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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 So 31.05.2009 | | Autor: | ownshake |
| Aufgabe | Wie zeige ich das diese Funktionen Stetig sind?
[mm] h(x_{1},x_{2},x_3) [/mm] = [mm] 2-x_{1}²-x_{2}²-x_3²
[/mm]
f(x) = 2-x² |
Ich weiß das Polynome ansich stetige Funktionen sind, weil sie beliebig oft differenzierbar sind und das Stetigkeit impliziert.
Aber wie zeige ich das?
Ich kenne Stetigkeit noch in Verbindung mit linken und rechten Grenzwert, aber ich wüsste garnicht an welcher Stelle man das machen sollte, da keine Stelle in der Aufgabe vorgegeben ist.
Wäre nett wenn mir jemand helfen kann.
LG
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Hallo ownshake,
> Wie zeige ich das diese Funktionen Stetig sind?
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> [mm]h(x_{1},x_{2},x_3)[/mm] = [mm]2-x_{1}²-x_{2}²-x_3²[/mm]
>
> f(x) = 2-x²
> Ich weiß das Polynome ansich stetige Funktionen sind, weil
> sie beliebig oft differenzierbar sind und das Stetigkeit
> impliziert.
Ja, das wäre die übliche Begrüngung, die ja daraus folgt, dass die Funktionen $F(x)=x, \ G(x)=1$ stetig sind und aus den Rechenregeln für das Produkt und die Summe stetiger Funktionen.
Genau aus diesem Grunde beweist man diese Sätze in der VL, damit man das nicht immer im einzelnen nachrechnen muss 
> Aber wie zeige ich das?
> Ich kenne Stetigkeit noch in Verbindung mit linken und
> rechten Grenzwert, aber ich wüsste garnicht an welcher
> Stelle man das machen sollte, da keine Stelle in der
> Aufgabe vorgegeben ist.
> Wäre nett wenn mir jemand helfen kann.
Bei der zweiten, also [mm] $h(x)=2-x^2$ [/mm] kannst du das über die [mm] $\varepsilon/\delta$ [/mm] - Definition der Stetigkeit beweisen.
Gib dir eine bel. Stelle [mm] $x_0\in \IR$ [/mm] und ein bel. [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vor und konstruiere ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass für [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] gefälligst [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ [/mm] ist.
Dazu schaue dir mal den Betrag [mm] $|f(x)-f(x_0)|$ [/mm] an, schreibe das ein bisschen um und schätze ab ...
Bei der ersten kannst du das prinzipiell genauso machen, nur musst du anstatt des Betrages eine Metrik im [mm] $\IR^3$ [/mm] hernehmen ...
Oder du machst es alternativ über das Folgenkriterium:
$h$ ist stetig in [mm] $\vec{x}_0=\vektor{x^0_1\\x^0_2\\x^0_3} [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] $ für jede Folge [mm] $(\vec{x}_n)_{n\in\IN}=\left(\vektor{x^n_1\\x^n_2\\x^n_3}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] gilt [mm] $h(\vec{x}_n)\longrightarrow h(\vec{x}_0)$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
> LG
Gruß
schachuzipus
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