > [mm]f^{-1}(U)[/mm] = V [mm]\cap[/mm] M.
> > Aber so ganz bekomme ich das mit der Verwendung nicht hin.
> > Stattdessen habe ich mir überlegt, dass [mm]N_c \subset[/mm] M ist,
> > weil dor ja x [mm]\in[/mm] M genommen werden. Gleichzeitig kam mir
> > aber auch der Gedanke, dass [mm]N_c \subset f^{-1}(M)[/mm] ist, ist
> > das möglich? Also dass [mm]N_c[/mm] sowohl [mm]\subset[/mm] M als auch
> > [mm]f^{-1}(M)[/mm] ist? Oder wo ist mein Denkfehler?
> Das ist wohlmoeglich, doch weiss ich nicht, ob das helfen
> wird.
>
> >
> > wenn ich davon ausgehe, dass [mm]N_c \subset f^{-1}(M)[/mm]
> > Dann könnte ich ja im Grunde auch zeigen, dass [mm]f^{-1}(M)[/mm]
> > abgeschlossen ist, weil dann wäre [mm]N_c[/mm] auch abgeschlossen,
> > oder?
> Nein, eine beliebige Teilmenge einer abgeschlossenen Menge
> muss keineswegs abgeschlossen sein.
> >
> > Dann hätte ich also f stetig, M [mm]\subset \IR[/mm] abgeschlossen
> > und müsste zeigen, dass dann [mm]f^{-1}(M)[/mm] abgeschlossen ist.
> >
> > So etwas ähnliches habe ich letzte Jahr schonmal beweisen
> > müssen und habe mal versucht das Ganze irgendwie zu
> > übertragen, und zwar wie folgt:
> >
> > Sei [mm](x_n)[/mm] konvergente Folge in [mm]f^{-1}(M); \alpha[/mm] := lim [mm]x_n \in \IR[/mm]
>
> >
> > Dann [mm]\alpha \in f^{-1}(M),[/mm] denn
> > Wegen der Stetigkeit [mm]f(x_n) \to f(\alpha) \Rightarrow f(\alpha) \in[/mm]
> > M, da M abgeschlossen [mm]\Rightarrow \alpha \in f^{-1}(M)[/mm]
> >
>
> > Und damit habe ich dann gezeigt, dass [mm]f^{-1}(M)[/mm]
> > abgeschlossen ist? Und somit dann auch [mm]N_c?[/mm]
> >
> > Ich bin gespannt auf eure Antworten! Vielen Dank schonmal!
> Du kannst eigentlich ganz gut die erste Uebungsaufgabe
> anwenden, wenn Du mit Komplementen arbeitest (denn eine
> Menge ist ja genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement
> offen ist).
Stimmt, das leuchtet mir ein und ich habe sogar den entsprechenden Satz in unserem Skript gefunden :)
> Also offensichtlich ist ja [mm]\IR\setminus N_c=\{x \in M | f(x) > c\}[/mm].
Auch das verstehe ich!
> Versuche diese Menge als [mm]f^{-1}(U)[/mm] auszudruecken, wobei das
> [mm]U[/mm] moeglichst offen sein sollte.
Kann ich nicht einfach sagen, dass [mm] f^{-1}(U) [/mm] = [mm] {x\in M | f(x) > c} [/mm] ist? Die Menge ist dann auf jeden Fall ja schonmal offen.
Mir ist allerdings noch nicht so ganz klar, was dann U ist...
Erst kam mir der Gedanke, dass U=M ist, aber das ist ja schwachsinn, weil U abgeschlossen ist... Natürlich wäre [mm] \IR \backslash [/mm] M dann offen, aber das käme für U dann auch nicht in Frage...
> Die vorherige Uebung
> liefert Dir dann das gewuenschte.
>
> Es geht aber auch mit Folgen: Nimm eine konvergente Folge
> [mm](x_{n})[/mm] von Elementen aus [mm]N_{c}[/mm] und zeige, dass dann auch
> [mm]f(\alpha)\leq c[/mm] ist
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 03.01.2012 | | Autor: | hippias |
Gut, soweit.
> > Versuche diese Menge als [mm]f^{-1}(U)[/mm] auszudruecken, wobei das
> > [mm]U[/mm] moeglichst offen sein sollte.
>
> Kann ich nicht einfach sagen, dass [mm]f^{-1}(U)[/mm] = [mm]{x\in M | f(x) > c}[/mm]
> ist? Die Menge ist dann auf jeden Fall ja schonmal offen.
> Mir ist allerdings noch nicht so ganz klar, was dann U
> ist...
An diesem Punkt ist es schwierig einen Tip zu geben ohne die Loesung zu verraten. Sei es drum: Weise nach, dass [mm] $\{x\in M | f(x) > c\}= f^{-1}((c,\infty))$ [/mm] ist,also $U$ das offene Intervall von $c$ aufwaerts.
> Erst kam mir der Gedanke, dass U=M ist, aber das ist ja
> schwachsinn, weil U abgeschlossen ist... Natürlich wäre
> [mm]\IR \backslash[/mm] M dann offen, aber das käme für U dann
> auch nicht in Frage...
>
> > Die vorherige Uebung
> > liefert Dir dann das gewuenschte.
> >
> > Es geht aber auch mit Folgen: Nimm eine konvergente Folge
> > [mm](x_{n})[/mm] von Elementen aus [mm]N_{c}[/mm] und zeige, dass dann auch
> > [mm]f(\alpha)\leq c[/mm] ist
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 03.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
> An diesem Punkt ist es schwierig einen Tip zu geben ohne
> die Loesung zu verraten. Sei es drum: Weise nach, dass
> [mm]\{x\in M | f(x) > c\}= f^{-1}((c,\infty))[/mm] ist,also [mm]U[/mm] das
> offene Intervall von [mm]c[/mm] aufwaerts.
Hm wie ich das ganze vernünftig nachweisen kann, weiß ich nicht, aber ich habe glaube ich schonmal verstanden, dass [mm] \{x\in M | f(x) > c\}= f^{-1}((c,\infty)) [/mm] ist.
Weil was wir wissen ist ja auf jedenfall, dass f stetig ist und f(x) > c laut Voraussetzung...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Di 03.01.2012 | | Autor: | hippias |
> > An diesem Punkt ist es schwierig einen Tip zu geben ohne
> > die Loesung zu verraten. Sei es drum: Weise nach, dass
> > [mm]\{x\in M | f(x) > c\}= f^{-1}((c,\infty))[/mm] ist,also [mm]U[/mm] das
> > offene Intervall von [mm]c[/mm] aufwaerts.
>
> Hm wie ich das ganze vernünftig nachweisen kann, weiß ich
> nicht, aber ich habe glaube ich schonmal verstanden, dass
> [mm]\{x\in M | f(x) > c\}= f^{-1}((c,\infty))[/mm] ist.
> Weil was wir wissen ist ja auf jedenfall, dass f stetig
> ist und f(x) > c laut Voraussetzung...
Die Gleichung [mm] $\{x\in M | f(x) > c\}= f^{-1}((c,\infty))$ [/mm] ergibt sich ziemlich direkt aus der Definition des Urbildes: [mm] $x\in f^{-1}((c,\infty))\iff [/mm] ...$. Oder habe ich Deine Frage missverstanden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 03.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
> Die Gleichung [mm]\{x\in M | f(x) > c\}= f^{-1}((c,\infty))[/mm]
> ergibt sich ziemlich direkt aus der Definition des
> Urbildes: [mm]x\in f^{-1}((c,\infty))\iff ...[/mm]. Oder habe ich
> Deine Frage missverstanden?
Da komm ich grad nicht wirklich mit...
Also mal langsam für Dummis wie mich...
Das Urbild ist allgemein definiert als [mm] f^{-1}(N):=\{x \in A | f(x) \in N \} [/mm] für eine Abbildung f: A [mm] \to [/mm] B, x [mm] \mapsto [/mm] f(x) und N [mm] \subset [/mm] B.
Ah und unser N ist dann ja offensichtlich das Intervall [mm] (c,\infty), [/mm] nicht?
Ich glaub ich habs verstanden :D Hat nur was länger gedauert, als bei anderen ^^
Das war auch im Grunde das, was ich mir vorher überlegt hatte (natürlich nicht so formal korrekt), nur nicht wirklich formulieren konnte...
Aber nochmal zur Vollständigkeit meiner Lösung, in der Hoffnung, dass ich wirklich alles verstanden habe, wie ich gerade denke ...
M [mm] \subset \IR [/mm] abgeschlossen, c [mm] \in \IR [/mm] und f: M [mm] \to \IR [/mm] stetig
z.z. [mm] N_c [/mm] := [mm] \{x \in M | f(x) \le c \} [/mm] abgeschlossen
Wir wissen: eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Offensichtlich ist [mm] \IR \backslash N_c=\{x \in M | f(x) > c \} [/mm] offen.
Sei nun [mm] f^{-1}(U) [/mm] := [mm] \{x \M | f(x) > c \}, [/mm] wobei U= (c, [mm] \infty) [/mm] trivialerweise offen.
Dann folgt mit Aufgabenteil 1, dass [mm] N_c [/mm] abgeschlossen.
Wäre das eine hinreichende Lösung der Aufgabe? Oder sollte ich noch etwas wichtiges ergänzen bzw. ändern?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Di 03.01.2012 | | Autor: | hippias |
> > Die Gleichung [mm]\{x\in M | f(x) > c\}= f^{-1}((c,\infty))[/mm]
> > ergibt sich ziemlich direkt aus der Definition des
> > Urbildes: [mm]x\in f^{-1}((c,\infty))\iff ...[/mm]. Oder habe ich
> > Deine Frage missverstanden?
>
> Da komm ich grad nicht wirklich mit...
> Also mal langsam für Dummis wie mich...
> Das Urbild ist allgemein definiert als [mm]f^{-1}(N):=\{x \in A | f(x) \in N \}[/mm]
> für eine Abbildung f: A [mm]\to[/mm] B, x [mm]\mapsto[/mm] f(x) und N
> [mm]\subset[/mm] B.
>
> Ah und unser N ist dann ja offensichtlich das Intervall
> [mm](c,\infty),[/mm] nicht?
>
> Ich glaub ich habs verstanden :D Hat nur was länger
> gedauert, als bei anderen ^^
>
Gut soweit.
> Das war auch im Grunde das, was ich mir vorher überlegt
> hatte (natürlich nicht so formal korrekt), nur nicht
> wirklich formulieren konnte...
>
> Aber nochmal zur Vollständigkeit meiner Lösung, in der
> Hoffnung, dass ich wirklich alles verstanden habe, wie ich
> gerade denke ...
>
> M [mm]\subset \IR[/mm] abgeschlossen, c [mm]\in \IR[/mm] und f: M [mm]\to \IR[/mm]
> stetig
> z.z. [mm]N_c[/mm] := [mm]\{x \in M | f(x) \le c \}[/mm] abgeschlossen
>
> Wir wissen: eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn
> ihr Komplement offen ist.
>
> Offensichtlich ist [mm]\IR \backslash N_c=\{x \in M | f(x) > c \}[/mm]
> offen.
Naja, das ist nicht offensichtlich, denn schliesslich haben wir uns das ja waehrend der letzten Tage muehselig hergeleitet.
>
> Sei nun [mm]f^{-1}(U)[/mm] := [mm]\{x \M | f(x) > c \},[/mm] wobei U= (c,
> [mm]\infty)[/mm] trivialerweise offen.
> Dann folgt mit Aufgabenteil 1, dass [mm]N_c[/mm] abgeschlossen.
>
> Wäre das eine hinreichende Lösung der Aufgabe? Oder
> sollte ich noch etwas wichtiges ergänzen bzw. ändern?
Im Grunde scheinst Du alles wesentliche erwaehnt zu haben und ich denke Du wirst das alles schon nachvollziehbar aufschreiben; man koennte noch erwaehnen, dass [mm] $N_{c}= \IR\setminus f^{-1}(U)$ [/mm] ist, damit auch der kritischste Leser ueberzeugt ist, dass die Behauptung aus der Offenheit von [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] folgt. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
> > Aber nochmal zur Vollständigkeit meiner Lösung, in der
> > Hoffnung, dass ich wirklich alles verstanden habe, wie ich
> > gerade denke ...
> >
> > M [mm]\subset \IR[/mm] abgeschlossen, c [mm]\in \IR[/mm] und f: M [mm]\to \IR[/mm]
> > stetig
> > z.z. [mm]N_c[/mm] := [mm]\{x \in M | f(x) \le c \}[/mm] abgeschlossen
> >
> > Wir wissen: eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn
> > ihr Komplement offen ist.
> >
> > Offensichtlich ist [mm]\IR \backslash N_c=\{x \in M | f(x) > c \}[/mm]
> > offen.
> Naja, das ist nicht offensichtlich, denn schliesslich
> haben wir uns das ja waehrend der letzten Tage muehselig
> hergeleitet.
Mir erscheinen viele Sachen nicht so trivial oder offensichtlich, wie andere sie sehen ;)
Aber im ernst:
Ich habe in meinem Skript folgenden Satz:
M [mm] \subset \IR [/mm] ist abgeschlossen [mm] \gdw M^c= \IR \backslash [/mm] M ist offen.
Ist es dann nicht offensichtlich? (wobei, wir sollen ja zeigen, dass [mm] N_c [/mm] abgeschlossen ist... hm...)
Also vielleicht besser nur: Offensichtlich ist [mm] \IR \backslash N_c=\{x \in M | f(x) > c \}
[/mm]
Weil das ist doch offensichtlich, oder?
Und dann:
[mm] N_{c}= \IR\setminus f^{-1}(U), [/mm] also [mm] f^{-1}(U)[/mm] [/mm] := [mm]\{x \M | f(x) > c \}[/mm] offen, wobei U= (c, [mm] \infty) [/mm] trivialerweise offen.
Dann folgt mit Aufgabenteil 1, dass [mm]N_c[/mm] abgeschlossen.
So besser?
Jedenfalls vielen herzlichen Dank für deine geduldige Hilfe!!! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich habe nicht alles gelesen, aber um die Abgeschlossenheit von
$ [mm] N_c :=\{x \in M | f(x) \le c\} [/mm] $
zu zeigen, ist es einfacher mit Folgen zu arbeiten: nimm eine Konvergente Folge aus [mm] N_c [/mm] und zeige, dass ihr GW wieder zu [mm] N_c [/mm] gehört.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 03.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ...
> Für die Äquivalenz muss ich Hin- und Rückrichtung
> zeigen, also
> 1.) f ist stetig, U [mm]\subset \IR[/mm] offen, z.z. [mm]\exists[/mm] offene
> Teilmenge V [mm]\subset \IR,[/mm] so dass [mm]f^{-1}(U)=V \cap[/mm] M
> 2.) [mm]f^{-1}(U)[/mm] = V [mm]\cap[/mm] M mit U [mm]\subset \IR[/mm] und V [mm]\subset \IR[/mm]
> offen, z.z. f ist stetig.
>
> Leider bekomm ich das alles nicht so ganz auf die Reihe...
> Ich habe überlegt irgendwie 1 mit einer Folge versuchen
> zu zeigen.
> Also sei [mm](x_n)[/mm] konvergente Folge in [mm]f^{-1}(U)[/mm] mit
> Grenzwert [mm]\psi...[/mm]
> Wobei wenn ich das gerade so schreibe ist der Ansatz schon
> schwachsinn, oder?
warum? In metrischen Räumen ist, ohne das jetzt genau ausformulieren zu wollen, "Folgenstetigkeit" äquivalent zur [mm] $\epsilon-\delta$-Stetigkeit!
[/mm]
> Weil wenn U ja offen ist, dann dürfte
> die Folge gar nicht konvergieren, oder?
Diese Behauptung ist eher Schwachsinn: Was macht denn die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n:=1/2+1/n$ [/mm] welches sicher eine Folge im offenen Intervall $]-5,7[$ ist?
Wenn Du hier mit konvergenten Folgen arbeiten wollen würdest, würde ich aber intuitiv mit folgendem Wissen rangehen wollen:
Genau dann ist eine Menge in [mm] $\IR$ [/mm] offen, wenn sie das Komplement einer (in [mm] $\IR$) [/mm] abgeschlossenen Menge ist (sowas gilt allg. in metrischen Räumen). Und eine Menge [mm] $F\,$ [/mm] ist (in einem metrischen Raum, hier [mm] $(\IR,d_{|.|}))$ [/mm] genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge in [mm] $\blue{F}$, [/mm] die einen Grenzwert im betrachteten metrischen Raum (hier [mm] $\blue{\IR}$) [/mm] hat (d.h. nach Voraussetzung konvergiert eine solche Folge, hier, in [mm] $\IR\,,$ [/mm] und alle Folgenglieder sind Elemente aus [mm] $F\,$) [/mm] ZUSÄTZLICH erfüllt, dass der Grenzwert SOGAR, sowie es ja auch alle Folgenglieder getan, in [mm] $F\,$ [/mm] liegt!
Beispiele: $]0,1[$ ist offen - den Beweis erspare ich mir, ebenso wie der Beweis, dass $[0,1]$ abgeschlossen ist.
Allerdings ist das halboffene Intervall $[0,1[$ weder offen noch abgeschlossen. Ich schreibe nur mal, warum das nicht abgeschlossen sein kann:
Weil mit [mm] $a_n:=1-\frac{1}{n}$ [/mm] (für alle $n [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\}$) [/mm] sicherlich
$$0 [mm] \le a_n [/mm] < 1$$
für alle [mm] $n\,$ [/mm] gilt, die Folge aber gegen $1 [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert, jedoch $1 [mm] \notin [/mm] [0,1[$ ist. D.h. wir haben eine Folge in $F:=[0,1[$ gefunden, die in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert, der Grenzwert ist aber [mm] $\notin F\,.$ [/mm] Damit kann $[0,1[$ nicht abgeschlossen sein.
Nun gut: Das ganze sollte eigentlich nur dazu dienen, Deine obige falsche Behauptung klarzustellen. Der [mm] $\epsilon-\delta$-Weg [/mm] ist hier sicher angebrachter (zumal man später in topologischen Räumen eh mit "Umgebungen" und "Kugeln/Bällen" arbeitet).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
