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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Galboa |
| Aufgabe | Zeige dass die Funktion f:R -> R gegeben durch:
(a) [mm] f(x)=\begin{cases} e^{-1/x}, & \mbox x > 0 \\ 0, & \mbox x {\le 0} \end{cases}
[/mm]
(b) [mm] f(x)=\begin{cases} \wurzel{ x^2+1}, & \mbox x {\not= 0} \\ 0, & \mbox x {= 0} \end{cases}
[/mm]
stetig ist |
Naja ich war letzte Woche krank und jetzt steh ich mit nem großen Fragezeichen vor den 2 Aufgaben.
Ich hab leider keinerlei Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Meine erste Idee war es zu schauen ob die Funktion für f(0) stetig ist.
a) f(0)=0
[mm] \limes_{x\rightarrow\00^-}= e^{-1/0} [/mm] = 1 / [mm] e^{1/0} [/mm] = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\00^+} [/mm] = 0
Würde ja bedeuten f ist stetig im Punkt 0 aber das heißt ja noch lange nicht, dass es in jedem Punkt stetig ist.
Aber eigentlich ist ja die Exponentialfunktion in jedem Punkt von [mm] \IR [/mm] stetig.
Wenn a [mm] \in \IR [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] -> a eine konvergente Folge ist
Dann gilt ja: [mm] exp(a_{n})= exp(a_{n}- [/mm] a + a) = [mm] exp(a_{n}- a)\*exp(a)
[/mm]
Und da [mm] exp(a_{n}- [/mm] a) gegen eins geht (weil [mm] a_{n}- [/mm] a eine Nullfolge ist) geht [mm] exp(a_{n}) [/mm] gegen exp(a)
Aber reicht des als Beweis speziell für die Aufgabe?
Ich bin wirklich überfragt bei der Aufgabe. Bei der B siehts noch viel düsterer aus.
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> Zeige dass die Funktion f:R -> R gegeben durch:
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> (a) [mm]f(x)=\begin{cases} e^{-1/x}, & \mbox x > 0 \\ 0, & \mbox x {\le 0} \end{cases}[/mm]
>
> (b) [mm]f(x)=\begin{cases} \wurzel{ x²+1}, & \mbox x {\not= 0} \\ 0, & \mbox x {= 0} \end{cases}[/mm]
>
> Bei b) muss es unter der Wurzel x² heißen aber bekomm des
> nicht hin.
>
> stetig ist
> Naja ich war letzte Woche krank und jetzt steh ich mit nem
> großen Fragezeichen vor den 2 Aufgaben.
>
> Ich hab leider keinerlei Ahnung wie ich an die Aufgabe
> rangehen soll.
>
> Meine erste Idee war es zu schauen ob die Funktion für
> f(0) stetig ist.
>
> a) f(0)=0
> [mm]\limes_{x\rightarrow\00^-}= e^{-1/0}[/mm] = 1 / [mm]e^{1/0}[/mm] = 0
> [mm]\limes_{x\rightarrow\00^+}[/mm] = 0
hallo,
linksseitig von 0 soll die funktion 0 sein, rechts davon durch die e-funktion dargestellt werden
wäre wirklich der linksseitige grenzwert gegeben, wie du fehlerhaft eingegeben hast ergäbe sich
[mm] \limes_{x\rightarrow\red{0-}}= e^{\frac{-1}{\red{-0}}} [/mm] = [mm] e^\infty [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
>
> Würde ja bedeuten f ist stetig im Punkt 0 aber das heißt
> ja noch lange nicht, dass es in jedem Punkt stetig ist.
>
> Aber eigentlich ist ja die Exponentialfunktion in jedem
> Punkt von [mm]\IR[/mm] stetig.
>
> Wenn a [mm]\in \IR[/mm] und [mm]a_{n}[/mm] -> a eine konvergente Folge ist
> Dann gilt ja: [mm]exp(a_{n})= exp(a_{n}-[/mm] a + a) = [mm]exp(a_{n}- a)\*exp(a)[/mm]
>
> Und da [mm]exp(a_{n}-[/mm] a) gegen eins geht (weil [mm]a_{n}-[/mm] a eine
> Nullfolge ist) geht [mm]exp(a_{n})[/mm] gegen exp(a)
>
> Aber reicht des als Beweis speziell für die Aufgabe?
ist hier nur nach dem einen punkt gefragt? oder sollst du gar ein kriterium anwenden um es für die einzelnen funktionen zu zeigen, oder oder?
>
> Ich bin wirklich überfragt bei der Aufgabe. Bei der B
> siehts noch viel düsterer aus.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:43 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Galboa |
> ist hier nur nach dem einen punkt gefragt? oder sollst du
> gar ein kriterium anwenden um es für die einzelnen
> funktionen zu zeigen, oder oder?
Ich nehm an du spielst auf das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] an, aber wie gesagt ich bin da überfragt.
Ich weiß nicht wie ich es auf diese Aufgabe anwenden soll.
Ich weiß dass:
|x - a| < [mm] \delta [/mm] => |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
gelten muss damit die Funktion stetig ist.
Nun wähle ich ja [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und suche ein passendes [mm] \delta
[/mm]
Mein nächster Schritt wäre ja dann |f(x) - f(a)| so abzuschätzen, dass ich | f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon [/mm] erhalte
Daran scheiterts.
ich hab ja: | (e^-1/x) - (e^-1/a)| aber da hörts dann auf? Wo ist mein Denkfehler? Wie kann ich da weiterrechnen?
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Hallo,
mit [mm] \varepsilon-\delta [/mm] würde ich hier nicht rumwurschteln.
Schau meine andere Antwort an.
Gruß v. Angela
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> Zeige dass die Funktion f:R -> R gegeben durch:
>
> (a) [mm]f(x)=\begin{cases} e^{-1/x}, & \mbox x > 0 \\ 0, & \mbox x {\le 0} \end{cases}[/mm]
>
> (b) [mm]f(x)=\begin{cases} \wurzel{ x^2+1}, & \mbox x {\not= 0} \\ 0, & \mbox x {= 0} \end{cases}[/mm]
>
>
>
> stetig ist
> Naja ich war letzte Woche krank und jetzt steh ich mit nem
> großen Fragezeichen vor den 2 Aufgaben.
>
> Ich hab leider keinerlei Ahnung wie ich an die Aufgabe
> rangehen soll.
>
> Meine erste Idee war es zu schauen ob die Funktion für
> f(0) stetig ist.
Hallo,
Du meinst sicher, daß Du nachschauen willst, ob sie an der Stelle x=0 stetig ist - das ist ja schonmal keine schlechte Idee.
Gucken wir uns Deine Funktionen mal etwas genauer an.
bei a) haben wir eine Funktion, die aus zwei Funktionen zusammengesetzt ist:
einmal haben wir im positiven Bereich [mm] e^{-1/x},
[/mm]
im nichtpositiven Bereich die Nullfunktion.
Wir können nun schonmal festhalten: die konstante Funktion ist stetig (s. Vorlesung), daher ist f für x<0 stetig.
Werfen wir nun einen Blick auf [mm] f_1(x):=e^{-1/x}. [/mm]
"Als Komposition stetiger Funktionen ist [mm] e^{-1/x} [/mm] auf ihrem Definitionsbereich stetig." (Das ist ein Sprüchlein zum Merken!)
Der Definitionsbereich von [mm] e^{-1/x} [/mm] ist [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\}, [/mm] also ist die Funktion insbesondere über [mm] \IR_{+} [/mm] stetig, und damit haben wir die Stetigkeit von f für x>0.
Zu untersuchen bleibt die "Nahtstelle" x=0.
Hierzu mußt Du den Grenzwert gegen 0 von oben untersuchen und schauen, ob es der Funktionswert f(0)=0 ist.
Berechne also [mm] \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}e^{-1/x}=..., [/mm] und vergleiche mit dem Funktionswert an der Stelle.
Der GW von unten ist hier natürlich der Funktionswert.
Wenn die Grenzwerte mit dem Funktionswert übereinstimmen, ist die Funktion stetig ander Stelle 0.
Nun die Funktion in b).
Auch dise Funktion ist nicht aus einem Guß definiert.
Es gibt eine gesondert definiert Stelle, naämlich x=0.
Wieder kannst Du für [mm] x\not=0 [/mm] mit dem Kompositionsargument argumentieren.
An der Stelle x=0 mußt Du dann wieder untersuchen, ob der GW gegen 0 mit dem Funktionswert an der Stelle 0 übereinstimmt.
Gruß v. Angela
>
> a) f(0)=0
> [mm]\limes_{x\rightarrow\00^-}= e^{-1/0}[/mm] = 1 / [mm]e^{1/0}[/mm] = 0
> [mm]\limes_{x\rightarrow\00^+}[/mm] = 0
>
> Würde ja bedeuten f ist stetig im Punkt 0 aber das heißt
> ja noch lange nicht, dass es in jedem Punkt stetig ist.
>
> Aber eigentlich ist ja die Exponentialfunktion in jedem
> Punkt von [mm]\IR[/mm] stetig.
>
> Wenn a [mm]\in \IR[/mm] und [mm]a_{n}[/mm] -> a eine konvergente Folge ist
> Dann gilt ja: [mm]exp(a_{n})= exp(a_{n}-[/mm] a + a) = [mm]exp(a_{n}- a)\*exp(a)[/mm]
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> Und da [mm]exp(a_{n}-[/mm] a) gegen eins geht (weil [mm]a_{n}-[/mm] a eine
> Nullfolge ist) geht [mm]exp(a_{n})[/mm] gegen exp(a)
>
> Aber reicht des als Beweis speziell für die Aufgabe?
>
> Ich bin wirklich überfragt bei der Aufgabe. Bei der B
> siehts noch viel düsterer aus.
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